Richtingscoëfficient vlak

[Adi]

Ik zit vast aan de volgende opgave:

Using the implicit formula, find dy/dx where

\(z=x^2+2xy+4y^2=4\)

(the curve is an ellips). Find where the maximum and minimum values occur on the ellips.

dy/dx vinden is nog geen probleem, namelijk:

\(\frac{dy}{dx} = - \frac{\partial z}{\partial x} / \frac{\partial z}{\partial y}\)

Waarbij dy/dx dus wordt:

\(-\frac{2x+2y}{2x+8y}\)

Alleen komt nu mijn vraag: hoe bepaal ik de lijn met minima en maxima?

Voor iemand die de beschikking heeft over mathematica, dit is wat ik geprobeerd heb om het te visualiseren, echter kom ik er niet uit.

Code: Selecteer alles

FunctionPlot = x^2 + 2 x*y + 4 y^2 - 4;

PlotrangeX = 1;

PlotrangeY = 1;

PlotrangeZ = 3;

Plotcontours = 10;

Plot3D[FunctionPlot, {x, -PlotrangeX , PlotrangeX }, {y, -PlotrangeY, 

  PlotrangeY}, AxesLabel -> Automatic ]

ContourPlot[FunctionPlot, {x, -PlotrangeX , 

  PlotrangeX }, {y, -PlotrangeY, PlotrangeY}, AxesLabel -> Automatic, 

 Contours -> Plotcontours]

Der = -(D[FunctionPlot, {x, 1}]/D[FunctionPlot, {y, 1}]);

Show[Plot3D[

  Der, {x, -PlotrangeX , PlotrangeX }, {y, -PlotrangeY, PlotrangeY}, 

  AxesLabel -> Automatic , PlotStyle -> Green], 

 Plot3D[0, {x, -PlotrangeX , PlotrangeX }, {y, -PlotrangeY, 

   PlotrangeY}, PlotStyle -> {Red, Opacity[0.5]}]]

Voor de duidelijkheid, ik gebruik mathematica niet om het probleem op te lossen, meer zodat ik een idee heb kwa visualisatie.

[mathfreak]

Wat geldt er voor x en y als

\(\frac{dy}{dx}=0\)

?

[Adi]

dy/dx Geeft de helling van het vlak, wanneer deze nul is, is het vlak dus "recht". Nu moet ik dus juist weten waar de helling maximaal / minimaal is.

[Adi]

Uit mijn boek:

The slope at any point P on the curve f(x,y) is equal to:

\(-\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)_P / \biggl(\frac{\partial z}{\partial y}\biggr)_P\)

Met andere woorden, als dx/dy = 0 dan is er geen helling en hebben we een lokaal min of max. Echter heb ik een 3dplot van mijn slope, een 3dplot van dx/dy en door die laatste een vlak getekend met z=0. Echter komt de lijn waarbij dx/dy = 0 niet overeen met de minimale waarden in de 3dplot van f(x,y).

[TD]

Waarbij dy/dx dus wordt:

\(-\frac{2x+2y}{2x+8y}\)

Alleen komt nu mijn vraag: hoe bepaal ik de lijn met minima en maxima?

Dus dy/dx = 0 als -(2x+2y)/(2x+8y) = 0, dus als (...) y = -x.

Opmerking: een lijn (rechte) heeft een rico, een vlak niet...!

[Emveedee]

Opmerking: een lijn (rechte) heeft een rico, een vlak niet...!

Waarom niet? Je kan van een bepaald vlak toch best iets zeggen over de 'richting' van het vlak in een punt?

[TD]

Nee, een vlak heeft immers twee (onafhankelijke) richtingen ("richtingsvectoren"); er is dus niet zoiets als "een richtingscoëfficiënt" voor een vlak, zoals dat er is voor een rechte/lijn.

[Emveedee]

Zou je niet kunnen zeggen dat

\(rc=\frac{\delta f}{\delta x}\vec{e_x}+\frac{\delta f}{\delta y}\vec{e_y}\)

.

Het antwoord zal wel nee zijn, dus waarom niet? :eusa_whistle:

[TD]

Je mag natuurlijk definiëren wat je wil (je bedoelt denk ik wel ∂ i.p.v. δ) maar wat gangbaar is als "rico", is een getal - dit is dus alvast geen uitbreiding van het bestaande begrip (voor een rechte/lijn). Jij maakt er hier een vector van en wat je definieert, bestaat eigenlijk al: de gradiënt van een functie :eusa_whistle:

[Emveedee]

Natuurlijk.. tijd om naar bed te gaan :eusa_whistle:

[Adi]

Tja, ik denk dat ik er gewoon te lang naar kijk, maar ik zag het gewoonweg niet. y = -x, inderdaad. Als ik deze plot raakt ie mijn curve mooi in het minimum. Toch zie ik de logica hier nog niet in, ben er toch al een dikke dag mee bezig.

Het kan toch niet zo zijn dat voor elke functie geldt dat dy/dx = -x/y?

In het begin leek het me nog vrij eenvoudig, dit onderwerp, echter ben ik echt helemaal op het verkeerde spoor.

[TD]

Natuurlijk niet voor elke functie... Dit resultaat is ook afkomstig van deze functie. Je weet nu dat de extrema liggen op de lijn y = -x, samen met de vergelijking van de ellips zelf kan je dan de extrema vinden (twee vergelijkingen, twee onbekenden).

[Safe]

Kijk ook eens naar de functie iets herschreven:

(x+y)²+3y²=4