PuzzelsIn verband met het 4 kleuren probleem zit ik vast op het aantal mogelijke combinaties van n = 4 elementen A/B/C/D in groepen van p = 1 of 2 of 3 of 4 elementen mits de voorwaarden:
1. In een groep van p = 1 of 2 of 3 of 4 elementen
2. Zonder spiegelbeeld, spiegelbeelden tellen niet mee...... vb ABC = CBA is maar 1 oplossing
3. Twee zelfde elementen mogen voorkomen, maar niet naast elkaar ...... vb ABAC kan ...... AABC mag niet.
Bij nazien van oude cursus wiskunde zijn het geen permutaties, geen variaties, maar speciale combinaties met herhaling vermoed ik.
Hoeveel oplossingen heeft elke groep ?
p = groep met 1 element ...... aantal oplossingen 4 ...... namelijk A/B/C/D .... de formule is (4! ) / (1!).(3!) = 4
p = groep met 2 elementen ....... aantal oplossingen ? .. formule ?
p = groep met 3 elementen ....... aantal oplossingen ? ..... formule ?
p =groep met 4 elementen ....... aantal oplossingen ?....... formule ?
Ik neem aan dat de formules voor p=2 en p=3 en p=4 geen gewone combinaties zijn mits de voorwaarden (die in p= 1 niet meespelen.)
Ik kom er niet uit met mijn tanende wiskundige kennis door ouder"dom".
Wie kan / wilt mij helpen ?
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
ads
Steun Sciencetalk
SES Creative - My First - Kleurpotloden XL - Dikke Potloden - 8 Verschillende Kleuren - Goede Grip - Tekenen - Speelgoed 1 tot jaar
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
Keuze uit n = 4 elementen: A, B, C, D
Gezocht: aantal rijtjes van p elementen:
1. voor p = 1 of 2 of 3 of 4 elementen
waarbij
2. spiegelbeelden niet meetellen: vb ABC = CBA is maar 1 oplossing
3. twee zelfde elementen mogen voorkomen, maar niet naast elkaar: vb ABAC kan, maar AABC mag niet.
(1) p = 1 element: aantal = n = 4:
we kunnen kiezen uit elk van de n(=4) elementen, voorwaarden 2 en 3 spelen geen rol
(2) p = 2 elementen: aantal = n*(n-1) / 2 = 4*3 / 2 = 6:
Voor het eerste element hebben we keuze uit 4, omdat het tweede element niet gelijk mag zijn aan het eerste wegens voorwaarde 3, houden we nog de keuze uit de 3 andere elementen over, dit geeft n*(n-1) = 4*3=12 mogelijkheden.
Van elk van die rijtjes vinden we onder die 12 ook zijn eigen spiegelbeeld, en dat mag niet volgens voorwaarde 2. Hierdoor houden we de helft van deze rijtjes precies de helft over = n*(n-1)/2 = 4*3/2 = 6 geldige rijtjes:
AB, AC, AD, BC, BD, CD
de overige 6 (van de 12 rijtjes):
BA, CA, DA, CB, DB, DC
tellen dus NIET mee.
(3) p = 3 elementen: aantal rijtjes = n*(n-1)*1 + n*(n-1)*(n-2)/2 = 12 + 12 = 24:
Voor het eerste element hebben we keuze uit n mogelijkheden, wegens voorwaarde 3 voor elk volgende element (n-1) geldige mogelijkheden. In totaal met alleen voorwaarde 3 dus n*(n-1)*(n-1) = 4*3*3 = 36 mogelijkheden.
Nu voorwaarde 2:
- palindromen: het laatste element is gelijk aan het eerste: hiervan zijn er n*(n-1)*1 = 4*3 = 12 (want voor het 3e element is er nu 1 mogelijkheid: dit moet gelijk zijn aan het eerste element). Elk palindroom telt 1 keer mee.
- non-palindromen: nu mag het derde element niet gelijk zijn aan het tweede (voorwaarde 3) EN niet gelijk zijn aan het eerste (anders hebben we een palindroom). Blijven er voor het derde element dus (n-2) mogelijkheden over:
aantal rijtjes = n*(n-1)*(n-2) = 4*3*2=24 mogelijkheden.
Maar onder deze 24 zit van elk rijtje ook zijn spiegelbeeld, dus ook dit aantal moeten we delen door 2:
aantal rijtjes = n*(n-1)*(n-2) / 2 = 4*3*2/2=12 mogelijkheden.
ABA, ACA, ADA, BAB, BCB, BDB, CAC, CBC, CDC, DAD, DBD, DCD
+
ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCD, BDC, CAD, CBD
(4) p = 4 elementen: aantal = \(\frac{n(n-1)^3}{2}=\frac{4\cdot 3^3}{2} = 2\cdot 27 = 54\)
Voor het eerste element keuze uit n, voor elk volgende element keuze uit (n-1) wegens voorwaarde 3
Er zijn geen palindromen: als rijtje \(s_1 s_2 s_3 s_4 = s_4 s_3 s_2 s_1\) dan moet \(s_2=s_3\) zijn, en dat mag niet wegens voorwaarde 3.
Van elk rijtje is dus ook zijn spiegelbeeld aanwezig, dus moeten we dit totaal aantal delen door 2 om ook te voldoen aan voorwaarde 2.
