[natuurkunde] Oneindig repeterende integraal

[MacHans]

Hallo,

Ik ben bezig met een opdracht over een getijdencetrale. De centrale wekt stroom op door water door waterturbines een reservoir in te laten stromen. Het hoogteverschil tussen eb en vloed buiten het reservoir is 4,5 meter. De hoogte van het water is bij benadering een cosinusfunctie:

\( h_z = f(t) = \frac{9}{4}\ cos(\frac{1}{6} \pi t) + \frac{9}{4}\)

De wet van Torricelli zegt dat de snelheid van een vloeistof dat onderuit een reservoir stroom gelijk is aan:

\(v = \sqrt{2g\Delta h}\)

Waarin

\(\Delta h\)

het hoogteverschil tussen het vloeistofoppervlak en de opening is.

Als het reservoir leeg is (waardoor de hoogte van het water buiten het reservoir, het hoogteverschil is), geldt dus:

\(v = \sqrt{2g(\frac{9}{4}\ cos(\frac{1}{6} \pi t) + \frac{9}{4})} = \sqrt{g(\frac{9}{2}\cos(\frac{1}{6} \pi t) + \frac{9}{2})} \)

Als de opening oppervlak

\(A_o\)

heeft, is het volume dat per tijdseenheid door de opening stroom gelijk aan:

\(Q = A_o \cdot v\)

Als deze Q constant zou zijn, zou de hoogte

\(h_r\)

binnen het reservoir toenemen met:

\(h_r = \frac{t \cdot Q}{A_r}\)

Waarin

\(A_r\)

het oppervlak van het grondvlak van het reservoir is.

Nu ontstaat er een ingewikkelde vergelijking; De hoogte buiten het reservoir is niet constant, maar wel is bekend hoe deze veranderd in de tijd.

De hoogte van het water in het reservoir zal toenemen als het waterniveau buiten het reservoir hoger is dan erbinnen.

Volgens de wet van Torricelli is de hoeveelheid vloeistof die per seconde het reservoir binnenstroomt enkel afhankelijk van

\(\Delta h\)

. Ook is bekend dat

\(\Delta h\)

gelijk is aan:

\(\Delta h = h_z - h_r\)

Voor de duidelijkheid:

\( h_z = f(t) = \frac{9}{4}\ cos(\frac{1}{6} \pi t) + \frac{9}{4}\)

En

\(h_r\)

moet gelijk zijn aan het totale volume water dat na tijd t naar binnen is gestroomt, gedeeld door het grondoppervlak van het reservoir:

\(h_r = \frac{\int_0^t Q dx}{A_r}\)

Als we

\(\Delta h\)

nu invullen in de wet van Torricelli krijgen we:

\(v = \sqrt{2g\Delta h} = \sqrt{2g(\frac{9}{4}\ cos(\frac{1}{6} \pi t) + \frac{9}{4} - \frac{\int_0^t Q dx}{A_r})}\)

[1]

Hier komt het probleem:

\(h_r = \frac{t \cdot Q}{A_r}\)

\(Q = A_o \cdot v\)

\(v = \sqrt{2g\Delta h}\)

Daardoor zijn er oneindig veel integralen nodig om [1] uit te schrijven:

wtf2 301 keer bekeken

Steeds komt in de integraal een nieuwe integraal voor :eusa_whistle:

Weet iemand hoe dit kan worden opgelost? Is er een manier om deze vergelijking te schrijven zonder deze reeks integralen?

*** Ik zie net dat ik geen [natuurkunde] voor de titel heb geplaats, maar dat kan ik nu niet meer corrigeren, sorry daarvoor.

[yoralin]

Is er een manier om deze vergelijking te schrijven zonder deze reeks integralen?

Op eventuele rekenfouten na : kwadrateer jouw vgl. [1] en leid af, dan ben je de integraal kwijt :

2.v(t).v'(t) = - (3 pi / 4) * sin(pi t / 6) - (2g A₀/A_r) v(t).

M.a.w. : v(t) is een opl. van een diff.vgl. van de vorm 2.v(t).v'(t) + A.v(t) = B.sin(C.t),

maar dan geraak ik ook niet verder...

[thermo1945]

Kun je hier iets mee?

√(12+√(12+√(12+√(12+...)))) = x = √(12+x).

Dan is x = 4.

(x = -3 voldoet niet, onder andere, omdat x > √12.)