Kansberekening (13)

[OOOVincentOOO]

Aha, nu zie ik in de notities van Aad dat het gaat om de integraal van -infty tot +infty. Dan is het inderdaad de oplossing van wvnl. Voor andere integraal limieten numeriek.

Dit word ook de Gaussian integraal genoemd en de basisvorm is:

$$F(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}=\sqrt{\pi}$$

Hier een mooie samenvatting afleiding:
https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

De integraal in de notities van Aad is dan 1. Door bovenstaande integraal te normaliseren (waarbij x dan de bekende gemiddelde en standaard afwijking vertegenwoordigen).

[aadkr]

[OOOVincentOOO]

De total Gaussian kans verdeling is:
$$g(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- \tfrac{1}{2}\tfrac{(x-\mu)^{2}}{\sigma} }dx=1$$
De oplossing is 1 daar de totale kans 1 dient te zijn onder de gehele curve.

Bij de afleiding van de Gaussian kansverdeling is het grootste vraagstuk hoe de oppervlakte te bepalen van deze (onderstaande) vergelijking (ookwel de Gaussian integral genoemd):
$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$$
Het is wonderbaarlijk dat de oppervlakte gerelateerd is aan pi. Zie hiervoor de gelinkte afleiding van wnvl of van mijn eerdere bericht.

Door deze vergelijking te normaliseren krijg je:
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=1$$
Zie: Wiki

Zie je de overeenkomsten met de gehele vergelijking inclusief stdev: \(\small{ \sigma}\) en gemiddelde: \(\small{ \mu}\)? Op de gelinkte paginas meer informatie

Let op er bestaat geen oplossing voor de kans van bijvoorbeeld \(\small{0}\) tot \(\small{ x=a}\):
$$g(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{a} e^{- \tfrac{1}{2}\tfrac{(x-\mu)^{2}}{\sigma} }dx=?$$
Hiervoor dient met opzoek tabellen te gebruiken of benadering formules gebruiken. Dit heet ook wel de error functie. Zie: Error functie.

[OOOVincentOOO]

Wederom te weinig tijd om foutjes eruit te halen. Met latex werken kost veel tijd en moeite. Edit tijd is veel te kort voor normale gebruikers. De derde (genormaliseerde) formule dien ik eigenlijk een andere naam te geven:

$$h(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=1$$

[wnvl1]

Als je een substitutie doet

$$t = \frac{x-a}{\sqrt{2}b}$$

Dan herleidt het zicht tot de integraal waarnaar OOOVincentOOO en ikzelf eerder verwezen.

[aadkr]

wnvl1 ik ben nog bezig met die oplossing van Hofstede.
Ik begin nu een beetje door te krijgen wat ze met Riemann sommen bedoelen.
Ik ben ook nog steeds bezig met kansberekening ( amerikkaans boek)
Ik zie iets vreems in de tekst.
""we establish some important properties of independent random variables which do not hold in general ; namely:
Theorem 5.6
Let X and Y be independent random variables. Then:
(de tekst met de hand en de tekst getypt moet omgedraait worden.)

[aadkr]

[wnvl1]

Het bewijs dat je geeft, geeft wel inzicht vind ik. Ik weet niet in welke mate je vertrouwd bent met analytische mechanica. De stelling van Steiner voor de berekening van het traagheidsmoment is het equivalent van bovenstaande stelling in de kansberekening.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Steiner

[aadkr]

Geachte wnvl1
De verschuivingsstelling van Steiner is mij bekend. ( ik ben 2 jaar een tweede graads natuurkundedocent geweest)
( ik kon geen orde houden)
In het amerikaande boek van Seymour Lipschutz Heeft de man het over Remark 1 , Remark2 en remark3
Remark 1: There is a physical interpretation of mean and variance. Suppose at each point x(i) on the x axis there is placed a unit with mass f(x(i)). Then the mean is the centre of gravity of the system, and the variance is the moment of inertia of the system.
Ik moet alles nog even tot mij door laten dringen.
Geachte wnvl1, bij voorbaat hartelijk dank.
aad

[aadkr]

5.27
A pair of fair dice is thrown, Let X be the random variable which denotes the minimum of the two numbers which appear . Find the distribution, mean , variance ans standard deviation of X.
Distribution=
x 1 2 3 4 5 6
f(xi) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36

mean=2,527 ( boek geeft mean=2,5

Variance= 1,97 ( boek geeft variance=2,1
Standard deviation=1,4 ( boek geeft 1,4)
Wil iemand de berekening controleren?

[wnvl1]

11/36*1^2+ 9/36*2^2+ 7/36*3^2+ 5/36*4^2+ 3/36*5^2+ 1/36*6^2-2.527^2 = 1.97 kom ik ook uit

[aadkr]

wnvl1
Hartelijk dank voor uw reactie.
aad

[aadkr]

[wnvl1]

Je kan ook rechtstreeks de formules voor de variantie np(1-p) en de verwachte waarde np in geval van een binomiaalverdeling gebruiken. Dat gaat sneller.

[aadkr]