tijdsverloop als gevolg van snelheid en versnelling

[HansH]

even een partt topic hierover aangemaakt omdat het anders te verwarrend en onoverzichtelijk wordt.
zie viewtopic.php?p=1267624#p1267624
het gaat om deze situatie:

2 waarnemers; p1, p2 bewegen in een cirkelvormige beweging met snelheid v in cirkel met straal r, maar elk in tegengestelde richting. een waarnemer p3 beweegt in een rechte lijn met snelheid v.

Op t=0 zitten alle 3 de waarnemers on de oorsprong en zetten hun klokken gelijk. Daarna raken p1 en p2 elkaar steeds na elke omwenteling zodat ze vanwege dezelfde snelheid hun klokken met elkaar kunnen vergelijken.

p3 keert op een gegeven moment van richting om zodanig dat die weer in de oorsprong komt na 100 rondjes op het moment dat p1 en p2 ook net in de oorsprong zitten, dus kunnen ze dan hun klokken met elkaar vergelijken. wat is op dat moment het verschil tussen ieders klok?

[HansH]

mocht die vraag niet te beantrwoorden zijn vanwege snelheidsverschil bij passeren, dan keert p3 nogmaals om en komt na 200 rondjes samen met p1 en p2 in de oorsprong aan met snelheid v allemaal met v in dezelfde richting. wat is op dat moment het verschil tussen ieders klok?

[Professor Puntje]

Even voor de zekerheid: dit geheel speelt zich af binnen de vlakke ruimtetijd dus zonder gravitatie? Zo ja - dan kun je het uitrekenen m.b.v. de klokhypothese. Maar dat er tussen de eigentijden van P1 en P2 (wanneer zij elkaar in de oorsprong weer treffen) geen verschil kan zijn volgt ook al uit de symmetrie.

[HansH]

dit geheel speelt zich af binnen de vlakke ruimtetijd dus zonder gravitatie?

ja

[HansH]

dat er tussen de eigentijden van P1 en P2 (wanneer zij elkaar in de oorsprong weer treffen) geen verschil kan zijn volgt ook al uit de symmetrie.

dat wil ik nu juist zien vanuit een berekening. vanuit het frame van p1 is p2 continue in beweging en andersom ook. vanuit een stilstaand referentieframe zou dat betekenen dat voor een tov jou bewegende waarnemer de tijd langzamer gaat.
Dat p1 p2 tov zichzelf ziet bewegen terwijl er toch geen tijdsverschil gaat optreden zou dan moeten betekenen dat het effect van snelheid en eigen versnelling elkaar precies zou moeten compenseren. Vraag is dus hoe je dat kunt berekenen.

[Regor]

@HansH,

Dat van P1 en P2 vind ik nu eigenlijk een school voorbeeld van iets dat men kan inzien en begrijpen zonder te berekenen ...... gewoon uit symmetrie.
Ik snap wel dat je benieuwd bent (ik ook) naar de wijze van berekenen om dat te bewijzen.
Ik denk / vermoed dat je gewoon met de formule voor de eigentijd ...... uitkomt dat de eigentijd van P1 en P2 gelijk zijn.

[HansH]

Ik snap wel dat je benieuwd bent (ik ook) naar de wijze van berekenen om dat te bewijzen.

\
dat inderdaad. en of je dan vanuit het frame van bv p1 ook naar p2 toe kan rekenen, terwijl p1 ook nog versnelt.

[Professor Puntje]

Een berekening vanuit een versneld frame kan wel maar is véél ingewikkelder dan vanuit een inertiaalframe, mij gaat dat (op dit moment) in elk geval niet lukken. Redeneringen die voor een inertiaalframe nog wel gelden kun je ook niet zonder meer overplaatsen naar een versneld frame.

[Regor]

@HansH,

De "eigentijd" van P1 en P2 zijn gelijk ....... dus het "klok-verschil " is nul.

[Regor]

@HansH,

Omdat P1 en P2 dezelfde snelheid hebben.

[HansH]

Maar dat er tussen de eigentijden van P1 en P2 (wanneer zij elkaar in de oorsprong weer treffen) geen verschil kan zijn volgt ook al uit de symmetrie.

De "eigentijd" van P1 en P2 zijn gelijk ....... dus het "klok-verschil " is nul.

dat wil ik nu juist zien vanuit een berekening.

inderdaad logisch, maar het gaat om hoe je dat dan uitrekent.

[wnvl1]

We kunnen dit zeker stap voor stap proberen uit te rekenen.

Laten we beginnen met een transformatie van het \(x,y\)-assenstelsel naar een nieuw stelsel \(x',y'\), dat meedraait met \(p_2\) en waarvan het middelpunt samenvalt met het centrum van de cirkel die \(p_2\) doorloopt. Dat kan niet zo moeilijk zijn...

[Professor Puntje]

Je zult ook willen dat in zo'n roterend frame zekere relativistische eigenschappen blijven gelden zodat eraan gerekend kan worden. Hoe ga je daar voor zorgen?

[wnvl1]

In een volgende stap ga je ook de Minkowski metriek moeten aanpassen.

[Gast]

Dit is behoorlijk lastig en wordt complex. Zeker als je helemaal niets vanuit p3's inertiaalstelsel mag bepalen, wat het eenvoudig zou maken. En waarom ik niet begrijp waarom je het moeilijk wil oplossen als het makkelijk kan.

Iig, zullen waarnemers vanuit P1 of P2 hun roterende referentiestelsels de klokken van de ander niet constant gelijk zien lopen, mocht je je dat afvragen. De klokken van P1 en P2 verschillen periodiek gezien vanuit mekaars frames, ondanks dat ze in P3’s frame exact gelijk lopen. Het verschil zal dus oscilleren, maar bij terugkomst is het verschil, uiteraard, nul.

Een numerieke oplossing is onmogelijk zonder waarde voor v en r.

Het zal ook niet gaan met enkel Minkowski coördinaten, wat wel kan is denk ik, Fermi-coördinaten langs bijv. P1’s wereldlijn. Maar, tja, lastig.