[wiskunde] cosinus en sinus differentiëren

[Xx_appeltje_xX]

Kan iemand mij alsjeblieft uitleggen op welke manier je de volgende functies differentiërt?

f(x) = cos t - cos²t

en

g(x) = sint(1 - cost)

Ik weet dat de afgeleide van cos t = -sint

Maar met het gebruik van de kettingregel en dergelijke kom ik niet tot een correct antwoord helaas.

Alvast bedankt voor de moeite!

[Heezen]

Het is gewoon gebruik van de kettingregel, plus de regel dat de afgeleide van een som gelijk is aan de som van de afgeleides( gebruik dit bij de eerste opdracht.)

Zeg maar wat niet lukt..

[Emveedee]

Bij de eerste:

stel cos(x)=u

Wat is de afgeleide van u²?

Wat is dus de afgeleide van cos² (denk aan de kettingregel!)

Bij de tweede:

Stel eerst t(1-cos t)=u

Wat is de afgeleide van sin(u) (denk aan kettingregel).

Stel nu (1-cos(t))=w

Wat is de afgeleide van t*w? (productregel)

Vul daarna w weer in.

[Xx_appeltje_xX]

Het is gewoon gebruik van de kettingregel, plus de regel dat de afgeleide van een som gelijk is aan de som van de afgeleides( gebruik dit bij de eerste opdracht.)

Zeg maar wat niet lukt..

Het probleem zit hem in de kettingregel, ik heb het idee dat ik die bij deze som totaal niet goed heb gebruitkt.

f(x) = cos t - cos ²t

kettingregel:

a = cos ²t --> a' = 2 sin t ( dit deel gaat fout geloof ik)

b = cos t - b --> b' = - sin t

[Klintersaas]

a = cos ²t --> a' = 2 sin t ( dit deel gaat fout geloof ik)

Inderdaad. Eerst hoor je het kwadraat af te leiden en dan pas te vermenigvuldigen met de afgeleide van de cosinus:

\(D(\cos^2(t)) = 2\cos(t)D(\cos(t)) = -2\cos(t)\sin(t)\)

[Xx_appeltje_xX]

Bij de eerste:

stel cos(x)=u

Wat is de afgeleide van u²?

Wat is dus de afgeleide van cos² (denk aan de kettingregel!)

Bij de tweede:

Stel eerst t(1-cos t)=u

Wat is de afgeleide van sin(u) (denk aan kettingregel).

Stel nu (1-cos(t))=w

Wat is de afgeleide van t*w? (productregel)

Vul daarna w weer in.

Mij is altijd verteld dat als je cos ²t hebt er eigenlijk staat: cos t² dus dan wordt het naar mijn idee -2 * - sin t = 2 sin t

Maar dat is blijkbaar fout.

[Klintersaas]

Wie heeft je dat verteld?

\(\cos^2t = (\cos t)^2 \neq \cos(t^2)\)

[Emveedee]

Nee, dat kwadraat betekent die hele functie in het kwadraat:

cos²t=(cos t)²

cos t²=cos(t²)

2 totaal verschillende functies!

Als je hier moeite mee hebt kan je beter haakjes opschrijven,

dan maak je dat soort fouten niet zo snel.

[Xx_appeltje_xX]

Wie heeft je dat verteld?

\(\cos^2t = (\cos t)^2 \neq \cos(t^2)\)

Okee dankjewel! Dan heb ik al iniedergeval een fout ontdekt!

Ga het nog even proberen aan de hand van je andere antwoord.

[Xx_appeltje_xX]

Inderdaad. Eerst hoor je het kwadraat af te leiden en dan pas te vermenigvuldigen met de afgeleide van de cosinus:

\(D(\cos^2(t)) = 2\cos(t)D(\cos(t)) = -2\cos(t)\sin(t)\)

Nee, dat kwadraat betekent die hele functie in het kwadraat:

cos²t=(cos t)²

cos t²=cos(t²)

2 totaal verschillende functies!

Als je hier moeite mee hebt kan je beter haakjes opschrijven,

dan maak je dat soort fouten niet zo snel.

Oke, bedankt!

[Emveedee]

D staat voor de afgeleide.

Je moet de kettingregel gebruiken.

Neem dus cos(t)=u.

De afgeleide van

\(u^2\)

is dan

\(2 u D(u)\)

Dus

\(2\cos(t)-sin(t)\)

[Klintersaas]

Ik begin te vrezen dat je niet precies begrijpt wat de kettingregel inhoudt. Je hebt hier te maken met een kwadratische functie. Het grondtal van dat kwadraat is echter geen "gewone" variabele maar ook functie, nl. een cosinusfunctie. Bij het afleiden werk je dus van buiten naar binnen: eerst leid je het kwadraat af (de 2 komt voorop en de exponent vermindert met 1) en vervolgens vermenigvuldig je dat met de afgeleide van je argument (lees: grondtal; in dit geval de cosinus, waarvan de afgeleide -sin(t) is).

[Xx_appeltje_xX]

Ik begin te vrezen dat je niet precies begrijpt wat de kettingregel inhoudt. Je hebt hier te maken met een kwadratische functie. Het grondtal van dat kwadraat is echter geen "gewone" variabele maar ook functie, nl. een cosinusfunctie. Bij het afleiden werk je dus van buiten naar binnen: eerst leid je het kwadraat af (de 2 komt voorop en de exponent vermindert met 1) en vervolgens vermenigvuldig je dat met de afgeleide van je argument (lees: grondtal; in dit geval de cosinus, waarvan de afgeleide -sin(t) is).

Ik vrees hetzelfde, we kregen het vorige jaren op een "makkelijke" manier uitgelegd.. Die manier ben ik blijven gebruiken tot we overstapten opeens op zeg maar de manier die jullie ook gebruiken. Alleen de manier die jij beschrijft krijg ik niet onder de knie, waardoor mijn " eenvoudige" manier gebruik waar geen snars van klopt. Maar dat wordt even nog meer oefenen ben ik bang, anders haal ik mn examens nooit!

[Klintersaas]

Hoe zag die makkelijke manier er dan uit?

[Emveedee]

Misschien dat het iets duidelijker is met een simpel voorbeeld:

Als je de afgeleide van bijv.

\((2x+1)^2\)

wilt hebben.

Dan kan je het dus eerst schrijven als:

\((2x+1)(2x+1)=4x^2+4x+1\)

De afgeleide daarvan wordt dan:

\(8x+4\)

Je kunt ook de kettingregel gebruiken:

Stel

\(2x+1=u\)

\(D(u^2)=2\times u\times D(u)=2\times(2x+1)\times (2)=8x+4\)

(en D(u) is dus de afgeleide van u)

Is het zo duidelijker?