regeltechniek probleem

[HansH]

Ik wil een magneet laten zweven door er een andere magneet boven te hangen op een afstand die er precies voor zorgt dat de aantrekkingkracht tussen de 2 magneten even groot is als het gewicht van de onderste magneet.

Met het varieren van de positie van de bovenste magneet moet het in principe mogelijk zijn om de kracht op de onderste mangeet zodanig te regelen dan de onderste magneet blijft zweven.

Stel dat ik de positie van de onderste magneet kan meten en wil regelen naar een bepaalde waarde door de positie van de bovenste magneet te sturen.

hoe kan ik dat het beste doen op een zodanige manier dat er een stabiele regeling mogelijk is?
bv via koppeling van de bovenste magneet aan een spreekspoel van een luidspreker die stroomgestuurd is of spanningsgerstuurd. of via een servo?
Hoe moet dan de overdracht van de regelaar van gemeten positie van de onderste magneet naar stuursignaal voor de regeling van de bovenste magneet eruit zien om dat op een stabiele manier voor elkaar te krijgen?

[HansH]

ik wil dit idee toepassen om contactloos te wegen door de deksel van een RVS vat heen.

[pietkuip]

Zoals je waarschijnlijk al wel weet kan dit niet echt stabiel (Earnshaws theorema, https://en.wikipedia.org/wiki/Earnshaw%27s_theorem).

Met regeltechniek kan het wel. Het eenvoudigste idée is om dit te doen met een fotocell en een lichtstraal die onderbroken wordt wanneer het stuk ijzer te dicht bij de magneet komt.

[HansH]

ja klopt. het gaat dus om een stabiel regelsysteem ter bedenken

[wnvl1]

Ik vermoed dat het moet lukken met een PID regelaar.

Het idee om een magneet te laten zweven onder invloed van een andere magneet kan worden beschreven door de krachten die werken op de onderste magneet. Stel dat de onderste magneet een massa \(m\) heeft en onderhevig is aan zwaartekracht \(mg\), terwijl de bovenste magneet een kracht \(F(z)\) uitoefent die afhangt van de afstand \(z\) tussen de twee magneten. In eerste benadering kan deze kracht worden gemodelleerd als een dipoolkracht volgens
\[
F(z) \approx \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{6 m_1 m_2}{z^4},
\]
waarbij \(m_1\) en \(m_2\) de magnetische momenten van de respectieve magneten zijn. Een passief systeem waarbij de bovenste magneet vaststaat en de onderste magneet vrij zweeft is echter fundamenteel instabiel, zoals volgt uit het Theorema van Earnshaw, omdat een kleine verstoring van de verticale positie van de onderste magneet leidt tot versnelling omhoog of omlaag. Om een stabiele zweefpositie te realiseren is daarom een actieve feedbackregelaar nodig. Stel dat de hoogte van de onderste magneet wordt gemeten als \(x(t)\) en de gewenste zweefhoogte \(x_\text{set}\) is. Een PID-regelaar kan dan worden gebruikt om een stuursignaal \(u(t)\) voor de bovenste magneet te berekenen volgens
\[
u(t) = K_p (x_\text{set} - x(t)) + K_i \int_0^t (x_\text{set} - x(\tau))\, d\tau + K_d \frac{d}{dt}(x_\text{set} - x(t)).
\]
Hierbij kan \(u(t)\) bijvoorbeeld de stroom door een spoel zijn die aan de bovenste magneet is bevestigd, zodat de magnetische kracht proportioneel is aan de stroom, of het kan de positie van een lineaire actuator of servo zijn die de bovenste magneet beweegt. Omdat de kracht \(F(z)\) niet lineair is in \(z\), is het nuttig om rond de gewenste zweefpositie \(z_0\) een linearisatie toe te passen:
\[
F(z) \approx F(z_0) + \frac{dF}{dz}\bigg|_{z_0} (z - z_0),
\]
waardoor het regelprobleem ongeveer lineair wordt en de PID-parameters kunnen worden afgestemd voor stabiliteit. Het stuursignaal moet zodanig worden gekozen dat een daling van \(x\) een toename van de kracht veroorzaakt, terwijl afstemming van de afgeleide term oscillaties dempt en een integratieterm eventuele offsets corrigeert. Met dit principe kan de onderste magneet stabiel op de gewenste hoogte zweven, ondanks dat een passief systeem instabiel zou zijn.

[pietkuip]

Hier een design dat een Hall-sensor gebruikt: https://learn.sparkfun.com/tutorials/ma ... evitation/

En hier eentje met de optische methode: https://next.gr/circuits/miscellaneous/ ... uit-c42953
Ik heb zelf ooit iets in elkaar gedraaid met LDR en een Kepco BOP stuurbare voeding, eigenlijk een soort enorme operationele versterker.

[OOOVincentOOO]

Hier misschien wat inspiratie. Ik weet alleen niet wat gemeten word ik vermoed de massa in de drie servo's (dmv stroom verbruik van drie servos).

Edit:
Ohh, nee dat is het niet! Er zitten IR-LEDs op de tafel welke de positie meten! Dus wellicht niet zo een interessant voorbeeld.

How does it Work ?
BaBot is built around three key components: small servos and two custom-designed PCBs.
The first PCB houses the main control chips, while the second, positioned just beneath the top plate, tracks the ball’s position using an array of IR LEDs and phototransistors

https://www.ba-bot.com

[Professor Puntje]

@wnvl1 Instabiliteit volgt vaak uit niet-lineariteit en daarom vraag ik mij af of je het systeem wel stabiel kunt maken door de niet-lineariteit ervan te verwaarlozen.

