Afgeleide functie

[JWvdVeer]

Wat jij dus eigenlijk doet is dit:

\([(\ln{x})^{-1}]' \rightarrow [u^{-1}]', u = \ln{x}\)

\([u^{-1}]' = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}\)

\([u]' \cdot -\frac{1}{u^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln^2 x} = \frac{1}{x \ln^2 x}\)

[TD]

Je kan dat zo uitgebreid of zo kort schrijven als je wil - maar dat is (ook) wat ik deed, ja.

Ik zou de quotiëntregel ook niet gebruiken voor pakweg 1/x² of (x³+x)/(2x²) en ik vind het didactisch goed om erop te wijzen dat het niet is omdat iets er als een breuk uitziet, dat je het niet anders (eenvoudiger) kan schrijven.

[JWvdVeer]

Ja, nu je het zegt. Die kettingregel begint met steeds meer aan te spreken. Ondanks dat ik al een paar jaar examen heb gedaan en geneeskundige ben, leer ik toch nog steeds wat bij ](*,) .

[TD]

De kettingregel is iets dat studenten (doorgaans) eerst moeilijk vinden om goed onder de knie te krijgen. Als je dat echter een keer goed doorhebt, is het vaak een veel eenvoudigere methode dan de eerder 'vervelende' quotiëntregel.

Maar het is een kwestie van 'smaak' natuurlijk; velen vinden het wellicht 'gemakkelijker' om gewoon altijd de quotiëntregel toe te passen. Minder nadenken, maar wel meer rekenwerk. Met wat inzicht, kan het vaak eenvoudiger (en zo is het wel vaker in de wiskunde ](*,) ).

[Nectar]

Bedankt voor jullie reacties, maar ik snap het nog steeds niet..

Ik hoor voor de afgeleide van f(x) = 1 / ( 1 + (1/lnx) )

het volgende antwoord krijgen:

f'(x) = - (1+(1/lnx))^-2 . -1 . (lnx)^-2 . 1/x

(De puntjes stellen het maalteken voor)

[TD]

In stukjes, bepaal alvast de afgeleide van:

- 1/x

- ln(x)

- 1/ln(x)

Lukt dat? Ken (en begrijp) je de kettingregel?

[Nectar]

De afgeleide van ln(x) = 1/x

De afgeleide van 1/x = -x^-2

En voor de afgeleide van 1/ln(x) krijg ik -ln(x)^-2 . 1/x

[TD]

En voor de afgeleide van 1/ln(x) krijg ik -ln(x)^-2 . 1/x

Oké, dit laatste stond hierboven ook al uitgewerkt - maar begrijp je waarom dat zo is?

Dan lukt de afgeleide van 1+1/ln(x) normaal gezien ook al.

[Safe]

Bedankt voor jullie reacties, maar ik snap het nog steeds niet..

Ik hoor voor de afgeleide van f(x) = 1 / ( 1 + (1/lnx) )

het volgende antwoord krijgen:

f'(x) = - (1+(1/lnx))^-2 . -1 . (lnx)^-2 . 1/x

(De puntjes stellen het maalteken voor)

Kan je de ketting van deze functie noteren?

f:x->ln(x)->1/ln(x)->...->...

Ken je de afgeleide (naar x) van 1/x uit het hoofd?

Misschien helpt dit. Neem een (gewone) RM (geen GRM of een RM waarbij je de gehele functie kan invoeren), hoe bereken je f(2) door gebruik te maken van de antwoordtoets.

[Xenion]

Lol Safe, ik vind je notatie van die 'kettingen' eerlijk gezegd zelf nogal verwarrend. Ik weet niet hoe de TS het ervaart, maar ik zou precies eerder de methode uitleggen in plaats van echt 'kettingen' te gaan definiëren.

Als

\(f(x) = g(h(x))\)

Dan is de afgeleide

\(f'(x) = g'(h(x))*h'(x)\)

Dat ziet er nogal heel theoretisch uit, maar als je eenmaal doorhebt wàt daar staat zou het toch duidelijk moeten worden. Na een paar voorbeelden zie je de systematiek er toch van?

[Nectar]

Ik kom er nog steeds niet uit, want als ik nadat ik de afgeleide van 1/ln x berekend heb, de quotientregel gebruik, kom ik niet op het juiste antwoord, want ik kom dan uit bij ( lnx^-2 . (1/x) ) / ( 1 + (1/lnx) ) ^2

[TD]

Je mag de quotiëntregel gebruiken, maar je hebt die niet nodig. Toon je uitwerking eens.

[Nectar]

Ik doe:

(1+(1/lnx)) . 0 - 1 . ( 0 + -lnx^-2 . (1/x) )

______________________________________

(1+(1/lnx))^2

[TD]

Dat is nog juist (ook al zou ik de quotiëntregel niet aanraden), je kan wel nog vereenvoudigen.

[Nectar]

Nee klopt, want de uitkomst die ik nu krijg is niet zo handig voor het vervolg van de vraag omdat ik een raaklijn op moet stellen..

Maar kan je dan misschien jouw uitwerking laten van de kettingregel zodat ik wel op de uitkomst (notatie) uitkom als in het antwoord?