Martin Tiersten's tegenvoorbeeld

[Professor Puntje]

Even een nieuw topic specifiek over een tegenvoorbeeld uit het artikel Force, Momentum Change, and Motion van Martin Tiersten. In essentie gaat het hierom:

schets 641 keer bekeken

We hebben een ketting (blauwe object) die over een volmaakt glad en wrijvingsloos vlak wordt voortgetrokken door een constante kracht K. Het denkbeeldige scheidingsvlak BB' bevindt zich op een vaste positie op de gladde ondergrond en verdeelt de ketting in twee delen Deel I en Deel II. De ketting heeft een totale lengte L en een lineaire dichtheid \( \lambda \). T(x) is de trekspanning in de ketting ter plaatse van het BB'-vlak.

Voor de versnelling a van de ketting geldt dan \( a = \frac{\mathrm{K}}{ \lambda \mathrm{L}} \). De snelheid \( \dot{x} \) van de ketting noemen we v.

Voor de impuls p van Deel I van de ketting hebben we dan \( p = \lambda x \cdot v \). Waardoor:

\( \dot{p} = \lambda \dot{x} \cdot v + \lambda x \cdot \dot{v} \)

\( \dot{p} = \lambda v^2 + \lambda x \, a \)

\( \dot{p} = \lambda v^2 + \lambda x \, \frac{\mathrm{K}}{ \lambda \mathrm{L}} \)

\( \dot{p} = \lambda v^2 + \frac{\mathrm{K} x}{ \mathrm{L}} \)

Als totale kracht F op Deel I komt er:

\( \mathrm{F} = \mathrm{K} - \mathrm{T}(x) \)

Toepassing van \( \mathrm{F} = \dot{p} \) geeft:

\( \mathrm{K} - \mathrm{T}(x) = \lambda v^2 + \frac{\mathrm{K} x}{ \mathrm{L}} \)

\( - \mathrm{K} + \mathrm{T}(x) = - \lambda v^2 - \frac{\mathrm{K} x}{ \mathrm{L}} \)

\( \mathrm{T}(x) = - \lambda v^2 + \mathrm{K} - \frac{\mathrm{K} x}{ \mathrm{L}} \)

\( \mathrm{T}(x) = - \lambda v^2 + \mathrm{K} (1 - \frac{x}{ \mathrm{L}}) \)

Maar dat kan niet kloppen want dan heb je \( \mathrm{T}(0) = - \lambda v^2 + \mathrm{K} \).

Wat gaat hier fout...?

(Ik heb daar zelf wel een idee over, maar dat hou ik nog even voor me. Ik wil eerst eens kijken hoe anderen dat aanpakken... )

[wnvl1]

Je verwacht T(0)=K?

[Professor Puntje]

Je verwacht T(0)=K?

Ja. Maar ook bijvoorbeeld T(L) = 0.

[wnvl1]

Je berekening is alsof dat de impulsverandering door die kracht F komt. Maar je systeem is open en aan het systeem wordt bewegende massa toegevoegd die impuls heeft. Voor mij is het triviaal dat dit niet klopt.

[Professor Puntje]

Welke stap in de berekening klopt volgens jou niet?

[wnvl1]

\( \mathrm{F} = \dot{p} \)

klopt niet. Dat houdt er geen rekening mee dat er massa overgaat van deel 2 naar deel 1.

[Professor Puntje]

\( \mathrm{F} = \dot{p} \)

klopt niet. Dat houdt er geen rekening mee dat er massa overgaat van deel 2 naar deel 1.

Dat vermoedde ik zelf ook al. Maar dat betekent dan wel dat \( \mathrm{F} = \dot{p} \) maar beperkt toepasbaar is. Of zie je een manier om daar voor open systemen een mouw aan te passen?

[wnvl1]

Je moet \(\dot{m}v\) (impuls flux die via de massa overgaat van systeem 1 naar systeem 2 overgaat) uitrekenen en dat nog aan je berekening toevoegen. Ik denk dat je het dan wel kloppend kan krijgen.

