Oefeningen Callahan's "The Geometry of Spacetime"

[Professor Puntje]

Ik snap nooit zo goed die fetish om alles coördinaatonafhankelijk te willen uitrekenen, maar goed, ik ben dan ook een natuurkundige en geen wiskundige. Zeker als dat "gegoochel" (zoveel wiskunde bevat een deel veredeld boekhouden) de zaak sterk vereenvoudigt. Waarom zou je een heel nieuw stuk wiskunde eigen willen maken voor zoiets simpels? En uiteindelijk komt het op hetzelfde neer.

Er is niet veel aan te snappen. Ik beleef simpelweg geen plezier aan mechanisch rekenwerk. Dingen begrijpen vind ik wel leuk, en creatieve oplossingen zoeken ook. En werken met voorstelbare begrippen waarvan de eigenschappen en bijpassende rekenregels inzichtelijk zijn. Praktisch nut interesseert mij volstrekt niet, dat is iets voor technici. Het gaat mij puur om het intellectuele plezier. Recreatieve natuurkunde dus eigenlijk. Recreatieve wiskunde is nog wel een bekende tak van sport, maar over recreatieve natuurkunde hoor je weinig meer...

Ok, ik meende dat je primaire doel was om de algemene relativiteitstheorie beter te begrijpen.

Klopt - daarom stel ik mijn studie van de geometrische algebra ook uit tot ik het relativiteitsboek helemaal door gewerkt heb.

[wnvl1]

Wat ik geciteerd heb van AI is geen bruikbaar bewijs, lijkt mij. Of er ontbreekt veel in. Neemt niet weg dat door te converseren met AI je er veel over kan leren. Het komt er dus op neer dat je een bi-vector en een scalar tesamen neemt en daar betekenis aangeeft.

Heel die exterieure differentiaalmeetkunde met de Hodge operatoren etc., kan je wel overslagen voor de absolute basis, maar je komt het wel geregeld tegen om dingen efficiënter op te schrijven. Helemaal overslagen is dus lastig. Ik vind het niet zo gemakkelijk om er vertrouwd mee te geraken. Dat staat eigenlijk nog los van die geometrische algebra.

[Professor Puntje]

Wat ik ervan begrijp is die geometrische algebra strikt genomen niets nieuws (wat de negatieve commentaren op internet verklaart) maar voegt zij wel een geometrische interpretatie toe aan reeds bekende maar hoogst abstracte algebraïsche objecten waardoor de bewerkingen daarmee inzichtelijk worden. Vergelijk de voorstelling van de complexe getallen door punten of vectoren in het complexe vlak. Voor wie geen moeite heeft met wiskunde als veredeld boekhouden zal zoiets overbodige franje zijn. Ikzelf wil mij echter graag voorstellingen kunnen maken bij wat ik doe, dus als geometrische algebra is wat ik denk dat het is dan is dat voor mij de moeite waard. Maar ik wil daar nu niet verder op in gaan omdat het relativiteitsboek voor mij nu prioriteit heeft.

[Professor Puntje]

Verder met 6.(b):

[Professor Puntje]

6.(b) en 6.(c):

\( E_{b/c}(t,z) = f(z \mp c t) \)

\( E_{b/c}(t_0,z) = f(z \mp c t_0) \)

\( E_{b/c}(t_0,z) = f((z \mp c t_0) \mp c \cdot 0) \)

\( E_{b/c}(t_0,z) = E_{b/c}(0,z \mp c t_0) \)

[Professor Puntje]

Hoofdstuk 1 is klaar!

Hoofdstuk 2 gaat over speciale relativiteit. Zou me ook moeten lukken.

[wnvl1]

Hoofdstuk 2 gaat over speciale relativiteit. Zou me ook moeten lukken.

Een bedenking in de marge. Ik heb zelf ook altijd de neiging om als ik een boek lees om van pagina 1 te beginnen. Dat maakt dat je op de duur tientallen keren een hoofdstuk over speciale relativiteit leest. In bijna elk basis boek over QFT en ART staat er immers zo een hoofdstuk. Vraag is soms of dat efficiënt is.

