Tekens scheppings- en vernietigingsoperatoren

[wnvl1]

Mijn vraag is louter gerelateerd aan de tekens in de exponent. Het verhaal van de positieve energie oplossingen van de Klein Gordon vergelijking is mij bekend. De vragen staan in het vet.

Voor een vrij scalaire veld (met massa (m)) schrijf je:

\[
\phi(\mathbf{x}, t)
= \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \, \frac{1}{\sqrt{2\omega_\mathbf{k}}}
\left(
a_\mathbf{k} \, e^{-i(\omega_\mathbf{k} t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}
+ a_\mathbf{k}^\dagger \, e^{i(\omega_\mathbf{k} t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}
\right)
\]



De factor
\[
e^{-i(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})} = e^{-i k\cdot x}
\]
komt overeen met een golfrichting vooruit in de tijd — een positieve frequentie.

Waarom associeer je dit met een golfrichting vooruit in de tijd?

Dit associeer je met vernietiging (annihilatie) van een kwantum, dus met \(a_\mathbf{k}\).

Waarom wordt een positieve frequentie geassocieerd met een vernietiging?



Aan de andere kant geldt.

De factor
\[
e^{+i(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})} = e^{+i k\cdot x}
\]
komt overeen met een negatieve frequentiecomponent (terug in de tijd).
Dit wordt geïnterpreteerd als creatie van een deeltje, dus met \(a_\mathbf{k}^\dagger\).

[HansH]

als je het vergelijkt met de formules uit de elektrotechniek dan zijn het 2 toegevoegd complexe waarden. dat levert met de k.x erbij een beschrijving van een sinus in X richting die als functie van de tijd varieert . dat is dus een lopende golf in de tijd.

[wnvl1]

Ter kadering: de Klein--Gordonvergelijking in QFT geldt zowel voor reële als complexe velden, maar de interpretatie verschilt.

1. Reëel scalaire veld

Een reëel veld \(\phi(x)\) voldoet aan
\[
\phi^\dagger(x) = \phi(x).
\]

De Klein--Gordonvergelijking is
\[
(\Box + m^2)\phi(x) = 0.
\]

De Fourier-oplossing met expliciete tijd is
\[
\phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_\mathbf{k}}}
\Big( a_\mathbf{k} e^{-i (\omega_\mathbf{k} t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})} + a_\mathbf{k}^\dagger e^{i (\omega_\mathbf{k} t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})} \Big),
\]
waarbij \(a_\mathbf{k}\) de annihilatie-operator is en \(a_\mathbf{k}^\dagger\) de creatie-operator.

Het veld beschrijft één type neutraal deeltje, dat zijn eigen antideeltje is. Een fysiek voorbeeld is het Higgsveld.

2. Complex scalaire veld

Een complex veld \(\phi(x)\) voldoet niet aan \(\phi^\dagger = \phi\).
De Klein-Gordonvergelijking geldt apart voor \(\phi\) en \(\phi^\dagger\):
\[
(\Box + m^2)\phi(x) = 0, \qquad (\Box + m^2)\phi^\dagger(x) = 0.
\]

De Fourier-oplossing met tijd is
\[
\phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_\mathbf{k}}}
\left( a_\mathbf{k} e^{-i (\omega_\mathbf{k} t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})} + b_\mathbf{k}^\dagger e^{i (\omega_\mathbf{k} t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})} \right),
\]
waarbij \(a_\mathbf{k}\) een deeltje annihileert en \(b_\mathbf{k}^\dagger\) een antideeltje creëert.

[wnvl1]

Ik vermoed dat de energie-operator \(i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\) is en dat je daarom een - teken nodig hebt in de exponent voor de complexe eenheid i om een positieve energie uit te komen. Klopt dat al?
Wat is dan de simpelste logica om dat te associëren met een vernietiging?

[flappelap]

Ik zou de berekening scherper moeten bekijken, maar ik zou dat teken vanuit het Heisenberg-picture verklaren. Zie blz 35/36 van

https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf

[wnvl1]

Ik heb eens gevraagd aan Deepseek om het vanuit de tijdevolutie van operatoren in het Heisenbergbeeld te bekijken, zoals je zei. Zo begrijp ik het wel. Maar dat is wel extreem moeilijk om zoiets intuitief in te zien als je een QFT boek leest. Als het er zo staat, kan je het wel begrijpen, maar de volgende dag ben je weer vergeten hoe het met de tekens zit.

Overigens de uitleg van chatgpt is voor mij niet duidelijk. Hieronder de uitleg van deepseek.



-------------------------

## 1. Het Basisidee: Twee Beelden

In de kwantummechanica zijn er twee equivalente manieren om tijdevolutie te beschrijven:

* **Schrödingerbeeld:** De **toestandsvectoren** evolueren in de tijd, operatoren zijn constant (behalve expliciete tijdsafhankelijkheid).
* **Heisenbergbeeld:** De **operatoren** evolueren in de tijd, toestandsvectoren zijn constant.

In QFT werkt het Heisenbergbeeld bijzonder goed omdat het **relativistische covariantie** natuurlijk handhaaft - ruimte en tijd worden op gelijke voet behandeld.