[Professor Puntje]

Maar dat is dan eigenlijk naar een gewenste uitkomst toerekenen. Of weet je een alternatief voor \( \mathrm{F} = \dot{p} \) dat ook voor open systemen nog opgaat?

[wnvl1]

Ik kan er nu niet naar kijken. Maar ik zou zeggen werk eens naar de juiste oplossing toe (is niet moeilijk) en probeer dan de correctietermen een interpretatie te geven.

[Professor Puntje]

Ik denk de oplossing al op het spoor te zijn, werken met impulsflux als extra term. Zal het uitwerken.

[Professor Puntje]

schets 526 keer bekeken

We hebben een ketting (blauwe object) die over een volmaakt glad en wrijvingsloos vlak wordt voortgetrokken door een constante kracht K. Het denkbeeldige scheidingsvlak BB' bevindt zich op een vaste positie op de gladde ondergrond en verdeelt de ketting in twee delen Deel I en Deel II. De ketting heeft een totale lengte L en een lineaire dichtheid \( \lambda \). T(x) is de trekspanning in de ketting ter plaatse van het BB'-vlak.

Voor de versnelling a van de ketting geldt dan \( a = \frac{\mathrm{K}}{ \lambda \mathrm{L}} \). De snelheid \( \dot{x} \) van de ketting noemen we v.

Voor de impuls p van Deel I van de ketting hebben we dan \( p = \lambda x \cdot v \). Waardoor:

\( \dot{p} = \lambda \dot{x} \cdot v + \lambda x \cdot \dot{v} \)

\( \dot{p} = \lambda v^2 + \lambda x \, a \)

\( \dot{p} = \lambda v^2 + \lambda x \, \frac{\mathrm{K}}{ \lambda \mathrm{L}} \)

\( \dot{p} = \lambda v^2 + \frac{\mathrm{K} x}{ \mathrm{L}} \)

Als totale kracht F op Deel I komt er:

\( \mathrm{F} = \mathrm{K} - \mathrm{T}(x) \)

De hoeveelheid impuls dp_2->1 die in een tijdje dt met het stukje ketting \( \lambda v \mathrm{d}t \) vanuit Deel II in Deel I instroomt is:

\( \mathrm{d}p_{2 \rightarrow 1} = \lambda v \mathrm{d}t \cdot v = \lambda v^2 \mathrm{d} t \).

De kracht K krijgt die impulstoename van Deel I in het tijdje dt als het ware cadeau. De inwaartse impulsflux voor Deel I is dus:

\( \Phi = \lambda v^2 \).

Bijgevolg hebben we:

\( \mathrm{F} + \Phi = \dot{p} \)

\( \mathrm{K} - \mathrm{T}(x) + \lambda v^2 = \lambda v^2 + \frac{\mathrm{K} x}{ \mathrm{L}} \)

\( \mathrm{K} - \mathrm{T}(x) = \frac{\mathrm{K} x}{ \mathrm{L}} \)

\( - \mathrm{K} + \mathrm{T}(x) = - \frac{\mathrm{K} x}{ \mathrm{L}} \)

\( \mathrm{T}(x) = \mathrm{K} - \frac{\mathrm{K} x}{ \mathrm{L}} \)

\( \mathrm{T}(x) = \mathrm{K} (1 - \frac{x}{ \mathrm{L}}) \)

[wnvl1]

Dat ziet er mooi uit.

[Professor Puntje]

Dan is \( \mathrm{F} + \Phi = \dot{p} \) kennelijk de gegeneraliseerde Tweede Wet van Newton die (rekening houdend met het teken van de impulsflux) ook nog geldig is wanneer er sprake is van een in- of uitstroom van impuls in of uit het beschouwde systeem. Je zou de originele vorm \( \mathrm{F} = \dot{p} \) van de Tweede Wet van Newton kunnen handhaven door \( \Phi \) als een extra kracht te interpreteren, maar dat komt op mij althans erg gekunsteld over. Een beschouwing op basis van impulsen maakt sneller duidelijk wat er aan de hand is.

[vijv]

> Aangezien de impulsflux \( \Phi \) een impulsverandering is, beschouw je dit volgens mij beter als een soort \( \dot{p} \)