Oefening integralen

[wnvl]

In een wiskundeboek uit het zesde middelbaar staat volgende opgave

Gegeven:
f'(x^2)=x^3
f(1)=1

Bereken f(4).

f(4) zou volgens de oplossingen 19/4 moeten zijn.

Iemand enig idee hoe ik de opgave moet interpreteren om tot 19/4 te komen?

[Safe]

Niemand die je verbiedt voor x^2 de letter (bv) t te kiezen ...

[wnvl]

Niemand die je verbiedt voor x^2 de letter (bv) t te kiezen ...

Ja, dan krijgen we

f'(t)=t^{\frac{3}{2}}

Bijgevolg

f(t)=\frac{2t^{\frac{5}{2}}}{5}+c

Er moet gelden

f(1)=1,

dus

c=\frac{3}{5}

Dan hebben we

f(4)=\frac{67}{5}

Het boek zegt echter \frac{19}{4}.

[siep]

Ik neem aan dat je boek dit doet:

\(\frac{df(x^2)}{dx} = x^3\)

Integreer naar x:

\(\int df(x^2) = \int x^3 dx\)

\(\int 1\; d f(x^2) = \int 1 \; d(\frac{x^4}{4})\)

\(f(x^2) = \frac{x^4}{4} + C\)

etc

[wnvl]

Ja, C wordt dan 3/4 en dan zijn we er.

Eigenlijk eenvoudig. Bedankt.

[Safe]

Ik neem aan dat je boek dit doet:

\(\frac{df(x^2)}{dx} = x^3\)

Ja, maar:

\(\frac{df(x^2)}{dx} = f'(x^2)\cdot 2x\)

waarom?

[barto]

Ja, maar:

\(\frac{df(x^2)}{dx} = f'(x^2)\cdot 2x\)

waarom?

Wel, dat komt toch op hetzelfde neer?
Jij bekomt

\(f'(x^2)=\frac{x^2}2\)

, dus

\(f(x)=\frac{x^2}4+c\)

voor

\(x>0\)

.
Dus

\(f(x^2)=\frac{x^4}4+c\)

, net zoals arie zei.

[siep]

Er is een verschil.
Gebruikelijk is om f '(x) te definieren zoals SafeX doet:

\(f'(\text{arg}) = \frac{d}{d \text{arg}}f(\text{arg})\)

(grofweg gezegd: het verschil in functiewaarde / het verschil in argument)

Voorbeeld:

neem g(x) = x^2, dan is:

\(g'(x) = \frac{d}{dx} g(x) = 2x\)

en

\(f'(g(x)) = \frac{d}{d g(x)}f(g(x)) = 1\)

(stel zo nodig g(x) = u)

terwijl

\(\frac{d}{dx}f(g(x)) = \frac{df}{dg} \cdot \frac{d g}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1 \cdot 2x = 2x\)

Het boek definieert blijkbaar

\(f'(\text{arg}) = D f(\text{arg}) = \frac{d}{dx}f(\text{arg})\)

waardoor

\(f'(x^2) = \frac{d}{dx}f(x^2)\)

een efficiente notatie als je veel van dergelijke vergelijkingen hebt, maar wel verwarrend.

[Safe]

Er is een verschil.
Gebruikelijk is om f '(x) te definieren zoals SafeX doet:

\(f'(\text{arg}) = \frac{d}{d \text{arg}}f(\text{arg})\)

(grofweg gezegd: het verschil in functiewaarde / het verschil in argument)

Niet zoals SafeX dat doet ...!

Definitie:

\(f'(u)=\frac{df(u)}{du}\)

Deze definitie is eenduidig!


Dus (in dit geval):

\(f'(x^2)=\frac{df(x^2)}{dx^2}\)

Dit geeft:

\(df(x^2)=x^3dx^2\)

Enz ...

Het boek definieert blijkbaar

\(f'(\text{arg}) = D f(\text{arg}) = \frac{d}{dx}f(\text{arg})\)

Dit zou ik dan wel eens willen zien ...

[wnvl]

De interpretatie van het boek lijkt mij ook fout. Ik ben volledig akkoord met SafeX.
Ik zocht eigenlijk alleen maar op welke "foutieve" manier we de vraag moesten interpreteren om tot het antwoord van het boek te komen.

Voor mij blijft de juiste oplossing de de 67/5 uit mijn tweede post.

[siep]

Mooi, dan zijn we het eens.

@wnvl:
Is deze opgave een incident in dat boek, of werken ze structureel zo?
In het laatste geval: geven ze ook hun definitie van f '(x) ?

[Safe]

Ok, we zijn het eens!

In het laatste geval: geven ze ook hun definitie van f '(x) ?

Die definitie kan wnvl nu toch geven ...

[wnvl]

Die definitie kan wnvl nu toch geven ...

Nee, ik heb dat boek niet.
Een student die juist begonnen is met het studeren van integralen toonde mij het probleem in dat boek dat gebruikt wordt in het laatste jaar van het secondair onderwijs in België.

Het is gewoon een inschattingsfout van de auteur. Die oefening is niet op zijn plaats is in een boek voor iemand die juist integralen leert. Bijzonder definities over afgeleiden of partiële afgeleiden betreffende de discussie hierboven gaan in dat boek volgens mij niet staan.

[Safe]

Dan is de opgave foutief aangepakt ...