trochoidale zeegolven

[zuigerplas]

Om er even in te komen: Trochoidale golven (Lord Kelvin) worden geconstrueerd door een cirkel (de rolcirkel) onder langs een horizontale lijn eenparig te laten rollen. Een punt binnen de omtrek van deze rolcirkel beschrijft een baan die we trochoide noemen.

Deze bijlage bevat een bladzijde uit het zeemanschap leerboek uit 1976 van Glas en Schutte. Andere leerboeken, in mijn bezit, van recenter datum vermelden niets over dit onderwerp. Op fig. 350 is alles correct getekend volgens mij, maar dat is niet zo in fig. 349. De kleine cirkel met straal r moet volgens mij met de wind meedraaien, dus rechtsom en niet linksom. Verder is boven het middenstands- of evenwichtsvlak de stroom van het water gelijk in de windrichting. In het golfdal, dus onder het evenwichtsvlak is het net andersom. Zodat als we punt P beschouwen in fig. 349, moet de snelheidsvector v niet naar het NO wijzen, maar naar het ZW. Punt P ligt immers onder het middenstandsvlak. Ja en dan die formule om de snelheid van punt P te berekenen. Kan iemand mij uitleggen hoe deze formule tot stand is gekomen. Wel herken ik de overbekende cosinusregel uit de wiskunde en de hoeksnelheidformule uit de natuurkunde. Maar hoe deze twee tot een fusie zijn gekomen, ik heb geen idee.
Gezien het scheepvaartongeluk met het containerschip MSC Zoe nabij de Waddenkust, vind ik deze theorie belangrijk.
Bij voorbaat hartelijk dank! Johan.

[RedCat]

De cirkels rollen onder langs de horizontale lijn y = R+r
Beide cirkels bewegen naar rechts, vanuit de cirkel gezien draaien de cirkels dus linksom.

\(\lambda = 2\pi R\)

Dit staat goed in het plaatje, maar niet in de tekst.
De snelheid bepalen we uit de afgeleide van y naar phi gedeeld door de afgeleid van x naar phi:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy / d\varphi}{dx / d\varphi} = \frac{r \sin \varphi}{R + r \cos \varphi} = \tan \alpha\)

Noem de loodrechte projectie van punt P op lijn BB' het punt Q, dan is

\(QP = r \sin \varphi\)

\(BQ = R + r \cos \varphi\)

[RedCat]

Noem hoek PBQ = beta, dan is

\(\tan \beta = \frac{PQ}{BQ} \frac{r \sin \varphi}{R+r \cos \varphi} = \tan \alpha\)

waarmee we PBQ gelijk kunnen stellen aan alpha (voor het net nog bewijzen dat er geen verschil van 180 graden in zit)
Volgens de definitie in het boek is de resultante snelheid de optelling van de snelheid in rechtlijnige beweging omega R, met die van de rotatie omega r.
De omega's zijn hetzelfde, want beide cirkels hebben dezelfde hoeksnelheid.
Leg de vector omega R op de x-as, met beginpunt in de oorsprong,
teken dan vanaf het eindpunt de vector omega r onder een hoek phi naar rechtsboven,
dan is snelheid v de vector van de oorsprong naar het eindpunt van phi r.
Deze 3 vormen een driehoek, waarvan zijde omega R, hoek (180-phi) en zijde omega r bekend zijn.
Dus via de cosinusregel:

\(v^2 = (\omega R)^2 + (\omega r)^2 - 2(\omega R)(\omega r) \cos (180-\varphi)\)

en dit is gelijk aan het resultaat in het boek:

\(v^2 = \omega^2 R^2 + \omega^2 r^2 + 2\omega^2 r R \cos \varphi\)

Daarnaast hebben we:

\( BP^2 = BQ^2 + QP^2 = (R+r\cos \varphi)^2 + (r\sin \varphi)^2 \)

\(= R^2 + 2rR\cos \varphi + r^2 \cos^2 \varphi + r^2\sin^2 \varphi\)

\(= R^2 + 2rR\cos \varphi + r^2 (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi)\)

\(= R^2 + 2rR\cos \varphi + r^2\)

Waarmee snelheid

\(v = \omega \cdot BP\)

[RedCat]

Hier nog een plaatje voor bovenstaande: