Groeptheorie en reprensentaties

[wnvl1]

Wigner zou ooit gezegd hebben dat elementaire deeltjes de irreduceerbare representaties zijn van de Poincaré groep.
Wat de Poincarégroep is en wat een irreduceerbare representatie is dat snap ik wiskundig wel min of meer.
Ik begrijp ook fysisch dat als je een bepaalde toestand boost of roteert, dat er in de grond niets verandert aan een quantumtoestand.

Maar een bepaald toestand boosten of roteren is dat overgaan naar een andere representatie? Of correspondeert dat met een gelijkvormigheidstransformatie waardoor je binnen dezelfde representatie blijft?

Of ruimer, wat is de fysische betekenis van overgaan van één representatie naar een andere?

[flappelap]

Nee, bij een boost of rotatie ga je niet naar een andere representatie.

De groepsvermenigvuldigingen (of Lie algebra) definieert de groep (algebra). Die algebraische structuur kun je echter op allerlei manieren representeren (meestal: met matrices). Elke representatie kan met de Casimir operatoren gelabeld worden. Zo'n representatie van su(2) in de KM stelt dan b.v. de spin van het deeltje voor. De representatie van de Poincaregroep stelt een elementair deeltje voor, omdat de Casimirs je iets zeggen over de massa en de spin (heliciteit).

Wat bedoel je precies met "overgaan van één representatie naar een andere"? In theorieen zou dat b.v. betekenen dat je van scalairen naar fermionen of vectordeeltjes gaat.

[wnvl1]

Sowieso moet ik het nog beter verwerken om mijn vraag scherper te formuleren.

Je laatste paragraaf is iets waar ik mee zat, ja.

Ik ken scalaire velden, vector velden, spinor velden en tensorvelden.
Representaties van de Poincaré groep kunnen dan inwerken op Hilbert ruimten van 'scalaire velden, vector velden, spinor velden en tensorvelden'. Dat is telkens een andere representatie.
Als wat er met dat veld gebeurt een irreduceerbare representatie is van de Poincarégroep, dus er zijn geen invariante subdeelruimten van de Hilbertruimte, dan heb je een elementair deeltje. Als er wel invariante subdeelruimten zijn, dan heb je meer dan één deeltje.

Binnen de scalaire velden, vector velden, spinor velden en tensorvelden kan je telkens elementaire deeltjes hebben.
Binnen één veld kan je meerdere representaties hebben, die corresponderen dan met verschillende types van deeltjes.

Is dat min of meer juist geformuleerd?

[flappelap]

Ja. Bij je opmerking "Binnen één veld kan je meerdere representaties hebben" denk ik b.v. aan het Diracveld dat in de Diracvgl. voorkomt. Dat blijkt een reducibele representatie te zijn (van 2 zgn. Weylspinoren), maar beide deeltjes hebben wel spin 1/2.