Coördinatentransformatie differentiaalvergelijkingen

[Emveedee]

Ik probeer een afleiding uit een paper te volgen, maar ik snap niet helemaal hoe zij een transformatie toepassen...
 
Ik heb het volgend stelsel differentiaalvergelijkingen:

\(\frac{\partial \Delta}{\partial t} = -2 \sigma c n \Delta\)

\(\frac{\partial n}{\partial t} + c \frac{\partial n}{\partial x} = \sigma c n \Delta\)

 
Isoleer delta uit de 2e vergelijking,

\(\Delta = \frac1{c \sigma n}\frac{\partial n}{\partial t}+ \frac{c}{c \sigma n}\frac{\partial n}{\partial x}\)

substitueer dit in de eerste vgl. en deel de gemeenschappelijke factoren weg:

\( \frac{\partial}{\partial t} \left ( \frac1{n}\frac{\partial n}{\partial t}+ \frac{c}{n}\frac{\partial n}{\partial x} \right ) = -2 \sigma c n \left ( \frac1{n}\frac{\partial n}{\partial t}+ \frac{c}{n}\frac{\partial n}{\partial x} \right ) \)

 
Nu worden de volgende coördinatentransformaties toegepast:

\(\xi = x/c\)

\(\rho = t - x/c = t - \xi\)

 
Ze zeggen in de paper dat hieruit volgt:

\( \frac{\partial}{\partial \rho} \left ( \frac1{n} \frac{\partial n}{\partial \xi} \right ) = -2\sigma c \frac{\partial n}{\partial \xi}\)

 
Als ik dit zelf probeer dan vind ik:

\(\frac{\partial}{\partial x} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial \xi}\)

\(\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial \rho} + \frac{\partial}{\partial \xi}\)

 
Dus:

\(\frac{\partial}{\partial t} \left ( \frac1{n}\frac{\partial n}{\partial t}+ \frac{c}{n}\frac{\partial n}{\partial x} \right ) = \left ( \frac{\partial}{\partial \rho} + \frac{\partial}{\partial \xi} \right ) \left ( \frac1{n}\frac{\partial n}{\partial \rho} +\frac{2}{n} \frac{\partial n}{\partial \xi} \right) \)

en

\(-2 \sigma c n \left ( \frac1{n}\frac{\partial n}{\partial t}+ \frac{c}{n}\frac{\partial n}{\partial x} \right ) = -2 \sigma c n \left ( \frac1{n}\frac{\partial n}{\partial \rho} +\frac{2}{n} \frac{\partial n}{\partial \xi} \right)\)

 
 
Als ik nu die term isoleer, geeft me dat een heel ander resultaat:

\( \frac{\partial}{\partial \rho} \left ( \frac{2}{n} \frac{\partial n}{\partial \xi} \right ) = - \left ( \frac{\partial}{\partial \rho} + \frac{\partial}{\partial \xi} \right ) \left ( \frac1{n}\frac{\partial n}{\partial \rho} \right ) -\frac{\partial}{\partial \xi} \left ( \frac{2}{n} \frac{\partial n}{\partial \xi} \right ) -2 \sigma c n \left ( \frac1{n}\frac{\partial n}{\partial \rho} +\frac{2}{n} \frac{\partial n}{\partial \xi} \right)\)

 
Hoe komen ze aan die vergelijking?
 

[Emveedee]

Ik heb de afleiding nog eens opnieuw geprobeerd, maar ik vind nog steeds hetzelfde resultaat.
 
Overigens zijn de volgende randvoorwaarden gegeven:

\(\Delta(x,t) = N_2(x,t) - N_1(x,t)\)

met

\(0\leq x \leq L\)

 

\(\Delta_0(x) = N_2(x,-\infty) - N_1(x,\infty)\)

\(n(0,t) = n_0(t)\)

Volgens mij maakt dat echter verder niet uit voor mijn berekening. Is er iemand die ziet waar ik de mist inga?

[Drieske]

Volgens mij is er een fout geslopen in de transformatie die wordt gegeven. Kort gesteld lijkt het mij dat je t + x/c wilt vervangen door iets anders, en niet t - x/c. Ik heb het niet zelf uitgerekend, maar komt het dan wel uit?

[EvilBro]

Coördinatentransformaties zijn stom! Zo, nu ik dat eruit heb...

