tweeling paradox

[always]

In onderstaand filmpje wordt verteld dat er voor Nora 30 jaar is verstreken. Voor Vera is dan 22 jaar verstreken. Maar is die 22 jaar nu vanuit Nora gezien of voor Vera zelf? 
 
Ik zou zeggen dat is vanuit Nora gezien want de klok van vera loopt door haar snelheid trager. Maar door de symmetrie geldt dat dan toch ook voor Vera die dus een eigentijd heeft van ook 30jaar en met dezelfde y factor zou in haar beleven dan ook Nora 22 jaar zijn verlopen.
 
Maar verder in filmpje wordt dan niet uitgegaan van 30jaar voor Vera maar 22 jaar en daar wordt nogmaals de y factor op losgelaten zodat Nora vanuit veras beleving slechts 16 jaar verder is. 
 
Vraag is dus waarom wordt voor Vera uitgegaan van 22 jaar en niet 30jaar zoals je zou verwachten volgens de symmetrische relativiteitstheorie. Is dat verschil al toe te wijten aan de omkering die vera heeft gedaan maar waar in het filmpje wat dat betreft geen aandacht op wordt gevestigd of is dit ook de normale gang van zaken zonder omkering van Vera?
 

[always]

Ik zie het al , die 22 jaar is toch vanuit vera gezien (is veras eigen tijd) en voor vera die dus volgens haar 22 jaar onderweg is ziet nora ook van haar vandaan gaan dat wordt dan 16jaar. En je kunt dus niet alles omdraaien omdat vera alleen een versnelling/draaiing heeft ondergaan en nora niet. 
 
En dan de symmetrie toepassing
Als we dan dus toch bij vera beginnen. Bij vera zelf 15 jaar op de heenweg (van Nora) is voor nora dan 15 maal 1,34= 11,20 jaar. Maar door de symmetrie ziet nora vera dan met hetzelfde recht 11,2 / 1,34= 8,35 jaar voorbij gaan.
 
De terugweg (van de schijnbare Nora) is dan nogmaals 11,2 jaar en voor vera weer 8,35. Dus 22,4 jaar is nora onderweg en vera 16,7 jaar.

[VDammer]

Ik zie het al , die 22 jaar is toch vanuit vera gezien (is veras eigen tijd) en voor vera die dus volgens haar 22 jaar onderweg is ziet nora ook van haar vandaan gaan dat wordt dan 16jaar. En je kunt dus niet alles omdraaien omdat vera alleen een versnelling/draaiing heeft ondergaan en nora niet. 
 
En dan de symmetrie toepassing
Als we dan dus toch bij vera beginnen. Bij vera zelf 15 jaar op de heenweg (van Nora) is voor nora dan 15 maal 1,34= 11,20 jaar. Maar door de symmetrie ziet nora vera dan met hetzelfde recht 11,2 / 1,34= 8,35 jaar voorbij gaan.
 
De terugweg (van de schijnbare Nora) is dan nogmaals 11,2 jaar en voor vera weer 8,35. Dus 22,4 jaar is nora onderweg en vera 16,7 jaar.

Sorry, maar ik begrijp totaal niets van wat je hier schrijft.
 
Als Nora en Vera elkaar weer ontmoeten is Nora 30 jaar oud, Vera 22 jaar oud. Dat is zo zowel in het referentiesysteem van Nora, als in het referentiessyteem van Vera. Om dit te begijpen moet je rekening houden wat er gebeurt als Vera omdraait. 
 
1/ Eerst kijken we even wat Nora beweert over het tijdsverloop van Vera:
 
Gedurende de eerste 15 jaar tikt in het referentiesysteem van Nora de tijd van Vera trager: Na 15 Nora jaren is Vera 11 jaar oud.
Vervolgens draait Vera om. Aangezien we in dit gedachtenexperiment de tijd van afremmen, omdraaien en weer versnellen verwaarlozen (of beschouw het een fractie van een seconde) wordt -nog steeds in het referentiesysteem van Nora- Vera ook maar een fractie van een seconde ouder.
Gedurende de daaropvolgende 15 jaar tikt in het referentiesysteem van Nora de tijd van Vera nogmaals 11 jaar.
Bij aankomst zegt Nora dat zij 30 jaar oud is en Vera 22 jaar.
 
