R en R\{0}

[Tempus]

Ik moet laten zien dat

\((\mathbb{R}, <)\)

en

\((\mathbb{R}\backslash\{0\}, <)\)

elementair equivalent en niet isomorf zijn. Naar de isomorfie heb ik nog niet gekeken, want ik kom er niet uit hoe je laat zien dat de structuren elementair equivalent zijn. Als hint is er gegeven dat volgens de Löwenheim-Skolem-stelling er twee aftelbare structuren zo dat de een elementair equivalent is met

\((\mathbb{R}, <)\)

en de ander met

\((\mathbb{R}\backslash\{0\}, <)\)

. Het lijkt me dat je wil laten zien dat deze twee aftelbare structuren elementair equivalent zijn, aangezien hieruit dan volgt dat

\((\mathbb{R}, <)\)

en

\((\mathbb{R}\backslash\{0\}, <)\)

dat ook zijn. Ik weet alleen niet hoe ik dit moet bewijzen.

[Drieske]

Helaas kan ik niet echt van hulp zijn bij het elementair equivalent zijn, maar indien nodig wel bij het isomorf zijn... Het klinkt (vrij) logisch, maar ik ben niet voldoende thuis in dat gedeelte.

[Tempus]

Bedankt voor de reactie, isomorfie bewijzen zou wel moeten lukken. ik heb antwoord inmiddels van de docent te horen gekregen en ik denk dat je het inderdaad niet het kunnen weten als je niet thuis bent in de stof.

[Drieske]

Voor de interesse: kun je een schets van de aanpak/het bewijs geven?

[Tempus]

Het draait om een stelling waar het antwoord bijna direct uit volgt. Dat is de stelling dat elke aftelbare structuur die strikt, totaal geordend en dicht is en ook geen eindpunten heeft, isomorf (en dus ook elementair equivalent) is met

\((\mathbb{Q}, <)\)

. Toepassen van de Löwenheim-Skolem-stelling op de twee gegeven structuren geeft je dan de oplossing.