Gezocht: aantal rijtjes van p elementen:
1. voor p = 1 of 2 of 3 of 4 elementen
waarbij
2. spiegelbeelden niet meetellen: vb ABC = CBA is maar 1 oplossing
3. twee zelfde elementen mogen voorkomen, maar niet naast elkaar: vb ABAC kan, maar AABC mag niet.
(1) p = 1 element: aantal = n = 4:
we kunnen kiezen uit elk van de n(=4) elementen, voorwaarden 2 en 3 spelen geen rol
(2) p = 2 elementen: aantal = n*(n-1) / 2 = 4*3 / 2 = 6:
Voor het eerste element hebben we keuze uit 4, omdat het tweede element niet gelijk mag zijn aan het eerste wegens voorwaarde 3, houden we nog de keuze uit de 3 andere elementen over, dit geeft n*(n-1) = 4*3=12 mogelijkheden.
Van elk van die rijtjes vinden we onder die 12 ook zijn eigen spiegelbeeld, en dat mag niet volgens voorwaarde 2. Hierdoor houden we de helft van deze rijtjes precies de helft over = n*(n-1)/2 = 4*3/2 = 6 geldige rijtjes:
AB, AC, AD, BC, BD, CD
de overige 6 (van de 12 rijtjes):
BA, CA, DA, CB, DB, DC
tellen dus NIET mee.
(3) p = 3 elementen: aantal rijtjes = n*(n-1)*1 + n*(n-1)*(n-2)/2 = 12 + 12 = 24:
Voor het eerste element hebben we keuze uit n mogelijkheden, wegens voorwaarde 3 voor elk volgende element (n-1) geldige mogelijkheden. In totaal met alleen voorwaarde 3 dus n*(n-1)*(n-1) = 4*3*3 = 36 mogelijkheden.
Nu voorwaarde 2:
- palindromen: het laatste element is gelijk aan het eerste: hiervan zijn er n*(n-1)*1 = 4*3 = 12 (want voor het 3e element is er nu 1 mogelijkheid: dit moet gelijk zijn aan het eerste element). Elk palindroom telt 1 keer mee.
- non-palindromen: nu mag het derde element niet gelijk zijn aan het tweede (voorwaarde 3) EN niet gelijk zijn aan het eerste (anders hebben we een palindroom). Blijven er voor het derde element dus (n-2) mogelijkheden over:
aantal rijtjes = n*(n-1)*(n-2) = 4*3*2=24 mogelijkheden.
Maar onder deze 24 zit van elk rijtje ook zijn spiegelbeeld, dus ook dit aantal moeten we delen door 2:
aantal rijtjes = n*(n-1)*(n-2) / 2 = 4*3*2/2=12 mogelijkheden.
ABA, ACA, ADA, BAB, BCB, BDB, CAC, CBC, CDC, DAD, DBD, DCD
+
ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCD, BDC, CAD, CBD
(4) p = 4 elementen: aantal = \(\frac{n(n-1)^3}{2}=\frac{4\cdot 3^3}{2} = 2\cdot 27 = 54\)
Voor het eerste element keuze uit n, voor elk volgende element keuze uit (n-1) wegens voorwaarde 3
Er zijn geen palindromen: als rijtje \(s_1 s_2 s_3 s_4 = s_4 s_3 s_2 s_1\) dan moet \(s_2=s_3\) zijn, en dat mag niet wegens voorwaarde 3.
Van elk rijtje is dus ook zijn spiegelbeeld aanwezig, dus moeten we dit totaal aantal delen door 2 om ook te voldoen aan voorwaarde 2.
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
@RedCat,
Dank U, en dan nog nachtwerk !
(Kan U dan nog snel de slaap vatten? ...... mij zou het niet lukken).
Ik zie niet goed het verschil tussen een palindroom en een symmetrie.
Uw antwoord voor 4 elementen begrijp ik niet ...... en ........zijn er 27 of 54 mogelijkheden die voldoen ?
Misschien lukt het mij straks, maar voorlopig nog niet.
Dank U, en dan nog nachtwerk !
(Kan U dan nog snel de slaap vatten? ...... mij zou het niet lukken).
Ik zie niet goed het verschil tussen een palindroom en een symmetrie.
Uw antwoord voor 4 elementen begrijp ik niet ...... en ........zijn er 27 of 54 mogelijkheden die voldoen ?
Misschien lukt het mij straks, maar voorlopig nog niet.
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
Wellicht maakt een voorbeeld het duidelijker:
Hieronder alle rijtjes met lengte=3, bestaande uit de symbolen (=letters) A, B, C en D, waarbij voldaan is aan voorwaarde 3: niet twee dezelfde letters direct na elkaar
Voor de eerste letter hebben we keuze uit 4, voor elke volgende keuze uit 3, in totaal 4*3*3 = 36 verschillende rijtjes.
De palindromen (rijtjes identiek aan hun eigen spiegelbeeld, vb ABA) heb ik genummerd: dit zijn er 4*3*1 = 12 (eerste letter keuze uit 4, tweede uit 3 (niet gelijk aan de eerste), derde uit 1 (dezelfe letter als de eerste letter).
Palindromen komen slechts 1 keer voor in de lijst van 36 rijtjes.
Alle andere rijtjes (vb ABC) zijn geen palindroom, hun gespiegelde zit dus ook steeds in de lijst van 36 terwijl die door u als identiek beschouwd worden (=voorwaarde 2). De niet-palindromen zijn dus dubbel vertegenwoordigd in de lijst van 36, het aantal niet-palindromen in de lijst moeten we daarom door 2 delen om ook aan voorwaarde 2 te voldoen.