## 2. De Fundamentele Vergelijking: De Heisenberg-vergelijking

Voor een operator \( \hat{O}_H(t) \) in het Heisenbergbeeld geldt:

\[
i\hbar\frac{d}{dt}\hat{O}_H(t) = [\hat{O}_H(t), \hat{H}]
\]

Waarbij \( \hat{H} \) de **Hamilton-operator** is (de generator van tijdsvertalingen).

Voor de meeste QFT-toepassingen stellen we \( \hbar = 1 \), dus:

\[
i\frac{d}{dt}\hat{O}_H(t) = [\hat{O}_H(t), \hat{H}]
\]

### Formele Oplossing
Als \( \hat{H} \) niet expliciet van de tijd afhangt, kunnen we de formele oplossing schrijven:

\[
\hat{O}_H(t) = e^{i\hat{H}t} \hat{O}_H(0) e^{-i\hat{H}t}
\]

Dit is de **tijdevolutie-operator** die op de operator inwerkt.

## 3. Concreet Voorbeeld: Creatie-/Annihilatie-Operatoren

Laten we dit toepassen op de creatie- en annihilatie-operatoren voor een **vrij scalair veld**.

De Hamilton-operator is:
\[
\hat{H} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} E_{\vec{p}} \, \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger \hat{a}_{\vec{p}}
\]
waar \( E_{\vec{p}} = \sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2} \).

### Voor \( \hat{a}_{\vec{p}}(t) \):

We berekenen de commutator:
\[
[\hat{a}_{\vec{p}}, \hat{H}] = \int \frac{d^3q}{(2\pi)^3} E_{\vec{q}} [\hat{a}_{\vec{p}}, \hat{a}_{\vec{q}}^\dagger \hat{a}_{\vec{q}}]
\]

Gebruikmakend van \( [\hat{a}_{\vec{p}}, \hat{a}_{\vec{q}}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{q}) \) en \( [\hat{a}_{\vec{p}}, \hat{a}_{\vec{q}}] = 0 \), vinden we:

\[
[\hat{a}_{\vec{p}}, \hat{H}] = E_{\vec{p}} \hat{a}_{\vec{p}}
\]

De Heisenberg-vergelijking wordt dus:
\[
i\frac{d}{dt}\hat{a}_{\vec{p}}(t) = [\hat{a}_{\vec{p}}(t), \hat{H}] = E_{\vec{p}} \hat{a}_{\vec{p}}(t)
\]

Deze differentiaalvergelijking heeft als oplossing:
\[
\hat{a}_{\vec{p}}(t) = \hat{a}_{\vec{p}}(0) e^{-iE_{\vec{p}}t}
\]

### Voor \( \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger(t) \):

Op dezelfde manier:
\[
[\hat{a}_{\vec{p}}^\dagger, \hat{H}] = -E_{\vec{p}} \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger
\]
\[
i\frac{d}{dt}\hat{a}_{\vec{p}}^\dagger(t) = -E_{\vec{p}} \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger(t)
\]
\[
\hat{a}_{\vec{p}}^\dagger(t) = \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger(0) e^{iE_{\vec{p}}t}
\]

## 4. Het Veld als Operator

Nu kunnen we begrijpen waarom het veld er zo uitziet als we het eerder zagen:

Het vrije scalaire veld in het Heisenbergbeeld is:
\[
\hat{\phi}(t, \vec{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\vec{p}}}}
\left(
\hat{a}_{\vec{p}} e^{-iE_{\vec{p}}t}e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}} + \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger e^{iE_{\vec{p}}t}e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}}
\right)
\]

Merk op dat:
- \( \hat{a}_{\vec{p}} e^{-iE_{\vec{p}}t} \) precies onze geëvolueerde annihilatie-operator \( \hat{a}_{\vec{p}}(t) \) is
- \( \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger e^{iE_{\vec{p}}t} \) precies onze geëvolueerde creatie-operator \( \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger(t) \) is

Dus het veld wordt:
\[
\hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\vec{p}}}}
\left(
\hat{a}_{\vec{p}}(0) e^{-ip\cdot x} + \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger(0) e^{ip\cdot x}
\right)
\]

## 5. Fysische Interpretatie

De tijdevolutie heeft een mooie fysische interpretatie:

- **Annihilatie-operator** \( \hat{a}_{\vec{p}}(t) = \hat{a}_{\vec{p}} e^{-iE_{\vec{p}}t} \):
Vernietigt een deeltje en "betaalt" de energie \( E_{\vec{p}} \)

- **Creatie-operator** \( \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger(t) = \hat{a}_{\vec{p}}^\dagger e^{iE_{\vec{p}}t} \):
Creëert een deeltje en "krijgt" de energie \( E_{\vec{p}} \)

[flappelap]

Ik heb eens gevraagd aan Deepseek om het vanuit de tijdevolutie van operatoren in het Heisenbergbeeld te bekijken, zoals je zei. Zo begrijp ik het wel. Maar dat is wel extreem moeilijk om zoiets intuitief in te zien als je een QFT boek leest. Als het er zo staat, kan je het wel begrijpen, maar de volgende dag ben je weer vergeten hoe het met de tekens zit.

Ja, dat snap ik. Er zal misschien een intuïtieve manier zijn om hier over na te denken, maar ik zou dat zo gauw niet weten