Is kromming wel een goed begrip in de ART

[vijv]

De Riemanntensor wordt in alle handboeken beschreven als een maat van kromming. In wiskundig beschrijft deze tensor de verandering van een vector als je hem parallel transporteert in een lus. Dit komt exact overeen met hoe een pijl zich gedraagt als je hem verschuift over een gekromd oppervlak. Vandaar dat we kromming gebruiken als "metafoor".
Echter bij zwarte gaten stuiten we op een limiet van die metafoor. Door de immense kromming teken we een soort oneindige put in een 2D voorstelling die ingebed is in 3D. In 3D is dit nog moeilijker te visualiseren. Die voorstelling is natuurlijk niet correct omdat de ruimte niet ingebed is in een hogere dimensie.
Wat ik me afvraag is of de metafoor van een soort dichtheid van de ruimte niet beter is. Met dichtheid van de ruimte wil ik niet aangeven dat de ruimte een substantie is maar dat de ruimtelijke relaties verdichten.

Dit is geen pleidooi voor het afschaffen van de kromming metafoor, maar een oefening om dingen langs een andere kant te bekijken.
Benieuwd wat jullie er van denken;

[jkien]

Zonder deskundigheid: intuitief vind ik gravitational lensing rondom een zwart gat, zoals hier, beter voorstelbaar als buiging van lichtstralen rondom een gebied met afwijkende "optische dichtheid" (brekingsindex) dan als kromming van de ruimte, omdat het woord kromming het nadeel heeft dat er een vierde dimensie nodig lijkt te zijn. Mijn avatar op dit forum is de vervorming van een ruitjesachtergrond door een kaarsvlam op de voorgrond.

[wnvl1]

Het beeld van dichtheid lijkt mij vooral relevant wanneer men de Riemann curvature tensor contracteert tot de scalaire kromming \(R). De volledige Riemannkromming is echter een vierrangstensor en bevat veel meer informatie dan in één scalaire grootheid kan worden samengevat. Je kan die dus niet eenvoudig vatten in iets als een “dichtheid”.

[vijv]

Het beeld van dichtheid lijkt mij vooral relevant wanneer men de Riemann curvature tensor contracteert tot de scalaire kromming \(R). De volledige Riemannkromming is echter een vierrangstensor en bevat veel meer informatie dan in één scalaire grootheid kan worden samengevat. Je kan die dus niet eenvoudig vatten in iets als een “dichtheid”.

Klopt, ik kan het intuitieve idee in mijn hoofd dan ook niet goed verwoorden. de Rieman tensor is dan ook meer een soort stroming van dichtheid en de Ricci tensor de dichtheid zelf

[vijv]

Zonder deskundigheid: intuitief vind ik gravitational lensing rondom een zwart gat, zoals hier, beter voorstelbaar als buiging van lichtstralen rondom een gebied met afwijkende "optische dichtheid" (brekingsindex) dan als kromming van de ruimte, omdat het woord kromming het nadeel heeft dat er een vierde dimensie nodig lijkt te zijn. Mijn avatar op dit forum is de vervorming van een ruitjesachtergrond door een kaarsvlam op de voorgrond.

Komt een beetje overeen met mijn intuitie

[HansH]

ik neem aan dat je dan denkt aan een soort lenswerking zoals dichtheid bij optische materialen doet. maar het is dan wel 4D ipv 3D en licht buigt anders af dan een planeet.

[jkien]

Hier wordt het model beter uitgewerkt: https://arxiv.org/html/2604.06791v1

ik neem aan dat je dan denkt aan een soort lenswerking zoals dichtheid bij optische materialen doet. maar het is dan wel 4D ipv 3D en licht buigt anders af dan een planeet.

Gewoon 3D, net als bij een kaarsvlam. Alleen een hete vlam werkt divergerend op lichtstralen, als een holle lens, maar een planeet convergerend, als een bolle lens.

[wnvl1]

Het beeld van dichtheid lijkt mij vooral relevant wanneer men de Riemann curvature tensor contracteert tot de scalaire kromming \(R). De volledige Riemannkromming is echter een vierrangstensor en bevat veel meer informatie dan in één scalaire grootheid kan worden samengevat. Je kan die dus niet eenvoudig vatten in iets als een “dichtheid”.

Klopt, ik kan het intuitieve idee in mijn hoofd dan ook niet goed verwoorden. de Rieman tensor is dan ook meer een soort stroming van dichtheid en de Ricci tensor de dichtheid zelf

Ik vind de ideeën achter de Riemann tensor zo mooi in elkaar zitten, dat ik geen enkele neiging heb om er ook maar iets aan te veranderen of het anders te verwoorden dan het staat in de klassieke boeken.