Aantal niet-palindromen = totaal - aantal palindromen = 36 - 12 = 24
voorwaarde 2: aantal niet-palindromen / 2 = 12
aantal rijtjes dat voldoet aan voorwaarde 2 en 3 = aantal palindromen + (aantal niet-palindromen)/2 = 12 + 24/2 = 24
Onderstaande tabel:
De lijst van 36 rijtjes (voorwaarde 3) = kolom 2 in onderstaande tabel,
De rijtjes die voldoen aan voorwaarde 2 en 3 heb ik genummerd (rechts daarvan)
In de derde kolom de nummering van de palindromen en de verwijzing naar het spiegelbeeld indien dat al eerder in de lijst staat.
Hier de tabel voor rijtjes van 4 symbolen:
Noot: rijtjes van even lengte kunnen wegens voorwaarde 3 geen palindromen bevatten, dus van elk rijtje bevindt zich ook het spiegelbeeld in de lijst, waardoor het aantal geldige rijtjes = \(n(n-1)^3/2 = 4\cdot 3^3 / 2 = 54\)
En hier nog een extra rekenvoorbeeld: de tabel voor rijtjes van 5 symbolen:
Voorwaarde 3 geeft \(n(n-1)^4 = 4\cdot 3^4 = 324\) rijtjes,
waarvan \(n(n-1)^2 = 4\cdot 3^2 = 36\) palindromen: symbool 1 heeft 4 mogelijkheden, symbool 2 heeft er 3, symbool 3 heeft er 3, symbool 4 heeft er 1 (moet gelijk zijn aan symbool 2) en symbool 5 heeft er 1 (moet gelijk zijn aan symbool 1)
Dus aantal niet-palindromen = 324 - 36 = 288, en die zijn dubbel vertegenwoordigd (wegens voorwaarde 2).
In totaal zijn er dan 36 + 288/2 = 180 rijtjes die voldoen zowel aan voorwaarde 2 als aan voorwaarde 3.
Hieronder alle rijtjes met lengte=3, bestaande uit de symbolen (=letters) A, B, C en D, waarbij voldaan is aan voorwaarde 3: niet twee dezelfde letters direct na elkaar
Voor de eerste letter hebben we keuze uit 4, voor elke volgende keuze uit 3, in totaal 4*3*3 = 36 verschillende rijtjes.
De palindromen (rijtjes identiek aan hun eigen spiegelbeeld, vb ABA) heb ik genummerd: dit zijn er 4*3*1 = 12 (eerste letter keuze uit 4, tweede uit 3 (niet gelijk aan de eerste), derde uit 1 (dezelfe letter als de eerste letter).
Palindromen komen slechts 1 keer voor in de lijst van 36 rijtjes.
Alle andere rijtjes (vb ABC) zijn geen palindroom, hun gespiegelde zit dus ook steeds in de lijst van 36 terwijl die door u als identiek beschouwd worden (=voorwaarde 2). De niet-palindromen zijn dus dubbel vertegenwoordigd in de lijst van 36, het aantal niet-palindromen in de lijst moeten we daarom door 2 delen om ook aan voorwaarde 2 te voldoen.
Aantal niet-palindromen = totaal - aantal palindromen = 36 - 12 = 24
voorwaarde 2: aantal niet-palindromen / 2 = 12
aantal rijtjes dat voldoet aan voorwaarde 2 en 3 = aantal palindromen + (aantal niet-palindromen)/2 = 12 + 24/2 = 24
Onderstaande tabel:
De lijst van 36 rijtjes (voorwaarde 3) = kolom 2 in onderstaande tabel,
De rijtjes die voldoen aan voorwaarde 2 en 3 heb ik genummerd (rechts daarvan)
In de derde kolom de nummering van de palindromen en de verwijzing naar het spiegelbeeld indien dat al eerder in de lijst staat.
