Puzzels
\(\vec{F}(x,y) = (M(x,y),N(x,y))\)
met alle componenten en hun afgeleide continu in D. Als D dan kan beschreven worden tussen grenswaarden van x (en y afhankelijk van x) als tussen grenswaarden van y (en x afhankelijk van y) dan geldt:\(\int \int_D \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dx dy = \int_C Mdx + Ndy\)
(die laatste dus een lijnintegraal).Tot zover de stelling. Ik wou dit even narekenen voor
\(\vec{F}(x,y) = (-y,x)\)
met \(D = \left\{(x,y) | x^2 + y^2 \leq r^2 \right\}\)
. Als parametrisatie van D (voor de lijnintegraal) vind je dan \(\vec{\gamma}(t) = (r\cdot \cos (t), r \cdot \sin (t))\)
met t van 0 tot 2pi.Als lijnintegraal vind je dan
\(\int \limits_0^{2\pi} \vec{F}(\vec{\gamma}(t)) \cdot \vec{\gamma}'(t) dt = \int \limits_0^{2\pi} r^2 dt = 2\pi r^2\)
.Daar moet de andere integraal dus aan gelijk zijn.
\(\int \int_D \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dx dy = \int \int_D (1 + 1) dx dy = \int \int_D 2 dx dy \)
En nu weet ik niet goed welke grenzen ik moet nemen voor x en y voor D. Kan iemand mij hier mee helpen? Ik weet dat je ook simpelweg
\(\int \int_D 2 dx dy = \int \limits_0^{2\pi} \int \limits_0^{r} 2R dR d\theta = \int \limits_0^{2\pi} r^2 d\theta = 2\pi r^2\)
kan doen en zo de uitkomst uitkomt, maar ik had graag geweten wat de correcte grenzen zijn indien je het zonder omzetten naar poolcoördinaten wil doen. Ik neem aan dat je x van -r tot r neemt of zo, en dan y van negatieve tot positieve vierkantwortel r^2 - x^2 of zo... Iemand die me hiermee kan helpen?Denis
