Omega-analyse en 0,999...

[Bartjes]

Beste mensen,

Pas heb ik een groot artikel geschreven over een getallensysteem waarin 1 > 0.999... . Ik zie dit vooral als een bijdrage aan de recreatieve wiskunde. Dat voor het systeem van de reële getallen geldt dat 1 = 0,999... is mij bekend. Aan de juistheid van het reële getallensysteem wil ik dan ook niets af doen. Anderzijds is het wel aardig om te laten zien dat de veel voorkomende intuïtie dat 1 > 0,999... binnen andere getallensystemen kan worden uitgewerkt.

Mijn artikel is hier te vinden:

http://wetenschap.infonu.nl/wiskunde/35856...se-en-0999.html

Het zou aardig zijn als lezers hun (positieve en negatieve) reacties zouden willen geven.

Vriendelijke groeten,

Bartjes

[virtlink]

Het artikel is goed te volgen, maar wel behoorlijk lang. Ik heb alleen het eerste aantal A4'tjes gelezen, en daar laat je zien wat de termen en eigenschappen zijn en hoe de 'klassieke' rekenbewerkingen ook op deze manier van rekenen van toepassing zijn. Maar het zou mij (en mogelijk ook de andere lezers van het forum) helpen als je het zou kunnen samenvatten, en precies aan geven welke delen je vooral opmerkingen over zou willen hebben? Is het alleen een beschrijving/samenvatting van de Omega-analyse of zit er ook origineel onderzoek van jezelf in?

[Bartjes]

Het artikel is goed te volgen, maar wel behoorlijk lang. Ik heb alleen het eerste aantal A4'tjes gelezen, en daar laat je zien wat de termen en eigenschappen zijn en hoe de 'klassieke' rekenbewerkingen ook op deze manier van rekenen van toepassing zijn. Maar het zou mij (en mogelijk ook de andere lezers van het forum) helpen als je het zou kunnen samenvatten, en precies aan geven welke delen je vooral opmerkingen over zou willen hebben? Is het alleen een beschrijving/samenvatting van de Omega-analyse of zit er ook origineel onderzoek van jezelf in?

Dank voor de reactie. De lengte van het artikel heeft de volgende reden: op het internet wordt veel gediscussieerd over de vraag of 0,999... al dan niet gelijk aan 1 is. Nu kan de gelijkheid van 0,999... en 1 voor de gebruikelijke reële getallen op basis van de definitie van deze getallen bewezen worden. De enige wiskundig zinvolle vraag is dus wat er allemaal op de schop moet, wanneer je een getallensysteem wilt hebben waarin 1 > 0,999... . Daar wordt in de internet-discussies wel kort naar verwezen, maar wat uitgebreidere uiteenzettingen van zulke alternatieve getallensystemen waarin 1 > 0,999... zijn bijzonder zeldzaam. Daarom ben ik zelf maar aan de slag gegaan.

Omdat ik mijn stuk door niemand in mijn omgeving heb kunnen laten nakijken, vind ik het belangrijk dat andere mensen daar eens kritisch naar kijken om te zien of ik slordigheden of fouten over het hoofd heb gezien. Dit geldt voor het hele stuk.

Verder is de omega-analyse is geen verzinsel van mijzelf. Het is uitgedacht door de Duitse wiskundigen Curt Schmieden en Detlef Laugwitz. Ik heb er in mijn stuk alleen een wat populairder versie van gegeven. Een toepassing van de omega-analyse op het 0,999...-probleem is heel in het kort ook al gegeven door een student van Detlef Laugwitz, te weten Detlef Spalt. Maar ik heb dat nog wat verder uitgewerkt.

Ik zal hieronder kort aangeven waar de afzonderlijke paragrafen over gaan:

Omega-analyse

Wat zijn omega-getallen, hoe kan je ze optellen en vermenigvuldigen, en wat voor soorten "gelijkheden" zijn er.

Commutatieve ring

Het systeem van de omega-getallen met de aangegeven optelling en vermenigvuldiging blijkt een commutatieve ring (een bepaald soort algebraïsch systeem).

Volgorde

De definitie van groter dan en kleiner dan voor omega-getallen.

Oneindig grote en oneindig kleine omega-getallen

Wat noemen we oneindig grote en wat oneindig kleine omega-getallen. Verder voorbeelden daarvan.

