E^(-x²)

[Paul0o]

\( \int e^{-x²} dx \)

De oplossing hiervan bestaat niet? Met grenzen van

\( -\infty \)

en

\( \infty \)

komt er echter wel

\( \sqrt{\pi} \)

uit. Hoe komen ze aan deze oplossing?

[Drieske]

Ik zou de (klassieke) afleiding hiervan, helemaal kunnen uitwerken/uitleggen hier, mar volgens heb je, in dit geval, minstens evenveel aan Youtube .

[WernerP]

\( \int e^{-x^2} dx \)

De oplossing hiervan bestaat niet? Met grenzen van

\( -\infty \)

en

\( \infty \)

komt er echter wel

\( \sqrt{\pi} \)

uit. Hoe komen ze aan deze oplossing?

Denk in twee dimensies. We berekenen niet I maar I^2:

\( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \)

en we maken er een dubbelintegraal van:

\( \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2-y^2} dx dy \)

Omzetting naar poolcoördinaten, waarbij je de determinant van de Jabobiaan nodig hebt, geeft je

\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2}r dr d\theta \)

en nu kan je wellicht verder. Het antwoord moet dan de vierkantswortel van deze integraal zijn.

[Paul0o]

Bedankt voor het filmpje drieske! Erg duidelijk filmpje! Ook erg handig bij andere onderwerpen, die MIT filmpjes Het is bij nader inzien helemaal niet zo'n moeilijk probleem, maar dat is meestal als je de oplossing hebt gezien

edit: WernerP natuurlijk ook bedankt, maar het is me nu al helemaal duidelijk

[TD]

Zie ook hier voor verdere uitleg.

[Math-E-Mad-X]

@WernerP:

Wow! mooi bewijs! Nooit geweten dat het zo simpel was.