Oefeningen Callahan's "The Geometry of Spacetime"

[wnvl1]

Ik denk het wel.

[Professor Puntje]

Ik kan me ook moeilijk voorstellen dat het anders zou zijn, maar een bewijs zie ik niet zo snel. Misschien maar aannemen dat dit specifieke punt voor een opgave in een natuurkundeboek niet bewezen hoeft te worden...

[Professor Puntje]

OK - dan hebben we:

\( \mathrm{M}(\vec{p}) = \mathrm{M}(\vec{a}) + \mathrm{M}(\vec{b}) \)

\( \mathrm{M}(\vec{a} + \vec{b}) = \mathrm{M}(\vec{a}) + \mathrm{M}(\vec{b}) \)

[Professor Puntje]

2.(c)

We hebben:

Y -> X => M(Y) -> M(X)
j -> ∞ => Y_j -> X

Dus:

j -> ∞ => M(Y_j) -> M(X)

Dat is al een beginnetje.

[Professor Puntje]

Voor j -> ∞ geldt:

Y_j -> X => Y_j + X -> X + X

Y_j -> X => Y_j + X -> 2X

Y_j -> X => M(Y_j + X) -> M(2X)

En ook:

Y_j -> X => Y_j + X -> X + X

Y_j -> X => M(Y_j + X) -> M(X + X)

Y_j -> X => M(Y_j + X) -> M(X) + M(X)

Y_j -> X => M(Y_j + X) -> 2 M(X)

Zodat:

M(2X) = 2M(x)

Fijn! Gestaag schrijden we voort. Climbing Mount GR

[Professor Puntje]

Heb 2.(d) t/m (g) nu ook in klad bewezen. Maar die zijn niet erg interessant om te posten.

[Professor Puntje]

Ben inmiddels bij 4.(d) (zie hieronder) aangekomen. Het bewijs dat de eigenwaarden dan reëel zijn lukt me nog, maar hoe nu verder? Iemand een tip?

[wnvl1]

Bereken \(\vec{X_1}^T M \vec{X_2}\) op twee manieren:

* Eén keer via \(M\vec{X_2} = \lambda_2\vec{X_2}\)
* Eén keer via \(M^T = M\) en \(M\vec{X_1} = \lambda _1 \vec{X_1}\)

Vergelijk de twee uitdrukkingen en gebruik dat \(\lambda _1 \neq \lambda _2\).

[Professor Puntje]

Dank! Daar was ik nooit op gekomen!

Zo dus?:

Laat \( S = \vec{X_1}^T \mathrm{M} \vec{X_2} \)

Dan hebben we:

\( S = \vec{X_1}^T \mathrm{M} \vec{X_2} \)

\( S = \vec{X_1}^T ( \lambda_2 \vec{X_2}) \)

\( S = \vec{X_1} \cdot \lambda_2 \vec{X_2} \)

\( S = \lambda_2 ( \vec{X_1} \cdot \vec{X_2} ) \)


En:

\( S = \vec{X_1}^T \mathrm{M} \vec{X_2} \)

\( S = \vec{X_1}^T \mathrm{M}^T \vec{X_2} \)

\( S = (\mathrm{M} \vec{X_1})^T\vec{X_2} \)

\( S = (\lambda_1 \vec{X_1})^T\vec{X_2} \)

\( S = (\lambda_1 \vec{X_1}) \cdot \vec{X_2} \)

\( S = \lambda_1 (\vec{X_1} \cdot \vec{X_2} ) \)


Dus:

\( \lambda_2 ( \vec{X_1} \cdot \vec{X_2} ) = \lambda_1 (\vec{X_1} \cdot \vec{X_2} ) \)


Maar omdat \(\lambda _1 \neq \lambda _2\) komt er:

\( \vec{X_1} \cdot \vec{X_2} = 0 \)
.

[wnvl1]

Niet moeilijk, maar inderdaad niet evident om zelf op te komen.

[Professor Puntje]

Ik moet mijn kennis van dat eigenwaarden en -vectoren gedoe eerst nog wat bijspijkeren want ik loop nu al weer vast. Zit nu dit te bekijken:

[Professor Puntje]

Ga nu ook eerst dit boek doorlezen:

https://catalog.libraries.psu.edu/catalog/624072

Anders gaan me de verdere opgaven van het relativiteitsboek niet lukken, en als ik die opgaven niet maak dan maak ik mij de stof ook niet eigen.

[Professor Puntje]

Ben verder gegaan met het kijken van de video lectures over lineaire algebra (voornamelijk matrices) van Gilbert Strang. Die man is heel enthousiast over zijn onderwerp, en dat is besmettelijk. Ik begin zo langzaam aan ook wat waardering voor de matrix-rekening te krijgen.

[wnvl1]

Dat is interessant om te bestuderen in parallel met QM. Dat is ook boeiend.
De overlap met ART is m.i. wel beperkt.

[Professor Puntje]

De QM wil ik later nog bestuderen. Niet alles door elkaar. Ik weet niet waarom Callahan zoveel matrix-theorie in zijn boek stopt, in andere ART-boeken die ik gelezen heb komt dat nauwelijks voor.