[vijv]

Het is ook niet de bedoeling om iets te veranderen aan de ART of de leerboeken, maar eerder een bewust maken dat we de woordelijk beschrijvingen, de metaforen of ontologie niet te absoluut mogen nemen.zo heb ik in het topic over het samensmelten van zwarte gaten soms het gevoel dat de metafoor het overneemt van de wiskunde die er achter zit. Dit is geen verwijt wandeling discussies moeten behapbaar blijven. Alleen moeten we in ons achterhoofd houden dat we hier dikwijls discussiëren met beeldspraak en dat die niet de gehele theorie vat

[wnvl1]

Misschien is onderstaande wel verduidelijkend mbt de Riemann tensor.
-------------------------------------------------------------------
De ruimtetijd heeft vier dimensies: drie ruimtelijke richtingen en één tijdsrichting. Wanneer men wil beschrijven hoe de ruimtetijd gekromd is, moet men rekening houden met verschillende soorten richtingen tegelijk. Dat leidt vanzelf tot vier indices in de Riemanntensor.

De eerste twee richtingen geven aan in welk vlak of langs welke twee richtingen je een kleine verplaatsing maakt in de ruimtetijd. Je kan je voorstellen dat je eerst een klein stukje in één richting beweegt en daarna in een tweede richting. In een vlakke ruimte maakt de volgorde van die bewegingen niet uit. In een gekromde ruimte wel. Dat verschil tussen beide routes is precies een maat voor de kromming.

De derde richting beschrijft welke component van een vector je volgt tijdens die verplaatsing. Zo’n vector kan bijvoorbeeld een snelheidsvector zijn, een pijl die een richting aangeeft, of de as van een gyroscoop. In gekromde ruimtetijd verandert zo’n vector wanneer je hem parallel transporteert.

De vierde richting geeft aan in welke richting die verandering van de vector optreedt. Een vector die oorspronkelijk volledig in één richting wees, kan na transport een component krijgen in een andere richting. Ook dat moet dus beschreven worden.

De Riemanntensor vertelt dus volledig hoe vectoren veranderen wanneer ze door gekromde ruimtetijd bewegen. Omdat je tegelijk moet aangeven:

langs welke twee richtingen je beweegt,
welke component van de vector je bekijkt,
en in welke richting de verandering verschijnt,

heb je vier indices nodig.

Dat is ook de reden waarom de kromming van de ruimtetijd veel rijker is dan gewone kromming van een tweedimensionaal oppervlak. Rond een zwart gat bijvoorbeeld wordt de tijd anders gekromd dan de ruimte, en verschilt de kromming ook tussen radiale en tangentiële richtingen. Eén enkel getal zou al die informatie verliezen.

Uit de volledige Riemanntensor kan men wel eenvoudigere grootheden afleiden. Door bepaalde indices samen te nemen krijg je de Riccitensor, die vooral beschrijft hoe materie en energie de ruimtetijd beïnvloeden. Nog een verdere vereenvoudiging geeft de scalaire kromming, één enkel getal dat een soort gemiddelde kromming weergeeft. Maar alleen de volledige Riemanntensor bevat alle geometrische informatie over de ruimtetijd.

[vijv]

Ik weet niet goed wat bovenstaande post toevoegt aan de discussie. Er word daar a priori vanuit gegaan dat er in een gekromde ruimte wordt gewerkt. Voor mij blijft kromming soms te kort schieten. Neem een circel als 1D manifold Hier is de Riemann tensor overal nul en is er dus geen kromming?

[flappelap]

Ik weet niet goed wat bovenstaande post toevoegt aan de discussie. Er word daar a priori vanuit gegaan dat er in een gekromde ruimte wordt gewerkt. Voor mij blijft kromming soms te kort schieten. Neem een circel als 1D manifold Hier is de Riemann tensor overal nul en is er dus geen kromming?

Klopt. De Riemanntensor meet intrinsieke kromming, niet extrinsieke kromming vanwege embedding.

In 1D levert parallelle transport van vectoren geen verandering in oriëntatie op.

[wnvl1]

Ik weet niet goed wat bovenstaande post toevoegt aan de discussie. Er word daar a priori vanuit gegaan dat er in een gekromde ruimte wordt gewerkt. Voor mij blijft kromming soms te kort schieten. Neem een circel als 1D manifold Hier is de Riemann tensor overal nul en is er dus geen kromming?

Ik denk dat we elkaar in beide richtingen niet begrijpen in dit topic. Volgende keer beter.