Valversnelling vs. gekromde ruimte

[eagle987]

Dag iedereen,

Laatst zat ik wat te rekenen omtrent de valversnelling met de formules van Newton.

Dit is hoe ik het aangepakt heb:

\(m\cdot g = G \cdot \frac{m1 \cdot m2}{r²}\)

g uitwerken geeft dit:

\(g = G \cdot \frac{m}{r²}\)

Dit wil dus zeggen dat hoe kleiner de straal van een planeet, hoe groter de valversnelling...

Het tabelletje van Wikipedia ziet er als volgt uit:

Code: Selecteer alles

Plaats		   Valversnelling (m/s2) 

Evenaar		  9,780 

Keerkringen	  9,788 

Benelux		  9,812 

Pool

 9,832 

Maan

 1,63

Door de afplatting aan de polen ziet de aarde er ongeveer als volgt uit (overdreven getekent):



Aan de evenaar is de straal groter en dus is ook de valversnelling lager, bovenstaand tabelletje staaft deze hele redenering.

Maar doordat de valversnelling een rechtstreeks gevolg is van de zwaartekracht zou je deze hele gedachtegang dus moeten kunnen maken met behulp van de relativiteitstheorie.

De relativiteitstheorie zegt dat massa de ruimte kromt, en hoe groter de kromming, hoe groter de zwaartekracht is.

Als we dus opnieuw beginnen kunnen we het als volgt stellen:

De aarde is afgeplat aan de polen, dus is er een grotere massa aanwezig rond de evenaar. Deze grotere massa zorgt voor een grotere kromming van de ruimte en dus ook een grotere zwaartekracht met bijgevolg een grotere valversnelling.

Dus is er aan de evenaar een grotere valversnelling dan aan de polen, wat in strijd is met voorgaande redenering.

Intuïtief geef ik de voorkeur aan de redenering van de relativiteitstheorie, hoewel dit in strijd is met de formules van Newton. De formules van Newton geven blijk van een grote accuraatheid en aldus vermoed ik dat er een fout in m'n redenering zit van de relativistische denkwijze.

[Equations]

Misschien nieuw voor je, maar er zijn drie verschillende g's:

1. G als universele gravitatie constante van Newton. Van de formule F = Gmm/r²

2. g als gravitatie veldsterkte. Van de formule g = Gm/r²

3. g als valversnelling als gevolg van zwaartekracht. Van de formule F = mg.

Die laatste twee lijken erg veel op elkaar, en niet alleen omdat ze allebei met kleine letter g worden aangegeven. Het verschil tussen deze twee is dat bij de g ook de middelpuntzoekende kracht wordt meegenomen. Hierbij geldt: mg = m(g + a_c) waarbij a_c de middelpuntzoekende versnelling is. Omdat de aarde om zijn as draait is er een middelpuntzoekende kracht en zijn g en g dus niet het zelfde. Omdat de aarde ter hoogte van de evenaar harder ronddraait dan aan de polen, is de valversnelling daar daarom kleiner.

[Paul_1968]

Dit wil dus zeggen dat hoe kleiner de straal van een planeet, hoe groter de valversnelling...

Ik zou eerder zeggen dat g groter is naarmate de afstand tot de massa(bv planeet) kleiner is.

Bij de polen is de afstand kennelijk kleiner (inderdaad : tot het middelpunt van de aarde).

Aan de evenaar is de straal groter en dus is ook de valversnelling lager, bovenstaand tabelletje staaft deze hele redenering.

Maar ...

De aarde is afgeplat aan de polen, dus is er een grotere massa aanwezig rond de evenaar. Deze grotere massa zorgt voor een grotere kromming van de ruimte en dus ook een grotere zwaartekracht met bijgevolg een grotere valversnelling.

Dus is er aan de evenaar een grotere valversnelling dan aan de polen, wat in strijd is met voorgaande redenering.

Teken maar eens twee kleine cirkels op de twee plaatsen waar g gemeten wordt.

Je zult dan zien dat bij de evenaar minder massa binnen een even grote cirkel valt.

Maar g wordt bepaald door alle massa/energie in de buurt, dus de hele planeet beinvloed de waarde. Niet alleen het stukje dat het dichtste bij de meetplaats is.

[aestu]

Je vergeet dat de ruimtetijd gekromd is !

[eendavid]

Als je in algemene relativiteit (AR) dezelfde berekening doet - i.e. bereken het zwaartekrachtsveld voor een sferisch symmetrische massaverdeling en kijk dan waar de kracht op een stilstaand object het grootst is - dan bekom je exact hetzelfde resultaat. Technisch: de krommingsinvarianten van de schwarzschildoplossing nemen af naarmate de afstand tot het centrum van aarde toeneemt. De fout in de redenering ligt eerder in 'er is een grotere massa aanwezig rond de evenaar, dus de kromming is daar groter': je zou eenzelfde redenering kunnen voeren voor Newton, waar massa kracht veroorzaakt ipv ruimtetijdkromming.

Merk ook op dat een deel van dit effect verklaard wordt doordat er op de evenaar een middelpuntvliedende kracht werkt. Ook in AR speelt dit effect.