Delen gaat niet altijd

Bij de reële getallen gaat alleen delen door nul niet. Bij de omega-getallen zijn er meer gevallen waarbij delen niet gaat. Voor die gevallen waarbij delen wel gaat wordt aangegeven hoe dat te doen.

Functies

We willen graag functies van de omega-getallen naar de omega-getallen hebben die een vergelijkbare rol spelen als bekende functies van de reële getallen naar de reële getallen. Hier wordt uiteengezet hoe we zulke omega-versies van reële functies kunnen maken.

Identiteiten

Reële identiteiten zijn vergelijkingen die waar zijn, welke reële getallen we ook voor de afzonderlijke variabelen invullen. Hier laten we aan de hand van een voorbeeld zien dat voor de omega-getallen vergelijkbare identiteiten gelden.

Limieten

Limieten vormen het basisbegrip van de standaard differentiaal- en integraalrekening. We laten zien dat met behulp van omega-getallen vergelijkbare resultaten kunnen worden bereikt.

Oneindige reeksen

Omdat er oneindig grote omega-getallen bestaan, kunnen we binnen de omega-analyse meer met oneindige reeksen dan in de standaard differentiaal- en integraalrekening.

Differentiaalquotiënt en afgeleide functie

Omdat er oneindig kleine omega-getallen bestaan, kunnen we het differentiaalquotiënt voor functies van de omega-getallen naar de omega-getallen ook werkelijk als een quotiënt definiëren.

Meer van dat moois

Hier breekt de uitleg van de eigenlijke omega-analyse af, om verder te kunnen gaan met de 0,999... kwestie.

Jeugdherinnering

Citaat van een jeugdherinnering van Detlef Laugwitz waarin hij de kwestie van de gelijkheid of ongelijkheid van 0,999... en 1 aanroert.

Parareële getallen

Hier geven we een definitie van de parareële getallen. Door decimale uitdrukkingen zoals 1 en 0,999... een bijzondere interpretatie als omega-getallen te geven, verkrijgen we daarvoor 1 > 0,999... . Er kan ook nog mee gerekend worden omdat met de omega-getallen gerekend kan worden.

Bewijs dat 0,999... = 1 faalt

Het bekendste bewijs dat 0,999... = 1 wordt onder de loep genomen, om te zien of dat voor de parareële getallen ook op gaat. Het blijkt dat voor de parareële getallen op die manier niet kan worden bewezen dat 0,999... = 1.

Geen gesloten systeem

Het blijkt dat de som en het product van twee parareële getallen wel altijd omega-getallen zijn, maar niet altijd parareële getallen. Wat lastig is met rekenen.

Een decimale schrijfwijze voor d*

We zoeken een uitbreiding van de bekende decimale schrijfwijze om in ieder geval het verschil tussen 1 en 0,999... (als parareële getallen) te kunnen noteren.

Op zoek naar een algemener voorstelling

Vervolgens vinden we voor nog veel meer omega-getallen uitgebreide decimale schrijfwijzen.

Omega-decimale ontwikkeling

Een algemene (op alle omega-getallen toepasbare) decimale schrijfwijze heeft wat meer voeten in de aarde. Deze zogeheten omega-decimale ontwikkeling wordt hier uiteengezet.

Voorbeelden

De eerder gevonden resultaten met de uitgebreide decimale schrijfwijze blijken eenvoudig uit de omega-decimale ontwikkeling van de betreffende omega-getallen terug te vinden.

Escultura's new real numbers en de parareële getallen

Een korte uitweiding over de ideeën van Edgar E. Escultura.



Varianten

Hoe het ook had gekund.

Conclusie

Spreekt voor zich.

Vriendelijke groeten,

Bartjes

[PeterPan]

Het is positief dat je het een bijdrage noemt aan de recreatieve wiskunde.

Veel heb je niet aan die theorie. Men heeft er geen enkele interessante stelling mee kunnen bewijzen.

Dat 0,999... een andere schrijfwijze is voor 1 is vanzelfsprekend. Dat je een systeem kunt bedenken waarbij we een verschil tussen die 2 getallen kunnen bewerkstelligen door andere definities te gebruiken verbaast me in het geheel niet.