[Professor Puntje]

Ben net aan hoofdstuk 2 begonnen en ik lees hier een aanpak die me niet bekend voorkomt, namelijk een afleiding van de lorentztransformatie met behulp van matrices, eigenvectoren en eigenwaarden. Dus toch maar even doorlezen.

[wnvl1]

Eens opgezocht met chatgpt. Die legt dat wel heel scherp en duidelijk uit:




De Lorentztransformatie kan afgeleid worden met behulp van eigenvectoren door in te zien dat de transformatie een lineaire transformatie in Minkowski-ruimte is, met specifieke eigenschappen:

* Ze behoudt de Minkowski-norm \(s^2 = t^2 - x^2\).
* Ze heeft twee lichtachtige eigenvectoren: \((1, 1)\) en \((1, -1)\), die niet veranderen van richting onder een boost.



We werken in 1+1 dimensies: tijd \(t\), ruimte \(x\). De Lorentzboost langs de \(x\)-as moet de vorm hebben van een lineaire transformatie \(\Lambda\) die de Minkowski-norm behoudt.

We zoeken \(\Lambda\) op basis van:

1. Invariantie van de lichtkegel.
2. De vorm van de eigenvectoren.
3. De vorm van de transformatie op basis van diagonalisatie.

---

### 1. Kies een basis van eigenvectoren

De Minkowski-ruimte heeft een bijzondere rol voor de lichtkegel, bepaald door:

$$
t^2 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm t
$$

Dus de vectoren:

$$
\vec{e}_+ = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad
\vec{e}_- = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
$$

liggen op de lichtkegel en zijn lichtachtig: ze hebben Minkowski-norm nul.

Deze vectoren zijn eigenvectoren van de Lorentzboost:

$$
\Lambda \vec{e}_\pm = \lambda_\pm \vec{e}_\pm
$$

We weten dat de Lorentzboost de richting van deze lichtstraal niet verandert, alleen de schaal. Dus de transformatie is diagonaliseerbaar in deze basis.


### 2. Stel de transformatie op in de lichtkegelbasis

In de lichtkegelbasis \(\{ \vec{e}_+, \vec{e}_- \}\) ziet een lineaire transformatie \(\Lambda\) er als volgt uit:

$$
\Lambda_{\text{lichtbasis}} =
\begin{pmatrix}
\lambda_+ & 0 \\
0 & \lambda_-
\end{pmatrix}
$$

Omdat Lorentztransformaties de Minkowski-norm behouden, moeten de vermenigvuldigingsfactoren zo zijn dat:

$$
\lambda_+ \lambda_- = 1
$$

(de determinant is 1, want het volume van ruimtetijd wordt behouden).


### 3. Parametriseer de eigenwaarden met rapiditeit

We gebruiken nu de rapiditeit \(\phi\), gedefinieerd via:

$$
v = \tanh \phi, \quad \gamma = \cosh \phi, \quad \gamma v = \sinh \phi
$$

Dan nemen we:

$$
\lambda_+ = e^{-\phi}, \quad \lambda_- = e^{\phi}
\quad \Rightarrow \quad \lambda_+ \lambda_- = 1
$$

Dit geeft een boost waarbij de lichtachtige richtingen alleen worden geschaald.

---

### 4. Ga terug naar de standaardbasis

De transformatie is nu bekend in de lichtkegelbasis. Om terug te keren naar de gewone \((t, x)\)-coördinatenbasis, doen we een basiswissel:

#### Basisverandering:

Matrix van lichtkegelbasis naar standaardbasis:

$$
P = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\quad \text{en} \quad
P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
$$

#### Lorentztransformatie in standaardbasis:

$$
\Lambda = P \begin{pmatrix}
e^{-\phi} & 0 \\
0 & e^{\phi}
\end{pmatrix} P^{-1}
= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{-\phi} & 0 \\
0 & e^{\phi}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
$$

Voer deze matrixvermenigvuldiging uit:

$$
\Lambda = \begin{pmatrix}
\cosh \phi & -\sinh \phi \\
-\sinh \phi & \cosh \phi
\end{pmatrix}
$$

En dit is precies de Lorentzboost:

$$
\begin{pmatrix}
t' \\
x'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cosh \phi & -\sinh \phi \\
-\sinh \phi & \cosh \phi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
t \\
x
\end{pmatrix}
$$

[Professor Puntje]

Dat is ongeveer wat er in het boek gebeurt ja. Met heel veel oefeningen erbij! Die oefeningen lijken vooral oponthoud, maar zijn kennelijk toch noodzakelijk want met het lezen alleen van een berg aan relativiteitsboeken ben ik er niet gekomen. Dus nu doe ik die oefeningen toch maar voor een keer allemaal.