Code: Selecteer alles
1 ABA =palindroom 1
2 ABC
3 ABD
4 ACA =palindroom 2
5 ACB
6 ACD
7 ADA =palindroom 3
8 ADB
9 ADC
10 BAB =palindroom 4
11 BAC
12 BAD
- BCA -> 5 = ACB
13 BCB =palindroom 5
14 BCD
- BDA -> 8 = ADB
15 BDB =palindroom 6
16 BDC
- CAB -> 11 = BAC
17 CAC =palindroom 7
18 CAD
- CBA -> 2 = ABC
19 CBC =palindroom 8
20 CBD
- CDA -> 9 = ADC
- CDB -> 16 = BDC
21 CDC =palindroom 9
- DAB -> 12 = BAD
- DAC -> 18 = CAD
22 DAD =palindroom 10
- DBA -> 3 = ABD
- DBC -> 20 = CBD
23 DBD =palindroom 11
- DCA -> 6 = ACD
- DCB -> 14 = BCD
24 DCD =palindroom 12
Hier de tabel voor rijtjes van 4 symbolen:
Noot: rijtjes van even lengte kunnen wegens voorwaarde 3 geen palindromen bevatten, dus van elk rijtje bevindt zich ook het spiegelbeeld in de lijst, waardoor het aantal geldige rijtjes = \(n(n-1)^3/2 = 4\cdot 3^3 / 2 = 54\)
Code: Selecteer alles
1 ABAB
2 ABAC
3 ABAD
4 ABCA
5 ABCB
6 ABCD
7 ABDA
8 ABDB
9 ABDC
10 ACAB
11 ACAC
12 ACAD
- ACBA -> 4 = ABCA
13 ACBC
14 ACBD
15 ACDA
16 ACDB
17 ACDC
18 ADAB
19 ADAC
20 ADAD
- ADBA -> 7 = ABDA
21 ADBC
22 ADBD
- ADCA -> 15 = ACDA
23 ADCB
24 ADCD
- BABA -> 1 = ABAB
25 BABC
26 BABD
- BACA -> 10 = ACAB
27 BACB
28 BACD
- BADA -> 18 = ADAB
29 BADB
30 BADC
- BCAB -> 27 = BACB
31 BCAC
32 BCAD
- BCBA -> 5 = ABCB
33 BCBC
34 BCBD
- BCDA -> 23 = ADCB
35 BCDB
36 BCDC
- BDAB -> 29 = BADB
37 BDAC
38 BDAD
- BDBA -> 8 = ABDB
39 BDBC
40 BDBD
- BDCA -> 16 = ACDB
- BDCB -> 35 = BCDB
41 BDCD
- CABA -> 2 = ABAC
42 CABC
43 CABD
- CACA -> 11 = ACAC
- CACB -> 31 = BCAC
44 CACD
- CADA -> 19 = ADAC
- CADB -> 37 = BDAC
45 CADC
- CBAB -> 25 = BABC
- CBAC -> 42 = CABC
46 CBAD
- CBCA -> 13 = ACBC
- CBCB -> 33 = BCBC
47 CBCD
- CBDA -> 21 = ADBC
- CBDB -> 39 = BDBC
48 CBDC
- CDAB -> 30 = BADC
- CDAC -> 45 = CADC
49 CDAD
- CDBA -> 9 = ABDC
- CDBC -> 48 = CBDC
50 CDBD
- CDCA -> 17 = ACDC
- CDCB -> 36 = BCDC
51 CDCD
- DABA -> 3 = ABAD
- DABC -> 46 = CBAD
52 DABD
- DACA -> 12 = ACAD
- DACB -> 32 = BCAD
53 DACD
- DADA -> 20 = ADAD
- DADB -> 38 = BDAD
- DADC -> 49 = CDAD
- DBAB -> 26 = BABD
- DBAC -> 43 = CABD
- DBAD -> 52 = DABD
- DBCA -> 14 = ACBD
- DBCB -> 34 = BCBD
54 DBCD
- DBDA -> 22 = ADBD
- DBDB -> 40 = BDBD
- DBDC -> 50 = CDBD
- DCAB -> 28 = BACD
- DCAC -> 44 = CACD
- DCAD -> 53 = DACD
- DCBA -> 6 = ABCD
- DCBC -> 47 = CBCD
- DCBD -> 54 = DBCD
- DCDA -> 24 = ADCD
- DCDB -> 41 = BDCD
- DCDC -> 51 = CDCD
En hier nog een extra rekenvoorbeeld: de tabel voor rijtjes van 5 symbolen:
Voorwaarde 3 geeft \(n(n-1)^4 = 4\cdot 3^4 = 324\) rijtjes,
waarvan \(n(n-1)^2 = 4\cdot 3^2 = 36\) palindromen: symbool 1 heeft 4 mogelijkheden, symbool 2 heeft er 3, symbool 3 heeft er 3, symbool 4 heeft er 1 (moet gelijk zijn aan symbool 2) en symbool 5 heeft er 1 (moet gelijk zijn aan symbool 1)
Dus aantal niet-palindromen = 324 - 36 = 288, en die zijn dubbel vertegenwoordigd (wegens voorwaarde 2).
In totaal zijn er dan 36 + 288/2 = 180 rijtjes die voldoen zowel aan voorwaarde 2 als aan voorwaarde 3.