Dat lukt mij ook met divergente rijen.

Zo is

\(1+2+4+8+\cdots\)

divergent, maar door andere definities voor limiet te hanteren kan ik concluderen dat

\(1+2+4+8+\cdots = -1\)

.

De divergente-rijen theorie is van practische waarde, wat niet gezegd kan worden van de omega analyse, tenzij je de recreatieve waarde ervan als practisch beschouwt.

Niettemin is het aardig om er kennis van te nemen. Ik vraag me af in hoeverre de omega analyse overeenkomt met de theorie van de surreële getallen. Zie het boekje (niet eenvoudig) van J.H.Conway, On Numbers and Games. Dat gaat verder dan surreële getallen. Daarin is een game een uitbreiding van het begrip getal, en sommige games zijn echte getallen.

game = spel (zoals schaken).

[Bartjes]

Dank voor je reactie.

Het is positief dat je het een bijdrage noemt aan de recreatieve wiskunde.

De toepassing van de omega-analyse op de 0,999...-kwestie beschouw ik als recreatieve wiskunde. Dat klopt.

Veel heb je niet aan die theorie. Men heeft er geen enkele interessante stelling mee kunnen bewijzen.

Dat 0,999... een andere schrijfwijze is voor 1 is vanzelfsprekend. Dat je een systeem kunt bedenken waarbij we een verschil tussen die 2 getallen kunnen bewerkstelligen door andere definities te gebruiken verbaast me in het geheel niet.

Dat lukt mij ook met divergente rijen.

Zo is

\(1+2+4+8+\cdots\)

divergent, maar door andere definities voor limiet te hanteren kan ik concluderen dat

\(1+2+4+8+\cdots = -1\)

.

De divergente-rijen theorie is van practische waarde, wat niet gezegd kan worden van de omega analyse, tenzij je de recreatieve waarde ervan als practisch beschouwt.

De omega-analyse zelf heeft wel degelijk praktisch nut. Je kunt met gebruikmaking van oneindig grote en oneindig kleine omega-getallen integraal- en differentiaalrekening beoefenen. En je kan er bijvoorbeeld gegeneraliseerde functies mee maken. Zie hier:

- Laugwitz, D. (1961). Anwendungen unendlich kleiner Zahlen. I. Zur Theorie der Distributionen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 207, pp. 53-60. ( http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=252653 )

- Laugwitz, D. (1961). Anwendungen unendlich kleiner Zahlen. II. Ein Zugang zur Operatorenrechnung von Mikusiński. Journal für die reine und angewandte Mathematik 208. pp. 22-34. ( http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=261686 )

- Laugwitz, D. (1973). Ein Weg zur Nonstandard-Analysis. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 75 pp. 66-93. ( http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=248163 )

- Laugwitz, D. (1982). Bolzano’s infinitesimal numbers. ( http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz...2-1982-4_17.pdf )

- Laugwitz, D. (1984). Rise, Fall and Resurrection of Infinitesimals. Tekst Nr. 88. ( http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/pdf/88.pdf ).

- Laugwitz, D. (1987). Hidden Lemmas in the Early History of Infinite Series. ( http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=171388 )

- Schmieden, C. & Laugwitz, D. (1958). Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung Mathematische Zeitschrift 69, pp. 1-39. ( http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=159786 )

- Vollrath, H.-J. (1968). Grundgedanken der Omega-Analysis und ihrer Anwendung auf die Bestimmung reeller Grenzwerte. Mathematisch Physikalische Semesterberichte 15, pp. 102-111. ( http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzbu.../papers/005.pdf )

Zie verder stukje van Laugwitz in: http://books.google.nl/books?id=la9AnQaldL...g+the+antipodes

Niettemin is het aardig om er kennis van te nemen. Ik vraag me af in hoeverre de omega analyse overeenkomt met de theorie van de surreële getallen. Zie het boekje (niet eenvoudig) van J.H.Conway, On Numbers and Games. Dat gaat verder dan surreële getallen. Daarin is een game een uitbreiding van het begrip getal, en sommige games zijn echte getallen.

game = spel (zoals schaken).

De omega-analyse heeft veel meer weg van de niet-standaard analyse, waar het als het ware een eenvoudige voorloper van is. De omega-getallen vormen geen lichaam; daar staat echter tegenover dat je geen schimmige zaken als vrije ultrafilters nodig hebt.

