[Wiskunde] Integralen / Integreren

[Anonymous]

Ik denk dat ik het begrijp... maar ik was er dus echt NOOIT zelf opgekomen. Op school hebben wij ook nooit echt gewerkt met de dx of dt in een integraal....die stond er eigenlijk gewoon, omdat die er gewoon moest staan...

En sdekivit je schreef in je berichtje van 10:47 uur: de primitieve van de integraal...maar ik dacht al dat je gewoon de primitieve van u* du nam...maar ik dacht: ik vraag maar even voor de zekerheid.

Heel erg bedankt

[sdekivit]

@sdekivit: ik heb hem ook in Maple berekend, maar die geeft een (wellicht op het eerste gezicht) vreemd antwoord.



Kun jij dit rijmen met ons antwoord?

-1/4 cos (2x) + 1/16cos (4x) =

cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)

cos(4x) = 1 - 2sin^2 (2x) = 1 - 2 * sin(2x) * sin (2x)

--> dus 1 - 2 * 2sin x * cos x * 2sin x * cos x

= 1 - 8 sin^2(x)cos^2(x)

--> cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

--> 1 - 8 sin^2(x)[1 - sin^2(x)] = 1 - 8sin^2(x)+ 8sin^4(x)

-1/4 * (1 - 2sin^2(x) + 1/16 [ 1 - 8sin^2(x) + 8sin^4(x)]

= -1/4 + 1/2sin^2(x) + 1/16 - 1/2sin^2(x) + 1/2sin^4(x)

= 1/2sin^4(x) - 3/16 met dus -3/16 als constante.

Dit is waar ik op uitkom als ik het antwoord uitwerk.

[Math]

Helemaal juist, maar is dat niet vreemd dat Maple er zomaar vanuit gaat dat 3/16 de constante is?

Ik vind ons antwoord dan beter omdat deze algemener is. Mathematica doet overigens vrijwel hetzelfde als Maple.

[sdekivit]

mathematica geeft hetzelfde antwoord ....

Edit Math: zoals ik ook al zei "Mathematica doet overigens vrijwel hetzelfde als Maple."

[arual]

Wat is de primitieve van sin²x ?

Is dat 1/3 * sin (x)³ + C ??

[Elmo]

Nee, dat is x/2 - sin[2x]/4.

Of, als je dat duidelijk vindt: (x - sin[x] cos[x])/2.

Dat kan je zien door partieel te integreren.

[Anonymous]

kan je me ook vertellen hoe ik aan het juiste antwoord moet komen?

[Bart]

Door gebruik te maken van de goniometrische formule

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

[Math]

Door gebruik te maken van de goniometrische formule

cos(2x) = 1 - 2 sin²(x)

Dus:

[arual]

Ok...ik ben nu een heel eind...maar ik snap die 1/4 voor die cos(2x)...is het zo, omdat 2 keer een vierde een half is....Of wat is eigenlijk de regel om sinussen en cosinussen te primitiveren...waarom is het niet mogelijk om te doen, zoals ik het eerst deed???

[sdekivit]

dat is het gemakkelijkst te zien door even te substitueren. Noem u = 2x. De rest volgt dan vanzelf.

De algemene regel voor g(x) = f(ax) --> G(x) = 1/a * F(ax) dus de primitieve van cos 2x wordt 1/2 * sin (2x) en omdat er al een factor van 1/2 voor stond wordt het dus 1/4 * sin (2x)

--> jouw methode lukt niet omdat je te maken hebt met een kettingfunctie.

[TD]

De primitieve van x^n is x^(n+1)/(n+1), let wel: daar staat x, niet sin(x)!.

De primitieve van sin(x) is cos(x).

Als het was sin²x d(sinx), dan was de uitkomst inderdaad sin³x/3, maar als de veranderlijke x is, niet.

[arual]

Ik snap het...zijn er nog meer van die algemene regels ???

[TD]

Hoe bedoel je? Je hebt waarschijnlijk toch wel een reeks standaardprimitieven gezien, nee?

Van de goniometrische functies, 1/x, x^n, 1/(1+x²), ... ?

[arual]

Die eerste twee heb ik wel gezien...die tweede niet...maar misschien heb ik er wel in praktijk (om het zo maar te zeggen) mee gewerkt, zonder dat ik het besef had, dat ik met die regel bezig was...

De regels die ik ken..zijn die van de formulekaart (oftewel: Binas). Ik heb alleen maar makkelijke sinussen en cosinussen moeten primitiveren. Met een kwadraat of een breuk heb ik nooit gedaan....ook als twee functies maal elkaar gedaan worden en die primitiveren, dat heb ik ook nooit gedaan.