Code: Selecteer alles
1 ABABA =palindroom 1
2 ABABC
3 ABABD
4 ABACA
5 ABACB
6 ABACD
7 ABADA
8 ABADB
9 ABADC
10 ABCAB
11 ABCAC
12 ABCAD
13 ABCBA =palindroom 2
14 ABCBC
15 ABCBD
16 ABCDA
17 ABCDB
18 ABCDC
19 ABDAB
20 ABDAC
21 ABDAD
22 ABDBA =palindroom 3
23 ABDBC
24 ABDBD
25 ABDCA
26 ABDCB
27 ABDCD
- ACABA -> 4 = ABACA
28 ACABC
29 ACABD
30 ACACA =palindroom 4
31 ACACB
32 ACACD
33 ACADA
34 ACADB
35 ACADC
36 ACBAB
37 ACBAC
38 ACBAD
39 ACBCA =palindroom 5
40 ACBCB
41 ACBCD
42 ACBDA
43 ACBDB
44 ACBDC
45 ACDAB
46 ACDAC
47 ACDAD
- ACDBA -> 25 = ABDCA
48 ACDBC
49 ACDBD
50 ACDCA =palindroom 6
51 ACDCB
52 ACDCD
- ADABA -> 7 = ABADA
53 ADABC
54 ADABD
- ADACA -> 33 = ACADA
55 ADACB
56 ADACD
57 ADADA =palindroom 7
58 ADADB
59 ADADC
60 ADBAB
61 ADBAC
62 ADBAD
- ADBCA -> 42 = ACBDA
63 ADBCB
64 ADBCD
65 ADBDA =palindroom 8
66 ADBDB
67 ADBDC
68 ADCAB
69 ADCAC
70 ADCAD
- ADCBA -> 16 = ABCDA
71 ADCBC
72 ADCBD
73 ADCDA =palindroom 9
74 ADCDB
75 ADCDC
76 BABAB =palindroom 10
77 BABAC
78 BABAD
- BABCA -> 36 = ACBAB
79 BABCB
80 BABCD
- BABDA -> 60 = ADBAB
81 BABDB
82 BABDC
83 BACAB =palindroom 11
84 BACAC
85 BACAD
- BACBA -> 10 = ABCAB
86 BACBC
87 BACBD
- BACDA -> 68 = ADCAB
88 BACDB
89 BACDC
90 BADAB =palindroom 12
91 BADAC
92 BADAD
- BADBA -> 19 = ABDAB
93 BADBC
94 BADBD
- BADCA -> 45 = ACDAB
95 BADCB
96 BADCD
- BCABA -> 5 = ABACB
97 BCABC
98 BCABD
- BCACA -> 31 = ACACB
99 BCACB =palindroom 13
100 BCACD
- BCADA -> 55 = ADACB
101 BCADB
102 BCADC
- BCBAB -> 79 = BABCB
103 BCBAC
104 BCBAD
- BCBCA -> 40 = ACBCB
105 BCBCB =palindroom 14
106 BCBCD
- BCBDA -> 63 = ADBCB
107 BCBDB
108 BCBDC
- BCDAB -> 95 = BADCB
109 BCDAC
110 BCDAD
- BCDBA -> 26 = ABDCB
111 BCDBC
112 BCDBD
- BCDCA -> 51 = ACDCB
113 BCDCB =palindroom 15
114 BCDCD
- BDABA -> 8 = ABADB
115 BDABC
116 BDABD
- BDACA -> 34 = ACADB
- BDACB -> 101 = BCADB
117 BDACD
- BDADA -> 58 = ADADB
118 BDADB =palindroom 16
119 BDADC
- BDBAB -> 81 = BABDB
120 BDBAC
121 BDBAD
- BDBCA -> 43 = ACBDB
- BDBCB -> 107 = BCBDB
122 BDBCD
- BDBDA -> 66 = ADBDB
123 BDBDB =palindroom 17
124 BDBDC
- BDCAB -> 88 = BACDB
125 BDCAC
126 BDCAD
- BDCBA -> 17 = ABCDB
127 BDCBC
128 BDCBD
- BDCDA -> 74 = ADCDB
129 BDCDB =palindroom 18
130 BDCDC
- CABAB -> 77 = BABAC
131 CABAC =palindroom 19
132 CABAD
- CABCA -> 37 = ACBAC
- CABCB -> 103 = BCBAC
133 CABCD
- CABDA -> 61 = ADBAC
- CABDB -> 120 = BDBAC
134 CABDC
- CACAB -> 84 = BACAC
135 CACAC =palindroom 20
136 CACAD
- CACBA -> 11 = ABCAC
137 CACBC
138 CACBD
- CACDA -> 69 = ADCAC
- CACDB -> 125 = BDCAC
139 CACDC
- CADAB -> 91 = BADAC
140 CADAC =palindroom 21
141 CADAD
- CADBA -> 20 = ABDAC
142 CADBC
143 CADBD
- CADCA -> 46 = ACDAC
- CADCB -> 109 = BCDAC
144 CADCD
- CBABA -> 2 = ABABC
145 CBABC =palindroom 22
146 CBABD
- CBACA -> 28 = ACABC
- CBACB -> 97 = BCABC
147 CBACD
- CBADA -> 53 = ADABC
- CBADB -> 115 = BDABC
148 CBADC
- CBCAB -> 86 = BACBC
- CBCAC -> 137 = CACBC
149 CBCAD
- CBCBA -> 14 = ABCBC
150 CBCBC =palindroom 23
151 CBCBD
- CBCDA -> 71 = ADCBC
- CBCDB -> 127 = BDCBC
152 CBCDC
- CBDAB -> 93 = BADBC
- CBDAC -> 142 = CADBC
153 CBDAD
- CBDBA -> 23 = ABDBC
154 CBDBC =palindroom 24
155 CBDBD
- CBDCA -> 48 = ACDBC
- CBDCB -> 111 = BCDBC
156 CBDCD
- CDABA -> 9 = ABADC
- CDABC -> 148 = CBADC
157 CDABD
- CDACA -> 35 = ACADC
- CDACB -> 102 = BCADC
158 CDACD
- CDADA -> 59 = ADADC
- CDADB -> 119 = BDADC
159 CDADC =palindroom 25
- CDBAB -> 82 = BABDC
- CDBAC -> 134 = CABDC
160 CDBAD
- CDBCA -> 44 = ACBDC
- CDBCB -> 108 = BCBDC
161 CDBCD
- CDBDA -> 67 = ADBDC
- CDBDB -> 124 = BDBDC
162 CDBDC =palindroom 26
- CDCAB -> 89 = BACDC
- CDCAC -> 139 = CACDC
163 CDCAD
- CDCBA -> 18 = ABCDC
- CDCBC -> 152 = CBCDC
