[thermodynamica] meest waarschijnlijke snelheid

[Ernie]

Uit de Maxwell-Boltzmann verdeling voor snelheid en energie van de moleculen van een ideaal gas halen we (door gewoon afgeleiden te berekenen): de meest waarschijnlijke snelheid van een molecule is

\(\sqrt{\frac{2kT}{m}}\)

, en dat komt overeen met een kinetische energie

\(kT\)

; de meest waarschijnlijke energie van een molecule is

\(\frac{1}{2}kT\)

. Ik vraag me af hoe het mogelijk is dat de meest waarschijnlijke energie niet overeenstemt met de energie die bij de meest waarschijnlijke snelheid hoort. Ziet er iemand misschien een verklaring? Voor mij is 't eigenlijk nogal een paradox.

[Sybke]

In mijn boek staat:

v_rms = (3kT/m)^0,5

K_av = 3kT/2

Dit klopt volgens mij met K = mv²/2

[Ernie]

Dat is helemaal niet de meest waarschijnlijke snelheid. De meest waarschijnlijke snelheid is gewoon de snelheid die het meeste voorkomt, waar het meeste kans op is. Jij hebt de kwadratisch gemiddelde snelheid, en dat is iets helemaal anders.

[Lensos]

Ik zie niet direct waar die uitdrukking voor de meest waarschijnlijke energie in onze cursus staat, maar ik heb denk ik een voorbeeldje gevonden:

Kies een willekeurig reeel getal v tussen 0 en 10 (Het is belangrijk dat we met een continue verdeling te maken hebben). Elk getal heeft gelijke kans om gekozen te worden (er niet echt een most probable speed dus, maar ik hoop dat het toch duidelijk wordt).

De kans dat v gekozen wordt tussen 0 en 1 is dus 1/10

De kans dat v gekozen wordt tussen 1 en 2 is 1/10

...

De kans dat v gekozen wordt tussen 9 en 10 is 1/10

Als we nu v^2 nemen, dan krijgen we een uitdrukking analoog met de kinetische energie. We krijgen:

De kans dat v^2 tussen 0 en 1 ligt is 1/10

De kans dat v^2 tussen 1 en 4 ligt is 1/10

De kans dat v^2 tussen 4 en 9 ligt is 1/10

...

De kans dat v^2 tussen 81 en 100 ligt is 1/10.

De kansen worden als het ware uitgesmeerd.

We zien dus dat v^2 meer kans heeft om tussen 0 en 1 te liggen dan tussen 1 en 2, 2 en 3, ..., 99 en 100.

De meest waarschijnlijke kinetische energie ligt dus duidelijk tussen 0 en 1 (en is 0).

Als ik het van een iets wiskundigere kant benader zou ik het zo interpreteren.

De snelheidsdistributie noem ik

\(f(v)\)

. Wat is nu

\(f(v)\)

juist?

\(f(v)dv\)

is de kans dat een willekeurig gekozen snelheid tussen

\(v\)

en

\(v+dv\)

ligt. Op de grafiek is die kans een oppervlakte: hoogte (

\(f(v)\)

) x breedte (

\(dv\)

). Als we nu

\(v^2\)

beschouwen, dan moeten we

\(v\)

en

\(v+dv\)

kwadrateren:

\(v^2\)

en

\(v^2 +2v.dv + (dv)^2\)

. Die laatste term mag je weglaten omdat die erg klein is=>

\(v^2\)

en

\(v^2 +2vdv\)

De kans dat een kwadratische snelheid (cf. kinetische energie) dus in het interval

\([v^2,v^2+2vdv]\)

ligt is gelijk aan de kans dat een snelheid in het interval

\([v,v+dv]\)

ligt: Met andere woorden, ze hebben gelijke oppervlaktes onder de grafiek. De oppervlakte onder

\(f(v)\)

is gelijk aan

\(f(v)dv\)

: de hoogte x de breedte (van het interval). Nu is bij

\(v^2\)

de breedte van het interval afhankelijk van

\(v\)

. Als

\(v\)

groot is, wordt de breedte dus groter en dus de hoogte kleiner. Voor kleine

\(v\)

net omgekeerd. Vandaar dat de kansverdeling van de energieen zijn maximum op een andere plaats zal bereiken dan die van de snelheden. Aangezien het een kwadratisch verband is zal de meest waarschijnlijke energie kleiner zijn dan de energie van de meest waarschijnlijke snelheid.

[Lensos]

Ik heb geprobeerd het nog iets verder uit te werken:

\(f(v)\)

noem ik de kansverdeling voor

\(v\)

\(g(v^2)\)

noem ik de kansverdeling voor

\(v^2\)

.

Aangezien de oppervlaktes gelijk blijven (zie hierboven), geldt:

\(f(v)dv = g(v^2)2vdv\)

dus:

\(g(v^2) = \frac {f(v)}{2v}\)

We weten dat de Maxwell-Boltzman verdeling van de vorm is:

\(f(v) = a v^2 e^{-bv^2}\)

Dit geeft voor

\(g(v^2)\)

:

\(g(v^2) = \frac{av}{2} e^{-bv^2} \)

We kunnen f en g nu eenvoudig afleiden naar v om het maximum te vinden:

\( \frac{df}{dv} = a (2ve^{-bv^2} -2bv^3e^{-bv^2}) = 0\)

Dus vinden we:

\(v^2_{\mp}=\frac{1}{b}\)

.

De energie horende bij de meest waarschijnlijke snelheid is dus van de vorm

\(\frac{1}{b}\)

Voor g krijgen we:

\(\frac{dg(v^2)}{d(v^2)} = \frac{dg(v^2)}{2vdv}\)

\(= \frac{a}{4v}(e^{-bv^2} - 2bv^2e^{-bv^2}) =0\)

\( v^2 = \frac{1}{2b}\)

We zien dus dat de meest waarschijnlijke energie de helft is van de energie bij de meest waarschijnlijke snelheid.

[Ernie]

Mooi, Lense! Bedankt