Papiervouwkunst

[PeterPan]

Een vel papier wordt gevouwen zoals afgebeeld in het plaatje.

Bij elk punt B op de linker rand krijg je een vouwlijn.

Deze vouwlijnen vormen raaklijnen aan een kromme.

Wat voor soort kromme is dat?

Wat is de vergelijking van die kromme.

[Boulemans]

Dit is een mooie, die hebben we dit jaar ook moeten uitrekenen voor wiskunde. - ook leuk is om een cirkel te nemen, een punt op de cirkel aan te duiden en dan de cirkelrand op dit punt te vouwen (zoals hierboven met punt B.)

[oktagon]

Tekende maar weer eens wat uit,is voor mij het duidelijkst;het draaipunt aan de bovenzijde verplaatst zich.Dus het lijken op steeds verplaatsingen van cirkelelementen,anders kan ik er niet van bakken!



Wat is dus de oplossing in formule?

Bij nader inzien maakte ik een fout;het was de bedoeling dat de punten allemaal op de verticale lijn bleven en dan verplaatst de vouwlijn zich.Alleen wrs anders!

[jhnbk]

is dat dan een raaklijn aan de kromme in het punt

\(B_i\)

?

[oktagon]

Als de opmerking van jhnbk aan mij is gericht:

De blauwe kromme is mogelijk een cirkel,maar de getekende rechte lijnen zijn geen raaklijnen;de haakse lijnen op de buiglijnen liggen ergens op de buiglijn.Maar mijn tekening is niet hetgeen gevraagd werd,het is wat anders nl een verplaatsing in krommevorm van punt B en niet in verticale richting als in de vraag!

[Lensos]

Ik leg de oorsprong van ons assenstelsel in A, en de lange zijde volgens de y-as, en de korte volgens de x-as. Noem de lengte van de korte zijde

\(l\)

. Voor een punt B op de y-as van de vorm

\((0,t)\)

gaat de vouwlijn door het punt

\((l/2, t/2)\)

en heeft rico

\(m = l/t\)

. De vouwlijn wordt dus

\(y = \frac{l}{t}(x-l/2) + \frac{t}{2}\)

. Bekijken we nu de waarde die elke vouwlijn aanneemt in een vast punt x, dan is de rakende vouwlijn aan de vouwkromme diegene die voor die vaste x extremaal is naar t. M.a.w.:

\(\frac{\partial y}{\partial t} = 0 = -\frac{l(x-l/2)}{t^2} + \frac{1}{2}\)

. Maak t vrij en substitueer in de vergelijking van de vouwlijn om te krijgen:

\(y = \sqrt{2l(x-l/2)}\)

Een liggende parabool dus.

[oktagon]

Ik produceerde weer een prentje,nu een grafisch antwoord op de vraag met verplaatsing van het hoekpunt B naar de linker verticale lijn.

Andere geleerden kunnen proberen hier een formule voor een kromme te produceren!

[PeterPan]

Voor een punt B op de y-as van de vorm

\((0,t)\)

gaat de vouwlijn door het punt

\((l/2, t/2)\)

en heeft rico

\(m = l/t\)

.

Dat de richtingscoëfficient van de vouwlijn

\(\frac{l}{t}\)

is volgt onmiddellijk uit de congruentie van de rode en blauwe driehoek.

Waarom zijn die 2 driehoeken congruent, en

waarom gaat die vouwlijn door het punt

\((\frac{l}{2},\frac{t}{2})\)

?

[Lensos]

Ik dacht eigenlijk gewoon zo:

De vouwlijn kan je zien als een spiegelas die het oorspronkelijke punt B (l,0), op het nieuwe punt B'(0,t)(na het vouwen) afbeeldt. De vouwlijn is dus de middelloodlijn van [BB'].

Klopt het niet?

[PeterPan]

[rr]

Uitstekend geredeneerd, maar het is wel nodig dat je dat erbij vermeldt.

[oktagon]

Aangezien ik in andere reacties alleen maar 1 vouwlijn besproken zie,tekende ik de meerdere B-punten om te kunnen zien waar de kromme lag en hoe die eruit zou zien.

Op de aangevulde schets zie je dus de volgens mij ontstane kromme,waarvan dus de formule uitgedokterd moet worden!

[PeterPan]

Die formule is al uitgedokterd door "Lensos".

De vergelijking van de kromme is

\(y = \sqrt{2l(x-l/2)}\)

Dit is een (halve) parabool op zijn kant.

Het is de parabool

\(y = \frac{1}{2l}x^2 + \frac{l}{2}\)

gespiegeld in de lijn y=x.

\(l\)

is hier de breedte van het papier.

De grafiek die je geeft klopt met de formule.

[TD]

Mooie opgave en elegante oplossing!

[eendavid]

Bekijken we nu de waarde die elke vouwlijn aanneemt in een vast punt x, dan is de rakende vouwlijn aan de vouwkromme diegene die voor die vaste x extremaal is naar t.

waarom is dit zo?

[PeterPan]

Veronderstel dat je alle vouwlijnen zou kunnen tekenen. Dan wordt het papier pikzwart, op een klein gebiedje na dat helemaal wit blijft. Dat is het gebied dat onder elke raaklijn ligt.

Elke raaklijn ziet er zo uit

\(y = \frac{l}{t}(x-l/2) + \frac{t}{2}\)

Dus voor een altijd wit blijvend punt geldt dat ie onder al deze lijnen ligt,

dus voor zo'n wit punt

\((x,y)\)

geldt dat

\(y < \frac{l}{t}(x-l/2) + \frac{t}{2}\)

voor alle waarden van t.

Dit kun je ook zo zeggen:

Voor dit witte punt

\((x,y)\)

geldt dat

\(y < \min_l (\frac{l}{t}(x-l/2) + \frac{t}{2})\)

en voor een punt (x,y) op de rand tussen wit en zwart gebied geldt

\(y = \min_l (\frac{l}{t}(x-l/2) + \frac{t}{2})\)

We moeten dus

\(\frac{l}{t}(x-l/2) + \frac{t}{2}\)

minimaliseren.

Een minimum vind je door te differentiëren en de afgeleide 0 te stellen.

\(\frac{d}{dt}(\frac{l}{t}(x-l/2) + \frac{t}{2}) = 0\)

geeft een waarde voor t.

Die waarde invullen in

\(y = \frac{l}{t}(x-l/2) + \frac{t}{2}\)

geeft de uiteindelijke vergelijking

\(y = \sqrt{2l(x-l/2)}\)