[HansH]

@wnvl1 Instabiliteit volgt vaak uit niet-lineariteit en daarom vraag ik mij af of je het systeem wel stabiel kunt maken door de niet-lineariteit ervan te verwaarlozen.

Een stabiel systeem gaat naar een oscillatie met amplitude 0. omdat de amplitude van de oscillatie bepaalt hoe veel je in het niet lineaire deel komt zal je geen last hebben van niet lineariteit als de amplitude onder een bepaalde waarde is gekomen. maar bij grote amplitudes, bv als gevolg van een verstoring van buitenaf kan de amplitude wel zodanig groot worden dan het geheel instabiel wordt. Een mooi praktijk voorbeeld daarvan is een caravan achter een auto terwijl de combinatie te hard rijdt. Dat gaat prima tot het moment dat er een verstoring optreedt waardoor de caravan een beetje gaat slingeren en in het niet lineaire gebied komt. Daarna is het binnen de kortste keren afgelopen en eindigt de hele combinatie langs de weg.

[Professor Puntje]

Er is ook nog de mogelijkheid dat de amplitude (bij verwaarlozing van de niet-lineairiteit) langzaam maar zeker aangroeit waardoor het uiteindelijk toch fout gaat. Of dat hier zo is weet ik niet Je zou dat met een analoge of digitale simulatie kunnen controleren.

[wnvl1]

Is moeilijk op voorhand te zeggen, je zal het moeten proberen, denk ik.

[HansH]

Een PID-regelaar kan dan worden gebruikt om een stuursignaal \(u(t)\) voor de bovenste magneet te berekenen volgens
\[
u(t) = K_p (x_\text{set} - x(t)) + K_i \int_0^t (x_\text{set} - x(\tau))\, d\tau + K_d \frac{d}{dt}(x_\text{set} - x(t)).
\]
Hierbij kan \(u(t)\) bijvoorbeeld de stroom door een spoel zijn die aan de bovenste magneet is bevestigd, zodat de magnetische kracht proportioneel is aan de stroom, of het kan de positie van een lineaire actuator of servo zijn die de bovenste magneet beweegt. Omdat de kracht \(F(z)\) niet lineair is in \(z\), is het nuttig om rond de gewenste zweefpositie \(z_0\) een linearisatie toe te passen:
\[
F(z) \approx F(z_0) + \frac{dF}{dz}\bigg|_{z_0} (z - z_0),
\]
waardoor het regelprobleem ongeveer lineair wordt en de PID-parameters kunnen worden afgestemd voor stabiliteit. Het stuursignaal moet zodanig worden gekozen dat een daling van \(x\) een toename van de kracht veroorzaakt, terwijl afstemming van de afgeleide term oscillaties dempt en een integratieterm eventuele offsets corrigeert. Met dit principe kan de onderste magneet stabiel op de gewenste hoogte zweven, ondanks dat een passief systeem instabiel zou zijn.

het signaal u(t) zou een stroom in luidsprekerspoel kunnen zijn (noem in daarom even I(t) ) waarbij de spoelkoker aan de magneet is bevestigt. punt is echter dan de kracht op de bovenste magneet dan evenredig is met de stroom I(t) door de spoel, maar de kracht is de 2e afgeleide van de positie van de bovenste magneet (F=m.a)

in het geregelde punt moet de kracht op de onderste magneet precies gelijk zijn aan de zwaartekracht die op die magneet werkt.
dat levert maar 1 mogelijke stabiele oplossing op voor l=x+y
tussen I(t) en x zit in dat stabiele punt echter ook nog 2 integralen om van kracht naar positie x te komen. dus totaal zitten er 4 integralen in die regellus als je het zo zou doen. 2 integralen leveren al 180 graden fasedraaiing op dus met 4 integralen zou je minimaal 2 differentiators moeten hebben. dat gaat in de praktijk niet werken denk ik.
Dus wat je denk ik moet doen is al een lokale feedback loop maken rondom de luidspreker magneet die regelt naar een positie y met een bandbreedte goter dan de bandbreedte van de hoofloop. positie y is dan de uitgang van de hoofdregelaar. Dan heb je nog steeds 2 integralen om van y naar l te komen vanwege F=m.a voor de zwevende magneet dus meer dan 180 graden fasedraaiing dus instabiel. dat kun je dan hopelijk oplossen met een d actie in de regelaar.

[HansH]

Er is ook nog de mogelijkheid dat de amplitude (bij verwaarlozing van de niet-lineairiteit) langzaam maar zeker aangroeit waardoor het uiteindelijk toch fout gaat. Of dat hier zo is weet ik niet Je zou dat met een analoge of digitale simulatie kunnen controleren.

Dan heb je het volgens mij over een instabiele regelloop dus een verkeerd gekozen design.

[Professor Puntje]

De mogelijkheid waarop ik wijs is dat linearisering in dit geval ongeoorloofd zou zijn:

(bij verwaarlozing van de niet-lineairiteit)

[HansH]

De mogelijkheid waarop ik wijs is dat linearisering in dit geval ongeoorloofd zou zijn:

(bij verwaarlozing van de niet-lineairiteit)

Dat had ik volgens mij toegelicht: Een stabiel systeem kan boven een bepaalde afwijking van het setpoint toch instabiel worden vanwege niet lineaire effecten. Maar ik denk dat de volgorde waarin je daarmee het probleem wilt oplossen verkeerdom is:
Normaal gesproken ga je eerst kijken of je een systeem stabiel kunt maken vanuit een gelineariseerd operating point en als dat lukt ga je kijken naar evt effecten van niet lineariteit.