harmonische reeks

[PeterPan]

Zoals bekend is

\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... = \infty\)

.

Iemand heeft genoeg van deze wereld en besluit naar

\(\infty\)

te lopen.

Wandelen is een vermoeiende bezigheid, dus legt hij elke dag een iets kortere afstand af. Op dag 1, 1 km, op dag 2, 1/2 km, ... op dag n, 1/n km.

Hij maakt daarbij telkens afwisselend een hoekje

\(\alpha\)

en een hoekje

\(-\alpha\)

met het voorgaande pad. Komt hij ooit in

\(\infty\)

[bram2]

Volgens mij wel. Door de hoek

\( \alpha \)

ga je ipv x ->

\( x\cos(\alpha) \)

afleggen. Gewoon een schaalfactor dus.

\( \alpha \)

moet wel kleiner als 90 graden zijn

Dat was de wiskundige uitleg. Nu kan je natuurlijk discuteren of iemand ooit in oneindig uitkomt, als hij daarvoor oneindig lang moet stappen maar dat is waarschijnlijk niet het punt.

[Rogier]

Komt hij ooit in

\(\infty\)

Wat bedoel je precies met "

\(\infty\)

" ?

(en wat met "ooit"? moet er een

\(\ni\nnn\)

bestaan zodat hij na n dagen in

\(\infty\)

is?)

[TD]

Volgens mij zit bram2 goed (ook: cos(a) = cos(-a))

\(\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{\cos \alpha }}{k}} = \cos \alpha \cdot \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{k}} \)

[Rogier]

Hij maakt daarbij telkens afwisselend een hoekje

\(\alpha\)

Aangezien je zegt hoekje zal dat wel inhouden dat

\(\alpha\)

geen 90^o of zelfs 180^o is?

en een hoekje

\(-\alpha\)

met het voorgaande pad.

Met het voorgaande pad, dan klopt je tekening niet helemaal, dan zou het zoiets moeten zijn:



Al maakt dat voor bovengenoemd antwoord niet uit, de x-coordinaat van de wandelaar zal nog steeds onbeperkt groot worden.

De y-coordinaat trouwens ook (als

\(\alpha\)

>0).

[aadkr]

Volgens mij komt hij nooit in oneindig. Als hij ooit in oneindig zou komen,zou dat impliceren dat oneindig een vast punt is, en dat kan niet.

[TD]

Ik denk dat de (bedoelde) vraag is: divergeert de reeks dan nog steeds, zoals de harmonische.

[bram2]

Volgens mij zit bram2 goed (ook: cos(a) = cos(-a))

\(\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{\cos \alpha }}{k}}  = \cos \alpha  \cdot \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{k}}  \)

Het is nog net iets complexer, vermist we een dag met cos(a) moeten vermenigvuldigen en de andere keer weer niet.

(in al wat komt ga ik ervan uit dat de hoek kleiner als 90 graden is)

kijken we naar de reeks

\( \sum \frac{\cos(\alpha)}{k} \)

is deze divergent (zie TD!)

Bij dit vraagstuk hebben we op oneven dagen dezelfde term als de reeks hierboven en bij even dagen een term die groter is als de reeks hierboven (geen vermenigvuldiging met cos(a) )

Besluit: de termen van de reeks zijn altijd groter of gelijk aan deze van een divergente reeks dus is de reeks divergent.

[TD]

Dat is zoals op de tekening van Rogier? Ik neem aan dat PeterPan het bedoelde zoals hij tekende.

[bram2]

Dat is zoals op de tekening van Rogier? Ik neem aan dat PeterPan het bedoelde zoals hij tekende.

Ok, ik neemde aan dat PeterPan het bedoelde zoals hij het schreef en in de rapte een verkeerde tekening maakte

[TD]

Hij zal het wel komen verduidelijk, maar zoals gezegd: dat maakt verder niet uit.

[kotje]

Ik bereken even de weg afgelegt in de richting X-as:

1/2+1/4+1/6+....=1/2(1+1/2+1/3+...).Dus in een oneindige tijd legt hij een oneindige afstand af richting X-as.

[aadkr]

Volgens mij zou het zoiets moeten zijn:

L in de x richting

\(L=\cos\alpha+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cos\alpha+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}.\cos\alpha+frac{1}{6}+......\)

\(L=\Sigma_{\nrightarrow one\indig}\left(\frac{1}{2.n}+\cos\alpha\frac{1}{2.n-1}\right)\)

Die 2 reeksen zijn divergent ( volgens het wiskundeboek) .

Dan is de optelling van de 2 reeksen ook divergent.

[kotje]

Kotje schreef:

Ik bereken even de weg afgelegt in de richting X-as:  

1/2+1/4+1/6+....=1/2(1+1/2+1/3+...).Dus in een oneindige tijd legt hij een oneindige afstand af richting X-as.

Ik wil hier aan toevoegen dat de afstand in de X-richting afgelegt, groter is dan bovenstaande afstand. [rr]

[PeterPan]

Een erg sullige vraag van me moet ik toegeven. Als de hoekjes niet afwisselend

\(\alpha\)

en

\(-\alpha\)

zijn, maar altijd

\(+\alpha\)

zijn, waar loopt die persoon dan naar toe?