164 CDCBD
- CDCDA -> 75 = ADCDC
- CDCDB -> 130 = BDCDC
165 CDCDC =palindroom 27
- DABAB -> 78 = BABAD
- DABAC -> 132 = CABAD
166 DABAD =palindroom 28
- DABCA -> 38 = ACBAD
- DABCB -> 104 = BCBAD
167 DABCD
- DABDA -> 62 = ADBAD
- DABDB -> 121 = BDBAD
- DABDC -> 160 = CDBAD
- DACAB -> 85 = BACAD
- DACAC -> 136 = CACAD
168 DACAD =palindroom 29
- DACBA -> 12 = ABCAD
- DACBC -> 149 = CBCAD
169 DACBD
- DACDA -> 70 = ADCAD
- DACDB -> 126 = BDCAD
- DACDC -> 163 = CDCAD
- DADAB -> 92 = BADAD
- DADAC -> 141 = CADAD
170 DADAD =palindroom 30
- DADBA -> 21 = ABDAD
- DADBC -> 153 = CBDAD
171 DADBD
- DADCA -> 47 = ACDAD
- DADCB -> 110 = BCDAD
172 DADCD
- DBABA -> 3 = ABABD
- DBABC -> 146 = CBABD
173 DBABD =palindroom 31
- DBACA -> 29 = ACABD
- DBACB -> 98 = BCABD
174 DBACD
- DBADA -> 54 = ADABD
- DBADB -> 116 = BDABD
- DBADC -> 157 = CDABD
- DBCAB -> 87 = BACBD
- DBCAC -> 138 = CACBD
- DBCAD -> 169 = DACBD
- DBCBA -> 15 = ABCBD
- DBCBC -> 151 = CBCBD
175 DBCBD =palindroom 32
- DBCDA -> 72 = ADCBD
- DBCDB -> 128 = BDCBD
- DBCDC -> 164 = CDCBD
- DBDAB -> 94 = BADBD
- DBDAC -> 143 = CADBD
- DBDAD -> 171 = DADBD
- DBDBA -> 24 = ABDBD
- DBDBC -> 155 = CBDBD
176 DBDBD =palindroom 33
- DBDCA -> 49 = ACDBD
- DBDCB -> 112 = BCDBD
177 DBDCD
- DCABA -> 6 = ABACD
- DCABC -> 147 = CBACD
- DCABD -> 174 = DBACD
- DCACA -> 32 = ACACD
- DCACB -> 100 = BCACD
178 DCACD =palindroom 34
- DCADA -> 56 = ADACD
- DCADB -> 117 = BDACD
- DCADC -> 158 = CDACD
- DCBAB -> 80 = BABCD
- DCBAC -> 133 = CABCD
- DCBAD -> 167 = DABCD
- DCBCA -> 41 = ACBCD
- DCBCB -> 106 = BCBCD
179 DCBCD =palindroom 35
- DCBDA -> 64 = ADBCD
- DCBDB -> 122 = BDBCD
- DCBDC -> 161 = CDBCD
- DCDAB -> 96 = BADCD
- DCDAC -> 144 = CADCD
- DCDAD -> 172 = DADCD
- DCDBA -> 27 = ABDCD
- DCDBC -> 156 = CBDCD
- DCDBD -> 177 = DBDCD
- DCDCA -> 52 = ACDCD
- DCDCB -> 114 = BCDCD
180 DCDCD =palindroom 36
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
@RedCat,
Hoe kan ik U bedanken ?
Ik hoop dat U er zelf ook iets aan had.
Hou ik bij en druk ik af.
Zou moeten / kunnen nuttig zijn voor een mogelijke oplossing van het 4 kleuren probleem.
De symmetrie gevallen zijn / lijken in het 4 kleuren probleem onnuttig, omdat men een netwerk - oplossing ook kan spiegelen zonder dat nieuwe oplossingen nodig zijn.
Nogmaals dank voor het denken, de energie en de tijd.
Hoe kan ik U bedanken ?
Ik hoop dat U er zelf ook iets aan had.
Hou ik bij en druk ik af.
Zou moeten / kunnen nuttig zijn voor een mogelijke oplossing van het 4 kleuren probleem.
De symmetrie gevallen zijn / lijken in het 4 kleuren probleem onnuttig, omdat men een netwerk - oplossing ook kan spiegelen zonder dat nieuwe oplossingen nodig zijn.
Nogmaals dank voor het denken, de energie en de tijd.
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
@RedCat,
Ok, Een palindroom is symmetrisch...... maar niet alle symmetrische zijn palindroom.
Het invoeren van palindromen heeft uw reacties wel verzwaart (maar wel juist hoor).
Het was voldoende geweest dat niet te doen en de voorwaarde van "niet symmetrisch" sec toe te passen ...... geen probleem hoor.
Ok, Een palindroom is symmetrisch...... maar niet alle symmetrische zijn palindroom.
Het invoeren van palindromen heeft uw reacties wel verzwaart (maar wel juist hoor).
Het was voldoende geweest dat niet te doen en de voorwaarde van "niet symmetrisch" sec toe te passen ...... geen probleem hoor.
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
@RedCat,
Zoals ik schreef in voorwaarde 2.
2. Zonder spiegelbeeld, spiegelbeelden tellen niet mee...... vb ABC = CBA is maar 1 oplossing
................................