2/ Wat beweert Vera, vanuit haar eigen referentiesysteem?
 
Gedurende de eerste 11 jaar dat zij ouder wordt, wordt Nora 8 jaar ouder.
Dan remt het ruimteschip plots, draait om en vernelt weer. Normaal neemt dit alles wel wat tijd in beslag, maar in dit gedachtenexperiment beschouwen we dat dit alles in een fractie van een seconde gebeurt, maar daarbij moeten we niet vergeten dat gedurende deze actie Nora 14 jaar ouder wordt. De man in het fimpje zegt op tijdstip 6:40 dat zij het middenste stuk heeft 'overgeslagen', maar dat is fout. Dat stuk (14 jaar uit Noras leven) werd door het draaiend referentiesysteem van Vera héél snel doorlopen.
Bijgevolg, nog steeds in het referentiesysteem van Vera: aan de start van de terugweg is Vera dus 11 jaar oud, en Nora... 22 jaar (=8+14) oud.
Vervolgens, gedurende de terugweg wordt Vera nog 11 jaar ouder, terwijl Nora nog 8 jaar ouder wordt.
Als Vera dus bij Nora komt dan stellen ze allebei vast dat Vera 22 jaar oud is, en Nora 30 jaar oud.

[HenkDruiven]

Als je tijddilatatie uitlegt zoals in het filmpje dan ga je nog bijna geloven dat er sprake is van een tweelingparadox. E.a. kan echter veel eenvoudiger op een andere manier worden uitgelegd.
 
We weten van Einstein dat

\( t_t = t_o \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}\)

t_t is de tijd van de reiziger (traveler) en t_o van de waarnemer (observer)
v is de snelheid gemeten door de waarnemer
 
Dit is te herschrijven tot

\( t_o = \sqrt{ t_t^2 + ( \frac{s}{c})^2}\)

 
Hierin is s de afstand die door de reiziger wordt afgelegd, maar deze wordt bepaald door de waarnemer. De afstand wordt door de reiziger anders waargenomen (Lorentz-FitzGerald contractie).
Het maakt niet uit hoe de reiziger die afstand afgelegd. Dat kan in een rechte lijn zijn (heen en terug) maar ook door de afstand in een cirkel af te leggen.
We gaan er vanuit dat de thuisbasis (de waarnemer) geen versnelling ondervindt.
 
Het feit dat Vera een bepaalde afstand aflegt maakt het nu begrijpelijker dat ze hiermee ook een bepaalde tijd heeft overbrugt. Nora zal ouder zijn dan Vera.
 
 

[always]

Ok, wat ik dus moeilijk vond van de uitleg van Vdammer om te begrijpen is:
 
" 2/ Wat beweert Vera, vanuit haar eigen referentiesysteem?
Gedurende de eerste 11 jaar dat zij ouder wordt, wordt Nora 8 jaar ouder."
 
Want waarom zou Vera volgens haar eigen systeem 11 jaar ouder zijn geworden op de heen weg terwijl Nora uitkomt op 15 jaar, terwijl er voor de heenweg dus symmetrie zou moeten zijn (omdat vanuit beide gezegd kan worden dat de ander versnelt) en dus die tijden gelijk zouden moeten zijn. Maar als ik het dan goed begrijp (?) dan krijg je die 11 jaar van vera op de heenreis door lengtecontractie??

[Michel Uphoff]

 (omdat vanuit beide gezegd kan worden dat de ander versnelt)

 
Zoals VDammer al toelichtte: Vera versnelt, remt, keert om, versnelt en remt. Nora ondergaat deze versnellingen niet, er is dus geen symmetrie.

