Bode diagrammen/overdrachtsfuncties

[Griertens]

Beste,

Ik ben zeer verward rond de theorie die te maken heeft met het analyseren van elektrische circuits en overdrachtsfuncties en de Bode diagrammen. Ik heb een hele hoop redeneringen die niet met elkaar stroken.

We hebben onze polen en bij deze polen wordt onze overdrahtsfunctie H(s) oneindig groot bij nulpunten word ze gelijk aan 0.

Polen

--------

We hebben onze polen a+wj en bij deze polen wordt onze overdrahtsfunctie H(s) oneindig groot

*de amplitudes van de frequenties w worden bij de polen oneindig vergroot

->dus zelfs als ze in het inganssignaal niet aanwezig zijn zal er een term in de uitgang oscileren op deze frequentie

->als de frequenties in het ingangssignaal wel aanwezig zijn zal deze frequentie oneindig vergroot worden ? = instabiliteit ? tenzij er demping is?

* deze term is al dan niet gedempt afhankelijk van het reeel deel van de pool(INFO GAAT VERLOREN BIJ BODE)

-> wat enkel geld voor de laplace transfo want deze heeft een reeel én imaginair deel, hoe zit dat dan bij een fourier die enkel een imaginair deel heeft. hier kan je dan toch enkel weten welke frequentie oscileert en niet of deze gedempt word of niet?

Nulpunten

-------------

We hebben een nulpunt op a + wj, dat is dus een bepaalde frequentie die gestopt word. Het reele deel van dit nulpunt heeft ij mijn weten geen fysische betekenis...

BODE DIAGRAMMEN

-------------------------------

Hier word de verwarring compleet. We hebben een overdrachtfuntie H(jw) en ik zou verwachten door mijn kennis van de polen en nulpunten dat bij frequenties(w) die overeenstemmen met polen a+wj het bode diagram enorm de lucht inspringt(naar oneindig gaat) en over wat na dit 'breekpunt' komt durf ik al helemaal geen uitspraken maken op basis van de polen. Wat zien we, bij de benadering gebeurt er op het breekpunt zelf(de pool) niets en is er daarna een daling. De info over de demping die vervat zit in het reele getal a word ook niet echt weergegeven of vinden we die in de dempingcoeff die de uitschieting op de pool bepaalt? bij het echte bode diagrm is er wel een uitschieting op de poolfrequentie maar die word helemaal niet oneinndig en dan nog, hoe kan een benadering waarbij de vergoting totaal word weggelaten nu representatief zijn wanneer op deze frequentie juist een oneidig grote versterking zou moeten zijn ?

Ik weet dat het een hele boterham is maar ik vermoed dat het voor heldere geesten een toffe uitdaging kan zijn om de grote en kleine fouten duidelijk te maken want ik besef maar al te goed dat deze redeneringen wanneer allemaal samen beshouwt volledig tegenspreken moeten overkomen ...

bedankt

[bessie]

Nog geen reacties dus laten we eens een poging doen. Ik ben het op het eerste gezicht met je eens, dat wat je beweert tegenstrijdig lijkt. Maar we weten allebei dat deze werkwijzen algemeen worden toegepast en dat zal niet zo zijn als zij onjuist zijn.

Fourier en Laplace-transformaties zijn inderdaad theoretisch verschillend, maar er is een zeer duidelijk verband. Dit kun je op wikipedia terugvinden, maar ik denk dat jij dat wel weet. Het verband is terug te voeren naar het feit, dat in de complexe analyse er geen essentieel verschil is tussen sinus, cosinus en e-macht. Laplace-t maakt gebruik van complexe getallen, waardoor de vergelijkingen compacter worden. Maar een wezenlijk verschil is er volgens mij niet. Het zijn beide signaalbeschrijvingen, en in een signaalbeschrijving krijgt geen enkele frekwentie een amplitude van oneindig, tenzij het om niet-fysische signalen gaat (delta en stap). In dat geval hebben beide transformaties geen fysische waarde maar alleen een wiskundige.

Het is al een tijd geleden dat ik F/T transformaties deed dus je moet me een beetje helpen. Misschien kun je het best een voorbeeld geven om samen door te werken.

[ZVdP]

Wanneer je een pool hebt op s=a+wj, wil dit niet zeggen dat een signaal met frequentie w oneindig versterkt wordt.

Dit zou enkel zijn wanneer de pool s=wj geweest zou zijn.

Een bode plot geeft de functie weer over de imaginaire as (dus de frequenties).

Stel bijvoorbeeld

\(G(s)=\frac{1}{s^2-2s+2}\)

Deze heeft polen op

\(s=1\pm j\)

Wanneer we nu de bode-plot bekijken op pulsatie w=1, krijgen we:

\(|G(1j)|=|\frac{1}{-1-2j+2}|=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Een signaal met pulsatie w=1 wordt dus met een factor wortel 5 verzwakt, niet oneindig versterkt!

Hetzelfde geldt voor de nullen.