Groeten,

Bartjes

[PeterPan]

De omega-analyse zelf heeft wel degelijk praktisch nut. Je kunt met gebruikmaking van oneindig grote en oneindig kleine omega-getallen integraal- en differentiaalrekening beoefenen. En je kan er bijvoorbeeld gegeneraliseerde functies mee maken. Zie hier:

Dat is weinig overtuigend. Natuurlijk kun je zaken herformuleren, maar iets echt nieuws levert het niet op, al blijven er hardliners die erin blijven geloven.

Praktisch: Welk probleem is ermee opgelost, dat door de gebruikelijke analyse niet opgelost kan worden? ... Spijtig.

[Bartjes]

Dat is weinig overtuigend. Natuurlijk kun je zaken herformuleren, maar iets echt nieuws levert het niet op, al blijven er hardliners die erin blijven geloven.

Praktisch: Welk probleem is ermee opgelost, dat door de gebruikelijke analyse niet opgelost kan worden? ... Spijtig.

Ik heb de indruk dat we langs elkaar heen discussiëren. Oneindig grote en oneindig kleine getallen komen bijvoorbeeld in de gebruikelijke analyse niet voor. Dat legt beperkingen op aan de situaties die met behulp van de gebruikelijke analyse beschreven kunnen worden. Zo lopen we in de waarschijnlijkheidsrekening vast wanneer het erom gaat de kans aan te geven van een oneindig aantal gebeurtenissen als al die gebeurtenissen even waarschijnlijk zijn. Met oneindig grote en oneindig kleine getallen valt daar nog wel aan te rekenen. Zie bijvoorbeeld hier:

http://www.fil.lu.se/hommageawlodek/site/p...entynePeter.pdf

http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=74028

Maar ik moet PeterPan gelijk geven dat de niet-standaard analyse en verwante methoden als de omega-analyse niet tot spectaculaire doorbraken hebben geleid. Dat claim ik ook niet. Het is een interessant gebied van de wiskunde, zoals de gebruikelijke analyse dat ook is. Dat ze qua resultaten grotendeels samenvallen doet daar niets aan af. Dergelijke discussies doen denken aan de zinloze strijd die vroeger woedde tussen de aanhangers van quaternionen en vectoren. Ik laat liever duizend bloemen bloeien.

Bartjes

[Bartjes]

Het is lastig mijn artikel samen te vatten. Anderzijds kan ik mij voorstellen dat mensen willen weten wat ze kunnen verwachten, voordat ze een artikel van tientallen bladzijden gaan bestuderen.

Daarom heel in het kort:

Omega-getallen zijn oneindige rijtjes reële getallen. Omega-getallen a en b laten zich dus schrijven als:

a = (a₀ , a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n , ...) ,

b = (b₀ , b₁ , b₂ , b₃ , ... , b_n , ...) .

De optelling en vermenigvuldiging zijn gedefinieerd als:

a + b = (a₀ + b₀ , a₁ + b₁ , a₂ + b₂ , a₃ + b₃ , ... , a_n + b_n , ...) ,

a . b = ( a₀ . b₀ , a₁ . b₁ , a₂ . b₂ , a₃ . b₃ , ... , a_n . b_n , ...) .

Voor het gemak noteren we een rijtje waarvan alle termen gelijk zijn aan een reëel getal α als α*. We zullen ze omega-kopieën noemen. Met dergelijke rijtjes kunnen we rekenen als waren het de reële getallen zelf.

Zo krijgen we dus een uitbreiding van de reële getallen. Er zitten namelijk ook oneindig grote en oneindig kleine (infinitesimale) omega-getallen bij:

Ω = (0, 1, 2, 3, ... , n, ...) ,

ω = (1, 1, ½, ⅓, ... , 1/n , ...) .

Met behulp van dergelijke omega-getallen kunnen we ook differentiaal- en integraalrekening bedrijven.