[always]

Ok, maar voor dat ze omkeert is er toch symmetrie? Ze reist toch met 2/3c, en vaak lees ik bij dergelijke vraagstukken dat optrekken en remmen niet worden meegenomen voor de eenvoud. Nu wordt dat hier niet vermeld, moet ik er dan vanuit gaan dat dat hier dus wel zo is? En als dat zo is, is de gamma factor van 1,34 wel juist?

[Michel Uphoff]

maar voor dat ze omkeert is er toch symmetrie?

 
Nee, want Vera versnelde immers op de heenreis, Nora niet.
 

Ze reist toch met 2/3c, en vaak lees ik bij dergelijke vraagstukken dat optrekken en remmen niet worden meegenomen voor de eenvoud.

 
Dat klopt en wordt hier ook gedaan. Dat maakt een berekening eenvoudig, maar onrealistisch. In een meer realistisch scenario moet Vera eerst een flinke tijd versnellen voor ze 2/3c bereikt. Met een voor Vera prettige versnelling van 1 G is dat ongeveer 0,78 jaar voor haar en 0,87 jaar op Aarde, waarna ze een snelheid van 0,66c heeft bereikt. Dan reist ze een aantal jaren (inertiaal) met die snelheid, en moet weer 0,78 jaar afremmen, daarna omkeren en in de omgekeerde volgorde door hetzelfde traject van versnellen, reizen en afremmen heen.
 

is de gamma factor van 1,34 wel juist?

 
Als je die onmiddellijke versnellingen en vertragingen gebruikt wel, maar dat overleeft Vera dus niet.
Op internet zijn een aantal calculators te vinden voor dit soort sommetjes, bijvoorbeeld deze.

[always]

Dan zit er dus een (verborgen) tegenstrijdigheid in het filmpje? Enerzijds 11 jaar voor vera met versnellingen (optrekken en afremmen) en anderzijds een gamma factor van 1,34 zonder versnellingen? Dat hadden ze er dan wel even bij kunnen zetten Of is zoiets vrij gebruikelijk?

[Michel Uphoff]

In de vereenvoudigde uitleg, die eigenlijk alleen over de speciale relativiteit (inertiaalstelsel) gaat, en dus het probleem van versnelling buiten zicht laten gebeurt dat wel vaker. Correct is het niet. Als je er wat aan gaat rekenen (zie die calculators):
 
Gezien vanuit het frame van Vera bij een totale reisduur voor haar van 22 jaar:
4 x versnellen met 1G (van 0 naar 0,66c naar 0 en vice versa): 4 x 0,78 jaar = 3,12 schipjaren (3,48 aardjaren)
Onversnelde beweging bij 0,66c gedurende 18,88 schipjaren (gamma = 1,34 dus 25,30 aardjaren)
Totaal 22 jaar voor Vera en 28,42 jaar Nora.
Het verschil met de vereenvoudigde berekening (22 en 30 jaar) is ongeveer 1,5 jaar.
 
We gaan Vera echt zwaar belasten met een versnelling van 3G, we nemen weer 22 jaar voor Vera als reisduur:
4 x versnellen met 3G: 4 x 0,256 jaar = 1,038 schipjaren (1,155 aardjaren)
Onversnelde beweging bij 0,66c gedurende 20,96 schipjaren (28,09 aardjaren)
Totaal 22 jaar Vera en 29,24 jaar Nora.
Het verschil met de vereenvoudigde berekening is nu 0,75 jaar
 
Vera is een supervrouw uit de comics, die zomaar gedurende lange tijd 50G kan overleven:
4 x versnellen met 50G: 4 x 0,0156 jaar = 0,0624 schipjaren (0,0836 aardjaren)
Onversnelde beweging bij 0,66c gedurende 21,94 schipjaren (29,40 aardjaren)
Totaal 22 jaar Vera en 29,48 jaar Nora.
Het verschil met de vereenvoudigde berekening is nu nog maar 0,5 jaar
 
Hoe groter de toegepaste versnelling wordt, hoe meer de resultaten naar de versimpelde uitleg toe kruipen.