Het verschil tussen Fourrier en Laplace:

Fourrier geeft je enkel een beeld over wat er gebeurt op de imaginaire as. Zo weet je hoe elke frequentie versterkt wordt.

Echter is de functie op de imaginaire as niet voldoende. Om de stabiliteit van je systeem na te gaan, moet je weten of alle polen in het linkerhalf vlak liggen (a<0 voor alle polen). Hiervoor heb je dus de Laplace transformatie nodig, die je de functie over het hele s-vlak geeft.

[Griertens]

Goed voorbeeld, maar het is en blijft toch zo dat een pool zoeken er op neerkomt de nulpunten te zoeken van de noemer, dus de waarden waarbij H(s) oneindig groot wordt?

enkele concrete bedenkingen:

1) het voorbeeld dat je geeft is inderdaad waar, maar daar bekijk je enkel de frequentie van de pool maar met een ander reel deel(in dit geval positief en ongedempt) maar wat als we de exacte pool beschouwen. Dus die exacte sinus met die bepaalde demping... dan wordt H(s) toch wel oneindig?

2)Wat is er nog speciaal aan een pool, elke waarde w(waarvoor ik een willekeurige waarde neem die niet de pool-w is)die ik invul in jou voorbeeld H(s) met een bepaalde grootte die als schaling werkt voor een aangelegde ingang...

bedankt beide om toch een poging te wagen ...

[ZVdP]

De polen zijn inderdaad de nullen van de noemer.

Dus die exacte sinus met die bepaalde demping... dan wordt H(s) toch wel oneindig?

Hier volg ik niet. Wat bedoel je met een sinus met demping?

H(s) wordt oneindig in de pool. Maar zolang die pool niet op de imaginaire as ligt, bestaat er geen sinus die oneindig versterkt wordt.

Het complexe getal s=a+wj stemt niet overeen met een bepaald signaal of zo.

Misschien verwar je die demping met een tweede orde systeem waarbij de hoek van de pool de demping op het stapantwoord bepaalt?

Ik begrijp niet goed wat je nu juist met puntje 2 bedoelt.

[Bartjes]

De overdrachtsfunctie is niet de versterkingsfactor.

[ZVdP]

Hoezo?

Las G(s) de transferfunctie is, dan is |G(jw)| de versterkingsfactor voor een signaal met frequentie w

Of bedoel je met versterkingsfactor enkel de DC winst? Maar in die zin is de versterkingsfactor hier toch nergens gebruikt?

[Griertens]

1)Hier volg ik niet. Wat bedoel je met een sinus met demping?

Het complexe getal s=a+wj stemt niet overeen met een bepaald signaal of zo.

Goed dat je dat zo letterlijk zegt, ik had begrepen dat s=a+wj wél overeenstemt met een bepaald signaal, nl. een signaal waar we exp(a+wj)=exp(a).exp(wj) hebben en dus wanneer a>0 een sinusoidaal signaal dat oneindig groot wordt en voor a<0 een sinusoidaal signaal dat gedempt word(stel je de functie visueel voor) een bepaalde a heeft dus een beaalde betekenis.

2)H(s) wordt oneindig in de pool. Maar zolang die pool niet op de imaginaire as ligt, bestaat er geen sinus die oneindig versterkt wordt.

Zoals je uit mijn vorige uitleg begreep zie ik momenteel ook de complexe polen als overeenstemmend met exacte signalen, dus zie ik hier niet echt het verschil. Tenzij H(s) wel zogezegd functie is van s het commplexe getal maar dat je in werkelijkheid enkel jw mag varieren.

[Bartjes]

Hoezo?

Las G(s) de transferfunctie is, dan is |G(jw)| de versterkingsfactor voor een signaal met frequentie w

Of bedoel je met versterkingsfactor enkel de DC winst? Maar in die zin is de versterkingsfactor hier toch nergens gebruikt?

Een precieze definitie staat hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Transfer_function

Er wordt dus een essentieel gebruik gemaakt van de Laplace-getransformeerden van het ingangs- en uitgangssignaal. Veel verwarring ontstaat wanneer niet duidelijk wordt gemaakt hoe die overdrachtsfunctie eigenlijk gedefinieerd is. Dan is het ook een raadsel waar die s ineens vandaan komt. Je kan de overdrachtsfunctie vervolgens inderdaad wel gebruiken om de versterking voor harmonische signalen uit te rekenen.

[ZVdP]

Je weet dat je met de Fourriergetransformeerde een functie kan ontbinden in zijn frequentiespectrum. Dit spectrum wordt weergegeven op de imaginaire as.

Een sinus met toenemende of afnemende frequentie bestaat heeft dus ook zijn spectrum op deze as, en wordt dus niet weergegeven door een punt of zo.

Kort uitgelged:

-G(jw) vertelt hoe elke frequentie (w) van het ingangssignaal versterkd wordt.

Het product van G(jw) met het ingangssignaal in het frequentiedomein geeft je het uitgangssignaal in het frequentiedomein.