Stel je hebt:

\(k(\rho, \xi) = m(x,t) \mbox{ met } \rho = t - \frac{x}{c}, \xi = \frac{x}{c}\)

Er geldt nu:

\(x = c \cdot \xi\)

\(t = \rho + \xi\)

Hieruit volgt:

\(k(\rho, \xi) = m(c \cdot \xi, \rho + \xi)\)

Dit gebruiken we in het onderstaande:

\(\frac{\partial k(\rho, \xi)}{\partial \rho} = \lim_{h \to 0} \frac{k(\rho + h, \xi) - k(\rho, \xi)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{m(c \cdot \xi, \rho + h + \xi) - m(c \cdot \xi, \rho + \xi)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{m(x, t + h) - m(x, t)}{h} = \frac{\partial m(x,t)}{\partial t}\)

en:

\(\frac{\partial k(\rho, \xi)}{\partial \xi} = \lim_{h \to 0} \frac{k(\rho, \xi + h) - k(\rho, \xi)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{m(c \cdot (\xi + h), \rho + (\xi + h)) - m(c \cdot \xi, \rho + \xi)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{m(c \cdot \xi + c \cdot h, \rho + \xi + h) - m(c \cdot \xi, \rho + \xi)}{h} =\)

\(\lim_{h \to 0} \frac{m(x + c \cdot h, t + h) - m(x, t)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{m(x + c \cdot h, t + h) - m(x + c \cdot h, t) + m(x + c \cdot h, t)- m(x, t)}{h} =\)

\(\lim_{h \to 0} \frac{m(x + c \cdot h, t + h) - m(x + c \cdot h, t)}{h} + \lim_{h \to 0} c \cdot \frac{m(x + c \cdot h, t)- m(x, t)}{c \cdot h} = \frac{\partial m(x,t)}{\partial t} + c \cdot \frac{\partial m(x,t)}{\partial x}\)

Hiermee zou ik vinden (in een notatie die ik niet prettig vind):

\(\frac{\partial}{\partial x} = \frac{1}{c} \cdot \left( \frac{\partial}{\partial \xi} - \frac{\partial}{\partial \rho}\right)\)

\(\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial \rho}\)

Dit is niet wat jij bepaald had. Dit is wel wat overeenkomt met het artikel. Mijn voorlopige conclusie is dat jouw methode om de partieelen te vinden niet klopt.

En dan wil ik nog even kwijt dat coördinatentransformaties stom zijn.

dus.

P.S. Er is trouwens vast een makkelijkere manier om dit te doen, waarschijnlijk iets met een Jacobiaan of zo, maar die komt bij mij niet boven borrelen...

[Emveedee]

@Drieske, dat had ik geprobeerd maar daar kwam ik er nog niet mee uit. Logisch nu ik EvilBro's uitleg zie.
 
Ik dacht:

\( \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \xi} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial \xi},\)

maar dat had ik dus verkeerd. Tijd om die wiskunde maar weer eens wat op te poetsen dus. 
 
Bedankt heren!

[EvilBro]

Hmmmm... zoiets?
Stel:

\(f(x,y) = g(u(x,y), v(x,y))\)

Ofwel we transformeren van (x,y) naar (u,v).

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(u(x+h,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x,y))}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{g(u(x+h,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x+h,y)) + g(u(x,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x,y))}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{g(u(x+h,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x+h,y))}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{g(u(x,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x,y))}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h,y) - u(x,y)}{h} \frac{g(u(x+h,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x+h,y))}{u(x+h,y) - u(x,y)} + \lim_{h \to 0} \frac{v(x+h,y) - v(x,y)}{h} \frac{g(u(x,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x,y))}{v(x+h,y) - v(x,y)}\)

En dan nu de twijfelachtige stap in het verhaal:

\(= \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h,y) - u(x,y)}{h} \lim_{h \to 0} \frac{g(u(x+h,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x+h,y))}{u(x+h,y) - u(x,y)} + \lim_{h \to 0} \frac{v(x+h,y) - v(x,y)}{h} \lim_{h \to 0} \frac{g(u(x,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x,y))}{v(x+h,y) - v(x,y)}\)

\(= \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial v}\)

Kortom, de regel lijkt:

\(\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial}{\partial v}\)

Als je deze regel toepast dan kom je inderdaad uit op waar ik in mijn vorige post ook op uitkwam.

Iemand nog een idee over de twijfelachtige stap?

