[wiskunde] vergelijking opstellen

[Nectar]

Gegeven is de functie f(x) = 10ln(x) / x

De lijn k gaat door O en raakt de grafiek van f.

Stel langs algebraische weg een vergelijking van k op.

----------------------------------------------------------------

Hierbij wordt bij het antwoord gezegd:

Raaklijn door O aan de grafiek van f geeft f'(x) = f(x)/x

Dit snap ik niet...?

Op die manier komen ze dan aan x.

x = wortel uit e.

Dan krijg je: y = ax + b

a = f'(wortel uit e) = 5/x. (afgeleide bij een deelvraag hiervoor uitgerekend)

en b is dan gewoon 0, waardoor je als eindantwoord krijgt: k:y = (5/e)x

-------------------------------------------------------------------------------------

Wat ik dus bij deze opdracht niet begrijp is:

- Raaklijn door O aan de grafiek van f geeft f'(x) = f(x)/x

- En waarom er k:y = ax wordt gebruik en niet k:y = ax+b.

Oftewel: waarom b nul is.

-------------------------------------------------------------------------------------

Zou iemand me dit misschien kunnen uitleggen?

Alvast bedankt!

[Brownie]

Om met de tweede vraag te beginnen: In de vergelijking van een rechte lijn y=ax+b staat a voor de richtingscoefficient en b voor de waarde waar hij de y-as (x=0) snijdt. Vul x=0 maar in. In de vraag staat al dat de lijn door de oorsprong (0,0) gaat. Dus bij x=0 geldt y=0, dat kan alleen als b=0. Een lijn door de oorsprong is dus altijd y=ax.

Als je de vraag goed leest kan je drie vergelijkingen opstellen:

- Voor k geldt dus y=ax

- Er is een een punt x waar zowel de richting als de y-waarde gelijk zijn voor de functie f en de lijn k.

Dus richting k = richting f, of wel a=f'(x)

en waarde k = waarde f, of ax=f(x), dus a = f(x)/x (als x<>0)

De twee schuingedrukte formules samengevoegd levert f'(x) = f(x)/x (als x<>0)

[Shadeh]

- En waarom er k:y = ax wordt gebruik en niet k:y = ax+b.

Oftewel: waarom b nul is.[/b]

Word y=ax+b gewoon niet gebruikt omdat het een rechte door de oorsprong is. Het is namelijk de raaklijn in het punt 0? Dus y=ax(vgl voor een rechte door de oorspong).

[TD]

Word y=ax+b gewoon niet gebruikt omdat het een rechte door de oorsprong is. Het is namelijk de raaklijn in het punt 0? Dus y=ax(vgl voor een rechte door de oorspong).

Je bedoelt de eerste keer waarschijnlijk ook y=ax, de reden klopt inderdaad: een rechte door de oorsprong heeft een vergelijking van de vorm y=ax.

[Shadeh]

Je bedoelt de eerste keer waarschijnlijk ook y=ax, de reden klopt inderdaad: een rechte door de oorsprong heeft een vergelijking van de vorm y=ax.

Idd, m'n excuses

[Nectar]

Bedankt voor de uitleg.

De vraag waarom y=ax en niet y=ax+b is, omdat b nul is, is mij nu duidelijk.

Alleen de vraag waarom f(x) = f'(x) / x is snap ik nog steeds niet helemaal..... Is dit altijd zo als het gaat om een lijn die door O gaat?

[Xenion]

Bedankt voor de uitleg.

De vraag waarom y=ax en niet y=ax+b is, omdat b nul is, is mij nu duidelijk.

Alleen de vraag waarom f(x) = f'(x) / x is snap ik nog steeds niet helemaal..... Is dit altijd zo als het gaat om een lijn die door O gaat?

Het is:

\(f'(x) = \frac{f(x)}{x}\)

Als f(x) = a*x + b en de rechte gaat door O, dan b=0, dus f(x) = a*x

\(f'(x) = a = \frac{a*x}{x} = \frac{f(x)}{x}\)

Meer is er niet aan