Een alternatieve interpretatie van decimale uitdrukkingen geven de parareële getallen. Ik kies ervoor om deze getallen te schrijven als:

«t c_m ... c₃c₂c₁c₀,c_-1c_-2c_-3 ... c_-n ...»,

dus met Franse aanhalingstekens. Zo wordt het ook in de notatie duidelijk dat dit niet de gebruikelijke decimale getallen zijn. Om positieve en negatieve getallen te kunnen onderscheiden kiezen we voor t respectievelijk het teken '+' of het teken '-'. We spreken af uitdrukkingen van de vorm

«t c_m ... c₃c₂c₁c₀,c_-1c_-2c_-3 ... c_-n ...» ,

te beschouwen als aanduiding van het bijbehorende oneindige rijtje reële getallen:

(φ₀ , φ₁ , φ₂ , φ₃ , ... , φ_n , ...) .

Met:

φ₀ = sg(t).(c_m .10^m + ... + c₃ .10³ + c₂ .10² + c₁ .10 + c₀ )

φ₁ = sg(t).(c_m .10^m + ... + c₃ .10³ + c₂ .10² + c₁ .10 + c₀ + c_-1 .10^-1 )

φ₂ = sg(t).(c_m .10^m + ... + c₃ .10³ + c₂ .10² + c₁ .10 + c₀ + c_-1 .10^-1 + c_-2 .10^-2 )

φ₃ = sg(t).(c_m .10^m + ... + c₃ .10³ + c₂ .10² + c₁ .10 + c₀ + c_-1 .10^-1 + c_-2 .10^-2 + c_-3 .10^-3 )

...

φ_n = sg(t).(c_m .10^m + ... + c₃ .10³ + c₂ .10² + c₁ .10 + c₀ + c_-1 .10^-1 + c_-2 .10^-2 + c_-3 .10^-3 + ... + c_-n .10^-n )

...

Hierin is sg(+) = 1 en sg(-) = -1. Verder zijn c_m , ... , c₃ , c₂ , c₁ , c₀ , c_-1 , c_-2 , c_-3 , ... , c_-n , ... de cijfers (te kiezen uit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9). Zodat:

φ₀ = sg(t) . c_m ... c₃c₂c₁c₀

φ₁ = sg(t) . c_m ... c₃c₂c₁c₀,c_-1

φ₂ = sg(t) . c_m ... c₃c₂c₁c₀,c_-1c_-2

φ₃ = sg(t) . c_m ... c₃c₂c₁c₀,c_-1c_-2c_-3

...

φ_n = sg(t) . c_m ... c₃c₂c₁c₀,c_-1c_-2c_-3 ... c_-n

...

Iedere uitdrukking van de vorm «t c_m ... c₃c₂c₁c₀,c_-1c_-2c_-3 ... c_-n ...» duidt dus het daarbij horende rijtje reële getallen aan. Zulke oneindige rijtjes reële getallen zijn per definitie omega-getallen. Met de parareële getallen kan daarom op de reeds voor de omega-getallen aangegeven wijze gerekend worden.

Zo komen we dan tot aannemelijke schrijfwijzen zoals:

d* = +0,000...0...;...0...0001000...0... (met de 1 op positie -Ω) .

En:

«+4,999...9...».«+0,333...3...» = +1,666...6...;...6...6664666...6...;...6...6667000...0... (met de 4 op positie -Ω en de 7 op positie -2Ω) .

Hierin is: d* = «+1,000...0...» - «+0,999...9...»

Met behulp van de omega-decimale ontwikkeling - die niet kort aangeduid kan worden - kunnen dergelijke schrijfwijzen vervolgens onderbouwd worden.

[kee]

Ik sluit me zowat aan bij de opmerkingen die gegeven zijn (heb het doorgenomen tot aan functies/afgeleiden of daaromtrent, dan wat verdergegaan tot wat parareële getallen zijn, want het artikel is echt wel lang).

Ik denk dat wat er staat correct is en goed te volgen (hoewel sommige dingen mss wat korter gezet mochten worden, maar dat is mss beter voor de minder gevorderde wiskundige).

Over de inhoud: het biedt dus niet echt een meerwaarde om op die manier een getallensysteem te definiëren (daar het niet echt inventief is (het doet sterk denken aan de definitie van de reële getallen zelf) en juist datgene laat vallen wat belangrijk is om een goed werkbaar getallensysteem (de reële getallen dus)) te bekomen.