Ik schreef "spiegelbeeld" precies om geen verwarring te hebben , maar geen probleem hoor.
U maakte er "Symmetrisch van " en Palindroom."
Symmetrisch = vb ABCD en DCBA ..... ik noem dat spiegelbeeld ... en dat is geen palindroom.
Ik moet dus uw reacties nog eens goed doornemen als we op dezelfde lijn zitten.
Zoals ik schreef in voorwaarde 2.
2. Zonder spiegelbeeld, spiegelbeelden tellen niet mee...... vb ABC = CBA is maar 1 oplossing
................................
Ik schreef "spiegelbeeld" precies om geen verwarring te hebben , maar geen probleem hoor.
U maakte er "Symmetrisch van " en Palindroom."
Symmetrisch = vb ABCD en DCBA ..... ik noem dat spiegelbeeld ... en dat is geen palindroom.
Ik moet dus uw reacties nog eens goed doornemen als we op dezelfde lijn zitten.
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
@RedCat,
Zoals ik schreef in voorwaarde 2.
2. Zonder spiegelbeeld, spiegelbeelden tellen niet mee...... vb ABC = CBA is maar 1 oplossing
................................
Ik schreef "spiegelbeeld" precies om geen verwarring te hebben , maar geen probleem hoor.
U maakte er "Symmetrisch van " en Palindroom."
Symmetrisch = vb ABCD en DCBA ..... ik noem dat spiegelbeeld ... en dat is geen palindroom.
Ik moet dus uw reacties nog eens goed doornemen als we op dezelfde lijn zitten.
Zoals ik schreef in voorwaarde 2.
2. Zonder spiegelbeeld, spiegelbeelden tellen niet mee...... vb ABC = CBA is maar 1 oplossing
................................
Ik schreef "spiegelbeeld" precies om geen verwarring te hebben , maar geen probleem hoor.
U maakte er "Symmetrisch van " en Palindroom."
Symmetrisch = vb ABCD en DCBA ..... ik noem dat spiegelbeeld ... en dat is geen palindroom.
Ik moet dus uw reacties nog eens goed doornemen als we op dezelfde lijn zitten.
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
OK, dan zitten we op dezelfde lijn:
Met n symbolen kunnen we een lijst van \(n\cdot (n-1)^{(p-1)}\) verschillende rijtjes van lengte p maken onder alleen voorwaarde 3 (zoals in de voorbeelden hierboven).
Voorwaarde 2 schrapt uit deze lijst van verschillende rijtjes alle spiegelbeelden van rijtjes die al eerder in de lijst staan.
- palindromen: deze hebben geen spiegelbeeld in de lijst: ze komen maar 1 keer in de lijst voor (in feite zijn ze hun eigen spiegelbeeld, maar ze blijven allemaal in de lijst).
- niet-palindromen: deze hebben allemaal precies 1 spiegelbeeld in de lijst. Hiervan wordt er steeds 1 geschrapt. We houden zo de helft van alle niet-palindromen over.
Het aantal rijtjes onder voorwaarde 2 EN 3 is daarom:
(het aantal palindromen) + (het aantal niet-palindromen)/2
die in de voorwaarde-3-lijst staan.
Het aantal palindromen in de lijst had ik nodig om het aantal niet-palindromen in de lijst te berekenen, waarvan we de helft (= uw spiegelbeelden) verwijderen.
NOOT: die palindromen spelen alleen een rol als de rijlengte p oneven is: als p even is, dan zijn er geen palindromen in de voorwaarde-3-lijst (ofwel: dan is het aantal palindromen = 0), en houden we de helft van de lijst over.
Met n symbolen kunnen we een lijst van \(n\cdot (n-1)^{(p-1)}\) verschillende rijtjes van lengte p maken onder alleen voorwaarde 3 (zoals in de voorbeelden hierboven).
Voorwaarde 2 schrapt uit deze lijst van verschillende rijtjes alle spiegelbeelden van rijtjes die al eerder in de lijst staan.
- palindromen: deze hebben geen spiegelbeeld in de lijst: ze komen maar 1 keer in de lijst voor (in feite zijn ze hun eigen spiegelbeeld, maar ze blijven allemaal in de lijst).
- niet-palindromen: deze hebben allemaal precies 1 spiegelbeeld in de lijst. Hiervan wordt er steeds 1 geschrapt. We houden zo de helft van alle niet-palindromen over.
Het aantal rijtjes onder voorwaarde 2 EN 3 is daarom:
(het aantal palindromen) + (het aantal niet-palindromen)/2
die in de voorwaarde-3-lijst staan.
Het aantal palindromen in de lijst had ik nodig om het aantal niet-palindromen in de lijst te berekenen, waarvan we de helft (= uw spiegelbeelden) verwijderen.
NOOT: die palindromen spelen alleen een rol als de rijlengte p oneven is: als p even is, dan zijn er geen palindromen in de voorwaarde-3-lijst (ofwel: dan is het aantal palindromen = 0), en houden we de helft van de lijst over.
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
@RedCat,
Dank U wel,
En toch, en toch, waarom ging U over naar Palindroom ?
"Niet symmetrisch " was toch voldoende zoals in voorwaarde 1., ..... dat daar palindromen inzitten deed / doet er voor niet toe.
Mijn betrachting was / is om vier formules te hebben ...... waar enkel "n"en "p " voorkomen voor het aantal rijtjes die voldoen aan de twee voorwaarden.