[always]

Toch snap ik het niet. 
Als we alleen even de heenreis nemen die voor Nora 30 jaar duurt. Bij een symmetrie zou die reis voor vera ook 30 jaar zijn. Maar omdat zij versnelt en afremt is dat voor haar minder. Hoeveel minder? 2 x 0,78 = 1,5 jaar heeft vera een versnelling/afremming. Gedurende die tijd ondergaat vera dan een gammafactor van 1.34 dus 1.5 X 1.34 = 2. Dus reist vera 2 jaar minder dan Nora; dus 30 min 2 = 28 jaar.
 
Dat klopt natuurlijk niet, maar wat zie ik fout?

[always]

Corectie 30 jaar moet natuurlijk de helft zijn dus 15 min 2 = 13 voor vera

[Michel Uphoff]

dus 1.5 X 1.34 = 2

 
Ik heb de formules van de relativistic star ship calculator niet nagekeken, maar neem aan dat de juiste versnelling en de gamma factor netjes in de uitkomsten zijn verwerkt. Dus die 0,78 jaar (Vera) of 0,87 jaar (Nora) hoeven verder niet gecorrigeerd te worden. Ik zal nog kijken of ik op basis van de gebruikte code de formules kan achterhalen.

[EvilBro]

Als we alleen even de heenreis nemen die voor Nora 30 jaar duurt. Bij een symmetrie zou die reis voor vera ook 30 jaar zijn.

Nee. Je hebt een verkeerd idee van wat symmetrie betekent in deze situaties.

In het stelsel van Nora: Nora ziet Vera met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 15 jaar op de klok van Nora staat de klok van Vera op ongeveer 11 jaar. Deze laatste situatie noem ik situatie A.
In het stelsel van Vera: Vera ziet Nora met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 15 jaar op de klok van Vera staat de klok van Nora op ongeveer 11 jaar. Deze laatste situatie noem ik situatie B.

Aan de bovenstaande zinnen is goed te zien dat er sprake is van symmetrie. Het is echter belangrijk om je te realiseren dat situatie A en situatie B niet dezelfde toestand van het universum zijn. Als we een paaltje "in de grond" zouden slaan op de plek van Vera in situatie A dan zou het verhaal als volgt worden:

In het stelsel van Nora: Nora ziet Vera met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 15 jaar op de klok van Nora staat de klok van Vera op ongeveer 11 jaar. Vera bevindt zich op dat moment direct naast het paaltje.
In het stelsel van Vera: Vera ziet Nora met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 15 jaar op de klok van Vera staat de klok van Nora op ongeveer 11 jaar. Vera is, volgens de klok van Vera, het paaltje reeds 4 jaar eerder gepasseerd.

Als we nu het moment van passeren van het paaltje als bekijken:
In het stelsel van Nora: Nora ziet Vera met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 15 jaar op de klok van Nora staat de klok van Vera op ongeveer 11 jaar. Vera bevindt zich op dat moment direct naast het paaltje. Dit is situatie A.
In het stelsel van Vera: Vera ziet Nora met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 11 jaar op de klok van Vera staat de klok van Nora op ongeveer 8 jaar. Vera bevindt zich op dat moment direct naast het paaltje. Dit is situatie C.

Situatie A en C beschrijven dezelfde toestand van het universum vanuit twee verschillende stelsels.

Misschien heb je hier nog iets aan:

[always]

Ik denk dat ik mijn fout al zie. Symmetrie wil nog niet zeggen dat bij beide ook tijdsdilatatie/lengtecontractie optreedt? Dat is namelijk alleen voor snelreizende personen zoals vera. En mijn verwarring was dan dat, hoewel Nora ook zo snel reist vanuit Vera gezien, zij dat toch niet doet. Klopt dat zo?