Naar de niet-wiskundige toe denk ik dat het eigenlijk een beetje een verkeerd signaal geeft. Dat 1=0,99... is nogal wiedes als je de definitie van de reële getallen kent en wat voeling hebt met het getallensysteem. Dat niet-wiskundigen het anders denken in eerste instantie kan ik inkomen (en eigenlijk denk ik dat de "bewijsjes" die aantonen dat als je "normaal" rekent 1 toch gelijk moet zijn aan 0,99... toch overtuigend moeten zijn) maar als dit toch niet het geval is lijkt het me beter dat een recreatieve wiskundige de definitie van de reële getallen zou bestuderen in plaats van dit. Die ligt in dezelfde trant qua moeilijkheid dus is zeker ook te doen voor de recreatieve wiskundige en het biedt wel een meerwaarde aan de kijk op de reële getallen.

Wat ik dus weg zou laten is zinnen als "het doel is om een getallensysteem te construeren waarbij

\(1\neq 0,99\ldots\)

" aangezien dat een verkeerde indruk heeft, want waarom zou je dat nu willen of als doel stellen. Het zou eerder een meerwaarde zijn om in de plaats daarvan toepassingen te geven om de invoer van dit getalsysteem te verantwoorden.

[Bartjes]

Mooi dat je de moeite hebt genomen het artikel te bekijken.

Ik sluit me zowat aan bij de opmerkingen die gegeven zijn (heb het doorgenomen tot aan functies/afgeleiden of daaromtrent, dan wat verdergegaan tot wat parareële getallen zijn, want het artikel is echt wel lang).

Ik denk dat wat er staat correct is en goed te volgen (hoewel sommige dingen mss wat korter gezet mochten worden, maar dat is mss beter voor de minder gevorderde wiskundige).

Ik besef dat het lang is. Maar omdat er op het internet bijna niets te vinden is waarbij wat dieper op alternatieve getallensystemen wordt ingegaan waarin 1 > 0,999..., leek het mij toch een zinvolle aanvulling.

Over de inhoud: het biedt dus niet echt een meerwaarde om op die manier een getallensysteem te definiëren (daar het niet echt inventief is (het doet sterk denken aan de definitie van de reële getallen zelf) en juist datgene laat vallen wat belangrijk is om een goed werkbaar getallensysteem (de reële getallen dus)) te bekomen.

Dat klopt. Daarom heb ik het recreatieve wiskunde genoemd (in de zin van aardig om je in te verdiepen, maar zonder veel praktisch nut). Hoewel je in de wiskunde eigenlijk nooit kan zeggen of iets toch niet ineens ergens nuttig voor blijkt...

Naar de niet-wiskundige toe denk ik dat het eigenlijk een beetje een verkeerd signaal geeft. Dat 1=0,99... is nogal wiedes als je de definitie van de reële getallen kent en wat voeling hebt met het getallensysteem. Dat niet-wiskundigen het anders denken in eerste instantie kan ik inkomen (en eigenlijk denk ik dat de "bewijsjes" die aantonen dat als je "normaal" rekent 1 toch gelijk moet zijn aan 0,99... toch overtuigend moeten zijn) maar als dit toch niet het geval is lijkt het me beter dat een recreatieve wiskundige de definitie van de reële getallen zou bestuderen in plaats van dit. Die ligt in dezelfde trant qua moeilijkheid dus is zeker ook te doen voor de recreatieve wiskundige en het biedt wel een meerwaarde aan de kijk op de reële getallen.

Ik zie toch wel enige educatieve waarde, in die zin dat je leerlingen en studenten die stug vasthouden aan 1 > 0,999.... kan laten zien dat zoiets logisch gesproken ook wel uitgewerkt kan worden, maar dat dat tot een ander getallensysteem dan de reële getallen leidt. Vervolgens kan je om praktische redenen toch met de reële getallen blijven werken. Nu krijgen sommige leerlingen de idee dat ze in de maling genomen worden.

Wat ik dus weg zou laten is zinnen als "het doel is om een getallensysteem te construeren waarbij

\(1\neq 0,99\ldots\)

" aangezien dat een verkeerde indruk heeft, want waarom zou je dat nu willen of als doel stellen. Het zou eerder een meerwaarde zijn om in de plaats daarvan toepassingen te geven om de invoer van dit getalsysteem te verantwoorden.

