Waar vind ik het bewijs dat Priems = 6n-1 of 6n+1 maar niet omgekeerd ?

[Regor]

Het is alom bekend dat :

1. Alle Priem cijfers / getallen (uitgezonderd 2 en 3) van de vorm zijn 6n-1 of 6n+1
2. Maar niet alle getallen van de vorm 6n-1 of 6n+1 zijn Priem.

Waar kan ik een bewijs van 1. vinden ...... of wie heeft / geeft een eigen bewijs ?

[vijv]

Volgens mij heel eenvoudig:

Alle getallen zijn van de vorm :

6n --> even dus priemgetallen kunnen deze vorm niet hebben
6n+1
6n+2 --> even dus priemgetallen kunnen deze vorm niet hebben
6n+3 --> deelbaar door drie dus priemgetallen kunnen deze vorm niet hebben
6n+4 --> even dus priemgetallen kunnen deze vorm niet hebben
6n+5 = 6n-1

Dus alle priemgetallen moete de vorm 6n+1 of 6n-1 hebben, maar natuurlijk niet omgekeerd bijv 35 heeft de vorm 6n-1
Je kan dit ook doen voor andere modulo's

[OOOVincentOOO]

(ik zie dat er al geantwoord is was bezig met schrijven dus niet gezien maar toch):

Een getal n is priem indien niet deelbaar door een priemgetal p<n.

Alle veelvouden van 2 behalve 2 zijn niet priem. Dus: 2n-1 of 2n+1 mogelijk priem.
Alle veelvouden van 3 behalve 3 zijn niet priem. Dus: 3n-1 of 3n+1 mogelijk priem.
Alle veelvouden van 2*3=6 zijn niet priem. Dus: 6n-1 of 6n+1 mogelijk priem.

Met de laatste 6 zijn alle getallen afgedekt. Want 2*3*5=30 is al afgedekt en tevens ook 2*3*5*7=210.

AI legt het anders en misschien beter uit: \(\)

\(\)

Een getal \(n\) is priem indien niet deelbaar door een priemgetal \(p<n\).

Alle veelvouden van 2 behalve 2 zijn niet priem. Dus: \(n = 2k \pm 1\) mogelijk priem.

Alle veelvouden van 3 behalve 3 zijn niet priem. Dus: \(n \neq 3k\).

Combineer dit (vincent: elk getal te is schrijven als):

\(n = 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5\)

Daarvan zijn:

\(6k, 6k+2, 6k+4\) deelbaar door 2

\(6k+3\) deelbaar door 3

Dus blijven over:

\(n = 6k+1\) of \(n = 6k+5 = 6k-1\)

Dus: \(n = 6k \pm 1\) mogelijk priem.

[Regor]

@vijv en @Vincent,

Bedankt,

Ok, weeral een voorbeeld van iets dat achteraf belachelijk eenvoudig was / is.

Maar waarom kan men niet vertrekken van:
4n
4n+1 ..... of 4n-3
4n+2
4n+3 ......of 4n-1

Of van:
8n
8n +1 .... of 8n-7
8n +2
8n +3 .... of 8n -5
8n +4
8n +5 .... of 8n -3
8n +6
8n +7 ....of 8n -1

[OOOVincentOOO]

Kun je de tijd nemen uit te werken wat je bedoeld? Je geeft slechts twee rijen getallen zonder verdere context. En dat leid tot speculatie.

[Regor]

@Vincent,

Maar ik geef toe dat ik met ouder te worden 75+ steeds luier wordt, sorry.
Ik denk liever dan dat ik opschrijf wat ik denk.

Wat ik bedoel is, als men vertrekt van 4 in plaats van 6, kan men dan ook niet stellen dat alle priems van de vorm 4n + of - 1 zijn ?
Of maak ik (weeral) een domme fout ?

4n steeds even, dus nooit priem
4n+1 ..... of 4n-3
4n+2 steeds even, dus nooit priem.
4n+3 ......of 4n-1

[OOOVincentOOO]

Ja dat klopt volgens mij. Dat is toch hetzelfde dan ik in mijn eerste post ook vertel met: 2n±1 en 3n±1 of 5n±1? Het is zo dat 6n±1 de eerste is die alle priemgetallen (en andere getallen) afdekt behalve 2 en 3.

[Regor]

@Vincent,

U schreef 5n + of - 1 maar bedoelde wellicht 6n +1 of -1 .
Maar ik ben het niet eens (sorry Vincent) dat 6 n+1 of -1 de eerste die alle priemgetallen afdekt, behalve 2 en 3
Ik denk dat 2n +1 of -1 de eerste is die ze allemaal afdekt....... klopt dat ?

Enig idee als er evenveel priems zijn volgens 6n+1 dan volgens 6n-1 ?

[OOOVincentOOO]

Maar ik ben het niet eens (sorry Vincent) dat 6 n+1 of -1 de eerste die alle priemgetallen afdekt, behalve 2 en 3
Ik denk dat 2n +1 of -1 de eerste is die ze allemaal afdekt....... klopt dat ?

Enig idee als er evenveel priems zijn volgens 6n+1 dan volgens 6n-1 ?