Zou dat lukken ?
Dank U wel,
En toch, en toch, waarom ging U over naar Palindroom ?
"Niet symmetrisch " was toch voldoende zoals in voorwaarde 1., ..... dat daar palindromen inzitten deed / doet er voor niet toe.
Mijn betrachting was / is om vier formules te hebben ...... waar enkel "n"en "p " voorkomen voor het aantal rijtjes die voldoen aan de twee voorwaarden.
Zou dat lukken ?
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
(1)Regor schreef: (1) En toch, en toch, waarom ging U over naar Palindroom ?
(2) "Niet symmetrisch " was toch voldoende zoals in voorwaarde 1., ..... dat daar palindromen inzitten deed / doet er voor niet toe.
(3) Mijn betrachting was / is om vier formules te hebben ...... waar enkel "n"en "p " voorkomen voor het aantal rijtjes die voldoen aan de twee voorwaarden.
In de lijst met rijtjes onder voorwaarde 3 (geen gelijke letters naast elkaar) hebben
- palindromen buiten zichzelf geen gespiegelde versie in de lijst, palindromen zijn hier 1 keer vertegenwoordigd en moeten we dus allemaal meetellen (vb: ABA komt 1 keer in de lijst voor).
- niet-palindromen hebben allemaal precies 1 gespiegelde in de lijst, deze zijn dus dubbel vertegenwoordigd, hiervan moeten we dus de helft meetellen (vb: ABC en CBA komen beide in de lijst voor). Dit kunt u desgewenst ook zien als tweelingen die elkaars spiegelbeeld zijn, die we als 1 individu meetellen.
(2)
Als u onder "niet-symmetrisch" de dubbeltellingen bedoelt die we willen verwijderen dan klopt dit.
Maar om dit aantal te bepalen moeten we ook weten hoeveel palindromen er zijn,
(3)
Met n symbolen is het aantal verschillende rijtjes van lengte p onder alleen voorwaarde 3 gelijk aan \(n(n-1)^{(p-1)}\)
- voor rijlengte p = even:
Er zijn geen palindromen, dus dan is het aantal verschillende rijtjes = \(\frac{1}{2}n(n-1)^{(p-1)}\)
- voor rijlengte p = oneven:
zijn er \(n(n-1)^{(p-1)/2}\) palindromen en dus
\(n(n-1)^{(p-1)}-n(n-1)^{(p-1)/2}\) niet-palindromen waarvan we slechts de helft meetellen.
Het aantal verschillende rijtjes is in dit geval dus:
(het aantal palindromen) + (de helft van het aantal niet-palindromen) =
\(n(n-1)^{(p-1)/2} + \frac{1}{2}\left[n(n-1)^{(p-1)}-n(n-1)^{(p-1)/2}\right]=\)
\(\frac{1}{2}\left[n(n-1)^{(p-1)}+n(n-1)^{(p-1)/2}\right]\)
Voorbeelden voor n=4, p even, met voorwaarden 2 EN 3:
p=2: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^1 = 12\)
p=4: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^3 = 108\)
Voorbeelden voor n=4, p oneven, met voorwaarden 2 EN 3:
p=1: aantal verschillende rijtjes = \(\frac{1}{2}\left[4\cdot 3^0+4\cdot 3^0 \right] = 4\)
p=3: aantal verschillende rijtjes = \(\frac{1}{2}\left[4\cdot 3^2+4\cdot 3^1 \right] = 24\)
p=5: aantal verschillende rijtjes = \(\frac{1}{2}\left[4\cdot 3^4+4\cdot 3^2 \right] = 180\)
En deze getallen hadden we eerder ook al gevonden.
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
Lees in bovenstaande (ik was te traag met nalezen, vorig topic hadden ze al geblokkeerd voor wijzigingen):
Voorbeelden voor n=4, p even, met voorwaarden 2 EN 3:
p=2: aantal verschillende rijtjes = \(\frac{1}{2}\cdot 4⋅3^1=6\)
p=4: aantal verschillende rijtjes = \(\frac{1}{2}\cdot 4⋅3^3=54\)
Voorbeelden voor n=4, p even, met voorwaarden 2 EN 3:
p=2: aantal verschillende rijtjes = \(\frac{1}{2}\cdot 4⋅3^1=6\)
p=4: aantal verschillende rijtjes = \(\frac{1}{2}\cdot 4⋅3^3=54\)
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
@RedCat,
Dank U.
Was net een reactie aan het schrijven dat U in een vorige reactie ondermeer voor n = 4 en p = 4 54 schreef in plaats van 108.
Maar U corrigeerde het razendsnel net voor deze reactie van mij.
Bedankt voor alles hoor ....nu is het aan mij om er verder iets nuttigs mee te doen
Dank U.
Was net een reactie aan het schrijven dat U in een vorige reactie ondermeer voor n = 4 en p = 4 54 schreef in plaats van 108.
Maar U corrigeerde het razendsnel net voor deze reactie van mij.
Bedankt voor alles hoor ....nu is het aan mij om er verder iets nuttigs mee te doen
ads
Re: Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.
@RedCat,
Als symmetrie wel aanvaard wordt ..... dan worden de mogelijke aantallen verdubbeld .. klopt dat ?
Als symmetrie wel aanvaard wordt ..... dan worden de mogelijke aantallen verdubbeld .. klopt dat ?