[Professor Puntje]

Opgaven:

[Professor Puntje]

Opgave 1. Een lijn l in R² kan in parametervorm geschreven worden als:

\( \vec{x_l} = \lambda \vec{a} + \vec{b} \) met \( \vec{a} \neq \vec{0} \)

Voor het beeld van lijn l onder de lineaire afbeelding L: R² -> R² vinden we dan:

\( L(\vec{x_l}) = L(\lambda \vec{a} + \vec{b}) \)

\( L(\vec{x_l}) = L(\lambda \vec{a}) + L(\vec{b}) \)

\( L(\vec{x_l}) = \lambda L(\vec{a}) + L(\vec{b}) \)

Als L niet de nul-afbeelding is dan is het beeld onder L van de lijn l dus ook weer een rechte lijn.

Een aan de lijn l parallelle lijn m kan geschreven worden als:

\( \vec{x_m} = \lambda \vec{a} + \vec{c} \)

Zodat:

\( L(\vec{x_m}) = L(\lambda \vec{a} + \vec{c}) \)

\( L(\vec{x_m}) = L(\lambda \vec{a}) + L(\vec{c}) \)

\( L(\vec{x_m}) = \lambda L(\vec{a}) + L(\vec{c}) \)

Dus het beeld van lijn m is parallel aan het beeld van lijn l.


Laat \( \lambda = n \cdot s \) punten met gelijke tussenafstanden op de lijn l definiëren. Dan corresponderen daar automatisch punten met gelijke tussenafstanden op het beeld van lijn l mee.

[Professor Puntje]

2.(a)

Als de beelden van parallelle lijnen \( \alpha \) en \( \beta \) (met \( \alpha \neq \beta \)) onder de in de opgave beschreven afbeelding M: R² -> R² niet parallel zouden zijn, dan snijden ze. Dus dan is er een zeker snijpunt p in R² op de beelden van \( \alpha \) en \( \beta \). De originelen van p op de lijnen \( \alpha \) en \( \beta \) zijn dan beide M^-1(p), dus dan zouden de lijnen \( \alpha \) en \( \beta \) ook een snijpunt hebben. Maar dat laatste is in strijd met onze veronderstelling dat \( \alpha \) en \( \beta \) niet samenvallende parallelle lijnen zijn. Dus kunnen de beelden van \( \alpha \) en \( \beta \) elkaar ook niet snijden en moeten ook die beeldlijnen wel niet-samenvallend en parallel zijn.

[Professor Puntje]

Hier alvast een plaatje voor 2.(b):

Van de vectoren \( \vec{a} \) en \( \vec{b} \) wordt via een parallellogram-constructie de som genomen. Door de vector \( \vec{a} \) loopt de lijn \( \alpha \) en door de vector \( \vec{b} \) loopt de lijn \( \beta \). Die twee lijnen hebben de respectieve parametervoorstellingen:

\( \vec{x} = \lambda \vec{a} \)

\( \vec{x} = \mu \vec{b} \)

En de parallel verschoven lijnen \( \alpha' \) en \( \beta' \) hebben de respectieve parameter voorstellingen:

\( \vec{x} = \lambda \vec{a} + \vec{b} \)

\( \vec{x} = \mu \vec{b} + \vec{a} \)

[Professor Puntje]

Volgens de opgave beeldt M de oorsprong op de oorsprong af en rechte lijnen op rechte lijnen. En uit 2.(a) weten we al dat parallelle lijnen op parallelle lijnen worden afgebeeld. Hier mijn verder uitgewerkte schetsje:

En mogelijk denk ik nu te moeilijk, dus even hulp graag:

Is het op basis van de gegevens van de opgave vanzelfsprekend dat de vectoren \( \mathrm{M}(\vec{a}) \) en \( \mathrm{M}(\vec{b}) \) zich daar bevinden waar ik ze getekend heb?