Nog een puzzel met tensoren uit de sterkteleer

[wnvl1]

Gegeven is de spanningstensor in een punt van een continuüm:
\[
\boldsymbol{\sigma} =
\begin{pmatrix}
60 & 20 & 10 \\
20 & 40 & 0 \\
10 & 0 & 30
\end{pmatrix} \quad \text{(MPa)}
\]

1. Bereken de spanningsvector (traction vector) op een vlak met eenheidsnormaal:
\[
\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)
\]

2. Bepaal de normale spanning en de schuifspanning op dit vlak.

Beschouw een rotatie van het coördinatensysteem rond de \(z\)-as met hoek \(\theta = 45^\circ\).

3. Stel de rotatiematrix \(\mathbf{Q}\) op.
4. Bepaal de getransformeerde spanningstensor \(\boldsymbol{\sigma}' = \mathbf{Q}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{Q}^T\)