Recreatieve wiskunde heeft geen toepassingen nodig. Door het als recreatieve wiskunde te presenteren, zie ik af van de claim van enig praktisch nut.

Nogmaals dank voor de reactie! (Mijn artikel is voor internet-begrippen inderdaad erg lang.)

[kee]

Ik zie toch wel enige educatieve waarde, in die zin dat je leerlingen en studenten die stug vasthouden aan 1 > 0,999.... kan laten zien dat zoiets logisch gesproken ook wel uitgewerkt kan worden, maar dat dat tot een ander getallensysteem dan de reële getallen leidt. Vervolgens kan je om praktische redenen toch met de reële getallen blijven werken. Nu krijgen sommige leerlingen de idee dat ze in de maling genomen worden.

Toch vind ik het nuttiger om eerste de reële getallen te bestuderen, maar goed daar kan misschien over gediscussieerd worden. Voor mij gaat het om het signaal dat gegeven wordt naar de leerlingen toe, alsof ze dit evengoed in de plaats van de reële getallen kunnen gebruiken en dat de reële getallen niet logisch of normaal zouden zijn of zo (zo komt het althans over). Ik zou het dan eerder enkel aanhalen en de basis geven als je het echt wil doen. Voor degenen die problemen hebben met 1=0,99... vind ik het eigenlijk te hoog gegrepen, die hebben meer aan een bestudering van de reële getallen, voor de gevorderde wiskundigen kan het wel. Het denkbeeld dat in deze uitwerking naar voren zou kunnen komen kan namelijk verkeerd zijn (bij de gevorderde wiskundige is dat gevaar er niet).

Recreatieve wiskunde heeft geen toepassingen nodig. Door het als recreatieve wiskunde te presenteren, zie ik af van de claim van enig praktisch nut.

Misschien niet, maar toch zou ik om bovenstaande reden de vermelde dergelijke zinnen eruit halen of wat afzwakken in formulering.

[Bartjes]

Toch vind ik het nuttiger om eerste de reële getallen te bestuderen, maar goed daar kan misschien over gediscussieerd worden. Voor mij gaat het om het signaal dat gegeven wordt naar de leerlingen toe, alsof ze dit evengoed in de plaats van de reële getallen kunnen gebruiken en dat de reële getallen niet logisch of normaal zouden zijn of zo (zo komt het althans over). Ik zou het dan eerder enkel aanhalen en de basis geven als je het echt wil doen. Voor degenen die problemen hebben met 1=0,99... vind ik het eigenlijk te hoog gegrepen, die hebben meer aan een bestudering van de reële getallen, voor de gevorderde wiskundigen kan het wel. Het denkbeeld dat in deze uitwerking naar voren zou kunnen komen kan namelijk verkeerd zijn (bij de gevorderde wiskundige is dat gevaar er niet).

Misschien niet, maar toch zou ik om bovenstaande reden de vermelde dergelijke zinnen eruit halen of wat afzwakken in formulering.

Een probleem met de hele 0,999... discussie is inderdaad dat veel leerlingen en studenten op het moment dat ze er voor het eerst mee geconfronteerd worden, over onvoldoende wiskundige kennis en ervaring beschikken om te kunnen begrijpen hoe de vork in de steel zit.

Met welke zin(nen) heb je precies problemen? Kan je ze citeren?

[kee]

Een probleem met de hele 0,999... discussie is inderdaad dat veel leerlingen en studenten op het moment dat ze er voor het eerst mee geconfronteerd worden, over onvoldoende wiskundige kennis en ervaring beschikken om te kunnen begrijpen hoe de vork in de steel zit.

Met welke zin(nen) heb je precies problemen? Kan je ze citeren?

De zin die ik al aangehaald heb herinner ik mij van ergens in het artikel (maar ik vind het niet precies terug). Verder eigenlijk dingen als de conclusie, die ik niet deel, de 'jeugdherinnering' en zo, de 'intuïtie dat 0,99... niet gelijk is aan 1' wat gewoon een foute intuïtie is (die ik overigens niet ken want nooit gehad heb, dat geldt dus zeker niet voor iedereen). Je zegt "deze intuïtie mag niet als onzin van de hand gedaan worden". Wel, eigenlijk heeft men deze intuïtie gewoon omdat men denkt aan natuurlijke getallen waar 99999<100000 en zo, maar dit is gewoon fout bij het geval 0,99...<1. Dat je toch iets kan maken op deze manier verrast me totaal niet en dat het geen toepassingen heeft en onbruikbaar is ook niet.

