[wiskunde] groepentheorie, normal subgroup

[Heezen]

Bewijs dat als de index van een subgroup H in G een priem is, dat het dan een normal subgroup is.

(het geval index=2 is behandeld, maar ik weet niet hoe je het voor het algemene geval zou moeten doen.)

index van H=grootte van G/ grootte van H ; we hebben hier te maken met eindige groepen.

Groeten,

[Phys]

Bewijs dat als de index van een subgroup H in G een priem is, dat het dan een normal subgroup is.

Ben je niet vergeten dat p de kleinste priemdeler van |G| moet zijn? Zo ja, dan is hier een bewijsschets. Dit vereist onder andere bekendheid met action, left cosets, first isomorphism theorem en Lagrange' theorem (ik gebruik de Engelse termen omdat dat net zo makkelijk is).

Zij p de index van H in G, dus [G:H]=p. Bekijk de action van G op de verzameling van left cosets van H door multiplicatie. Expliciet, als

\(A=\{aH|a\in G\}\)

de verz. van left cosets van H, dan heb ik het over de action

\(G\times A\to A\)

gegeven door

\(g\cdot (aH) = gaH\)

. Deze action induceert (zoals altijd) een homomorfisme

\(\phi:G\to S_p\)

(er zijn natuurlijk precies p left cosets). Schrijf l=[H:K] voor de index van K in H, en definieer

\(K:=ker(\phi)\)

, uiteraard is K normal in G. Er geldt [G:K]=[G:H][H:K]=pl. Met first isomorphism theorem en Lagrange volgt dat pl=|G/K|=[G:K} deelt p!. Maar dan l|(p-1)!. Aangezien p de kleinste priemdeler van |G| is (mijn extra aanname!) volgt l=1, dus H=K, en we wisten al dat K normaal is in G.

Als je dit iets zegt, zou ik het bewijs eens voor jezelf volledig uitschrijven en de details proberen in te vullen. Succes!

[Heezen]

Dat ben ik inderdaad vergeten te vermelden, bedankt.!

Een ander vraag omtrent groepen:

Stel : |G|=m|H|, met H<G.

Bewijs dat g^(m!) in H zit, voor alle g die in G zit.

Ik snap dat ik iets als ((g^2)^3)^.. moet doen(of omgekeerd), maar de vraag blijft waarom die dan noodzakerlijkwijs dan in H komt. Ik denk dat ik dit moet veralgemeniseren: Als G opgespiltst is in H en g1H, en g ligt niet in H, dan is g^2 wel in H..