Ik ben het ook oneens met mijn vorige bewoording. 2n±1 denkt inderdaad alle. Maar volgens mij is de 6n±1 de meeste efficiënte filter volgens dit principe van ±1.

[Regor]

@Vincent,

Hoe zou U in dat geval "efficienter" definieren ?

[vijv]

2n+1 of 2n-1 is hetzelfde.

[Regor]

@vijv en @Vincent,

Oei, wist ik niet.
Natuurlijk lijkt het allemaal koude pap .... maar er komt meer hoor ..... is allemaal maar een voorspel.
Laat ons Priem 2 even niet beschouwen.
Laat ons een verhouding definieren P/ NP .... priem / niet priem ........ tot een bepaalde waarde van "n"

Met 2n plus of min 1 .... heeft men alle Priems, omdat men alle oneven getallen heeft. .......verhouding P / NP ?
Met 4n plus of min 1 ...... heeft men ook alle Priems ( mee eens ?) ...... verhouding P / NP ?
Met 6n plus of min 1 ...... idem ....... P / NP ?
Met 8n plus of min 1 en plus of min 3 ....idem ..... P / NP

Welke heeft de grootste verhouding P / NP ?
( Is het dat wat U bedoelde beste Vincent met efficienter ?)

[OOOVincentOOO]

Ik weet eigenlijk ook niet wat ik wilde zeggen. Maar 6n±1 bevat alle priemgetallen behalve: 2 en 3. Maar wat wil je verder concluderen?

[Regor]

@Vincent,

Mooi,

Staat in mijn vorige post tamelijk duidelijk omschreven.
Misschien nog eens lezen Vincent ?

Er staan 2 bedenkingen in:
1. Bereikt men met wat ik schreef in verband met 4n en 8 n ook alle priems ?
2. Zo ja, welke is de hoogste verhouding P/NP in de aangehaalde gevallen ...... beperkt natuurlijk tot een grote waarde "n"
zo niet krijgt men ....oneindig / oneindig

Was mijn antwoord voldoende Vincent ?

[OOOVincentOOO]

Ik ben aan het werk. Dus ik heb geen niet volledig tijd om U the bedienen HRH!

Hier een plot met percentages hoeveel priemgetallen worden omvat:

Met AI krijg ik het volgende en schijnt verband te hebben met: "Dirichlet’s theorem" zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet ... ogressions

Code: Selecteer alles

import pandas as pd
def generate_prime_flags(n):
    primes = [1] * (n + 1)
    primes[0] = 0
    primes[1] = 0
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if primes[i] == 1:
            for multiple in range(i * i, n + 1, i):
                primes[multiple] = 0
    return primes
n_max = 100000
prime_flags = generate_prime_flags(n_max)
# Create base DataFrame
df = pd.DataFrame({
    "n": range(1, n_max + 1),
    "prime": prime_flags[1:]
})
# ✅ Create mod(2) to mod(20) columns
for k in range(2, 21):
    df[f"mod{k}_flag"] = (
        (df["n"] % k == 1) | (df["n"] % k == k - 1)
    ).astype(int)

for k in range(2, 21):
    df[f"prime_mod{k}_flag"] = (
        df["prime"] & df[f"mod{k}_flag"]
    ).astype(int)

# Cumulative sum of prime column
df["prime_cumsum"] = df["prime"].cumsum()
# Cumulative sum for each prime_modk_flag
for k in range(2, 21):
    df[f"prime_mod{k}_cumsum"] = df[f"prime_mod{k}_flag"].cumsum()


# Avoid division by zero for the first rows
for k in range(2, 21):
    df[f"prime_mod{k}_ratio"] = (
        df[f"prime_mod{k}_cumsum"] / df["prime_cumsum"]
    )
# Optional: replace NaN (from division by zero at n=1) with 0
df.fillna(0, inplace=True)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Reduce data for smoother plotting
df_sample = df.iloc[::100]
plt.figure(figsize=(12, 8))
# Collect final y-values
curves = []
for k in range(2, 21):
    y_end = df_sample[f"prime_mod{k}_ratio"].iloc[-1]
    curves.append((k, y_end))
# Sort by final y-value
curves.sort(key=lambda x: x[1])
# Create evenly spaced label positions
y_positions = np.linspace(
    min(y for _, y in curves),
    max(y for _, y in curves),
    len(curves)
)
x_end = df_sample["n"].iloc[-1]
for (k, y_actual), y_label in zip(curves, y_positions):
    y_curve = df_sample[f"prime_mod{k}_ratio"]
    x_curve = df_sample["n"]
    # Plot curve
    plt.plot(x_curve, y_curve)
    # Draw connector line
    plt.plot([x_end, x_end * 1.02],
             [y_actual, y_label],
             linewidth=0.8,
             color='black',
             linestyle="--")
    # Place label
    plt.text(
        x_end * 1.02,
        y_label,
        f"{k}n±1",
        va='center',
        fontsize=9
    )
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Relative Percentage")
plt.title("Relative Share of Primes in Residue Classes ±1 mod k")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

# Save
df.to_csv("prime_numbers_with_mod2_to_mod20.csv", index=False)
print("File created successfully.")