Het is een beetje vreemd om over de 'discussie' 0,99...=1 te spreken, ik zie niet in wat daarover te discussiëren valt. Het is gewoon een andere schrijfwijze voor hetzelfde reële getal.

Verder dat ook bij het begin van parareële getallen wordt gesproken over een 'alternatief' en onderscheid maken via de Franse aanhalingstekens hoewel de reële getallen gewoon de reële getallen zijn en er geen alternatief voor is. Nu lijkt het alsof omegagetallen een volwaardig alternatief zijn terwijl het gewoon iets doet dat je honderdeneen keer kan doen; bekende bewerkingen herhalen en kopiêren, maar natuurlijk heb je dan geen veld meer. Zoals je zelf uiteindelijk bevindt zijn enkel de reële getallen een veld, de omegagetallen niet. Als ik dit artikel al zou schrijven zou ik dan ook eerder benadrukken dat het duidelijk maakt dat om een goed werkbaar getallensysteem te hebben "1 moet gelijk zijn aan 0,99...", hoewel ik het dan eerder over een 'andere schrijfwijze voor hetzelfde zou hebben'. Dit is nog een foute aanname omdat bij natuurlijke getallen er wel een 1-1 verband is tussen decimale schrijfwijze en de verzameling natuurlijke getallen (nou ja leidende nullen en zo daargelaten, het hangt ervan af hoe je dat ziet).

PS: Ik denk dat dit mijn laatste post is voor een tijdje, ik ga het te druk hebben vanaf nu.

[Bartjes]

Onze standpunten zijn zo wel ongeveer duidelijk.

Dat er wel degelijk sprake is van (hoog oplopende) discussies, kan je nagaan door bijvoorbeeld met google wat te zoeken.

Verder wens ik je succes met je toekomstige bezigheden.

[virtlink]

de 'intuïtie dat 0,99... niet gelijk is aan 1' wat gewoon een foute intuïtie is (die ik overigens niet ken want nooit gehad heb, dat geldt dus zeker niet voor iedereen).

Het is een beetje vreemd om over de 'discussie' 0,99...=1 te spreken, ik zie niet in wat daarover te discussiëren valt. Het is gewoon een andere schrijfwijze voor hetzelfde reële getal.

0,999... is alleen maar een schrijfwijze, een aanname. Je kan het niet bewijzen. Het valt in dezelfde categorie als

\(2\cdot\infty=\infty\)

. Want

\(2\cdot a\neq a\)

bij

\(a \neq 0\)

. Om weer op 0,999... terug te komen:

\(10\cdot a - 9\neq a\)

bij

\(a \neq 1\)

, behalve natuurlijk wanneer we het hebben over het 'magische' getal 0,999...

\(\sum_{i=0}^n 0,9 \cdot 10^{-n}\)

Met inductie:

1) Voor

\(n=0\)

geldt mijn voorwaarde P:

\($\sum_{i=0}^0 0,9 \cdot 10^{-0} = 0,9 < 1$\)

.

2) Neem aan dat de formule

\($\sum_{i=0}^n 0,9 \cdot 10^{-n}$\)

voor een willekeurige

\(n\)

ook voldoet aan voorwaarde P, dus

\($\sum_{i=0}^n 0,9 \cdot 10^{-n} < 1$\)

.

3) Ten slotte voldoet

\($\sum_{i=0}^{n + 1} 0,9 \cdot 10^{-(n + 1)}$\)

ook aan de voorwaarde P, omdat het gelijk is aan

\($\sum_{i=0}^n 0,9 \cdot 10^{-n} + 0,9 \cdot 10^{-(n + 1)}$\)

. Het deel

\(0,9 \cdot 10^{-(n + 1)\)

is kleiner dan 1 en kleiner dan

\($1 - \sum_{i=0}^n 0,9 \cdot 10^{-n}$\)

, dus samen is het nog steeds kleiner dan 1.

Hieruit kan ik concluderen dat voor elke

\(n\)

\(\sum_{i=0}^n 0,9 \cdot 10^{-n}\)

kleiner is dan 1.