[Professor Puntje]

Hebben we hier iets aan?
 
https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/multichainrule/multichainrule.pdf

[Emveedee]

Ik ben nu even druk i.v.m. tentamens, maar volgende week zal ik de afleiding nog eens proberen. Ik houd jullie op de hoogte

[Professor Puntje]

 
Om het eenvoudig te houden ga ik ervan uit dat Δ en n dusdanige functies van x en t en van ξ en ρ zijn dat er binnen in het domein op alle punten (x,t) = (a,b) en (ξ,ρ) = (d,e) raakvlakken aan Δ en n bestaan.

 

Laat R = R(x,t) voor punt (a,b) de functie van het raakvlak aan n = n(x,t) zijn:

 

\( \mbox{R}(x,t) \, = \, r \, + \, \left ( \frac{\partial \mbox{n}}{\partial x} \right )_{(x,t) = (a,b)} . \, x \, + \, \left ( \frac{\partial \mbox{n}}{\partial t}\right )_{(x,t) = (a,b)} . \, t \)

 

 

Nu bezien we dit zelfde raakvlak R = R[ξ,ρ] voor punt (d,e) aan n = n[ξ,ρ] in termen van de nieuwe coördinaten ξ en ρ met:

 

\( \xi = \frac{x}{c} \,\,\,\,\,\,\,\, (x = c . \xi) \)

 

\( \rho = t - \frac{x}{c} \,\,\,\,\,\,\,\, (t = \rho + \xi) \)

 

Dat geeft:

 

\( \mbox{R}[\xi,\rho] \, = \, r \, + \, \left ( \frac{\partial \mbox{n}}{\partial x} \right )_{(x,t) = (a,b)}. c . \xi \, + \, \left ( \frac{\partial \mbox{n}}{\partial t}\right )_{(x,t) = (a,b)} . (\rho + \xi) \)

 

\( \mbox{R}[\xi,\rho] \, = \, r \, + \, \left (\left ( \frac{\partial \mbox{n}}{\partial x} \right )_{(x,t) = (a,b)} . c \, + \, \left ( \frac{\partial \mbox{n}}{\partial t}\right )_{(x,t) = (a,b)} \right ) . \xi \, + \, \left ( \frac{\partial \mbox{n}}{\partial t}\right )_{(x,t) = (a,b)} . \rho \)

 

Dus vinden we voor de partiële afgeleiden naar ξ en ρ dat:

 

\( \frac{\partial \mbox{n}}{\partial \xi} = c . \frac{\partial \mbox{n}}{\partial x} \, + \, \frac{\partial \mbox{n}}{\partial t} \)

 

\( \frac{\partial \mbox{n}}{\partial \rho} = \frac{\partial \mbox{n}}{\partial t} \)

 

 

Voor Δ geldt dan uiteraard ook:

 

\( \frac{\partial \Delta}{\partial \xi} = c . \frac{\partial \Delta}{\partial x} \, + \, \frac{\partial \Delta}{\partial t} \)

 

\( \frac{\partial \Delta}{\partial \rho} = \frac{\partial \Delta}{\partial t} \)

 

 

 

Het oorspronkelijke stelsel differentiaalvergelijkingen was:

 

\( \frac{\partial \Delta}{\partial t} = -2 \sigma c n \Delta \)

\( \frac{\partial n}{\partial t} + c \frac{\partial n}{\partial x} = \sigma c n \Delta \)

In de nieuwe coördinaten wordt dit:

\( \frac{\partial \Delta}{\partial \rho} = -2 \sigma c n \Delta \)

\( \frac{\partial n}{\partial \xi} = \sigma c n \Delta \)

 

En we vinden:

 

\( \frac{\partial}{\partial \rho} \left ( \frac{1}{\sigma c n} \, .\, \frac{\partial n}{\partial \xi} \right ) = -2 \sigma c n \, . \, \frac{1}{\sigma c n} \, .\, \frac{\partial n}{\partial \xi} \)

 

\( \frac{\partial}{\partial \rho} \left ( \frac{1}{\sigma c n} \, .\, \frac{\partial n}{\partial \xi} \right ) = -2 \frac{\partial n}{\partial \xi} \)

 

\( \frac{\partial}{\partial \rho} \left ( \frac{1}{n} \, .\, \frac{\partial n}{\partial \xi} \right ) = -2 \sigma c \, \frac{\partial n}{\partial \xi} \)