-We kunnen jw nu vervangen door s en G uitbreiden naar het hele complexe vlak. Uit de ligging van de polen en nullen kunnen we een aantal eigenschappen halen zoals de stabiliteit en het stapantwoord. Maar de polen en nullen staan niet in verband met een bepaald signaal.

Signalen bekijken we op de imaginaire as.

Wat we bijvoorbeeld wel kunnen zeggen is het volgende:

De versterking van een bepaalde frequentie (imaginair getal, a=0) wordt bepaald door de grootte van G bij die frequentie. Als we nu een pool hebben bij s=a+wj kunnen we wel vermoeden dat G rond s=0+jw een opslingering zal krijgen bij die frequentie. Maar niet oneindig natuurlijk. (Het is overigens niet altijd zo dat er een opslingering optreedt; dit hangt af van de ligging van de pool.)

[Griertens]

ok , die is dan niet oneindig maar de functie word er wel oneindig , dat is toch ee wiskundig feit waar je niet omheen kunt ?

[ZVdP]

Niet oneindig, maar wel oneindig? Ik kan niet goed aan de redenering uit.

Mij lijkt het dat je misschien je cursus nog een van in het begin doorneemt, aangezien ik vermoed dat er een aantal basis dingen nog niet goed duidelijk zijn.

Of anders nog eens kort zeggen wat er onduidelijk is over de transferfunctie/overdrachtsfunctie G(jw) of G(s) en de polen en nullen hiervan. Want ik heb nu niet echt een goed beeld waar je juist problemen mee hebt.

[Griertens]

ja sorry die zin sloeg op niet veel. Wat ik bedoel is dat je uitleg wel op veel slaat in mijn ogen maar je ontwijkt percies zowat het feit dat de functie er wél degelijk oneindig wordt, ok niet wanneer de pool niet op de imaginaire as ligt maar als de pool daar wel ligt word H(s) toch echt gewoon oneindig, dat is toch een wiskundig feit waar je niet rond kan ?

[ZVdP]

Die functie wordt daar inderdaad oneindig. Maar daar kan je verder geen conclusie uit trekken voor een bepaald signaal of zo.

Misschien wordt het wat duidelijker met een figuur.

Ik heb een systeem dat volgende bode plot heeft

bodeBand 2150 keer bekeken

Wat zegt de bovenste grafiek ons nu? We halen hieruit dat wanneer we een signaal door dit systeem sturen dat de lage en hoge frequenties onderdrukt worden, terwijl enkel een smalle band van de frequenties wordt doorgelaten (zo haal je bv 1 specifiek radiostation uit de lucht)

De bode plot geeft dus weer wat er gebeurt met de frequentieinhound van het signaal; je vermenigvuldigt de bode plot met het frequentiespectrum van je inganggsignaal en je hebt het uitgangssignaal.

Zoals je ziet hebben we hiervoor nergens polen (of nullen) voor nodig gehad. De grafiek heeft zelfs geen pool of nul.

Er is geen enkel signaal/frequentie die oneindig versterkt wordt.

Deze grafiek, is nu de plot van G(jw). Dus een de grafiek over de imaginaire as van G(s).

Uit G(jw) kunnen we achterhalen wat er gebeurt met eender welk willekeurig signaal. Waarom breiden we G(jw) dan uit naar het complexe vlak als we genoeg hebben aan de imaginaire as?

Wel, dit biedt een aantal voordelen, waaronder bijvoorbeeld de representatie; in het complexe vlak kan je elke veelterm ontbinden in zijn nulpunten, dus we kunnen een bepaalde transferfunctie G zeer eenvoudig weergeven door zijn polen en nullen. Verder zijn er ook een aantal eigenschappen van het systeem dat je kan afleiden uit de polen en nullen ligging in het complexe vlak.

Dit is de uitbreiding van G(jw) naar G(s):

complexBand 2150 keer bekeken

De rode lijn is de reële as, de groene de imaginaire.

Zoals je kan zien is de groene lijn juist de bode plot van hierboven (een beetje vervormd aangezien de bode plot in logaritmische schaal staat).

Er zijn duidelijk twee polen in het linkerhalfvlak. Deze hebben ervoor gezorgd dat er een opslingering is in hun nabijheid op de imaginaire as, zodat we een doorlaatband krijgen in onze bodeplot en een bepaalde frequentieband kunnen filteren.

Dus:

G(s) biedt een eenvoudige en intuïtieve manier om een transferfunctie weer te geven door zijn polen en nullen en hieruit een aantal eigenschappen te halen van het systeem

G(jw) biedt een eenvoudige en intuïtieve manier om te zien wat er met de frequentieinhoud van het ingangssignaal gebeurt.

Maakt dit het wat duidelijker?

[Griertens]

Ja , heel goede tekeningen, maar nu liggen die polen in de imaginaire dimensie en worden daar duidelijk oneindig groot. maar wat als die polen (grote omhooglopende kokers in de tekening) op de jw as liggen , dan wordt dit in het bode digram toch wel degelijk een curve die naar oneindig gaat ... en als je |H(s)| dan vermenigvuldigd met een ingangssignaal I(s) dan word die frequentie van de pool toch oneindig groot ...