[wiskunde] differentiaalvergelijkingen

[Prim]

Los op:

\(\frac{dy}{dt}=\frac{6}{y}\)

met

\(y(0)=1\)

maar hoe?

In mijn boek staat vlak boven deze opdracht een kort uitlegje over differentiaalvergelijkingen oplossen met primitiveren, dus ik heb het voorbeeld ernaast gevolgd en eerst de functie omgeschreven:

\(y*dy = 6*dt\)

En toen geprimitiveerd zoals dat volgens het voorbeeld goed zou moeten zijn:

\(y^2 = 6t+a\)

dan

\(y(0)=1\)

gebruiken om a te berekenen.

\(1 = 6*0 + a \rightarrow a=1\)

Kom ik dus op:

\(y^2 = 6t+1\)

Helaas is het antwoordenboekje het daar niet mee eens. Daar staat in dat die 6 een 12 moet zijn, maar waarom?

[TD]

\(y*dy = 6*dt\)

En toen geprimitiveerd zoals dat volgens het voorbeeld goed zou moeten zijn:

\(y^2 = 6t+a\)

Wat is de primitieve van y? Of wat is de afgeleide van y²?

[Prim]

Primitieve van y is

\(\frac{1}{2}y^2\)

Afgeleide van y is 1

En nu erover nadenkend snap ik hem ik ben een halfje vergeten

Nou ja... weer wat van geleerd dan... zal er op mijn examen zeker aan denken mijn berekeningen en antwoorden zorgvuldig te controleren..

Bedankt voor het snelle antwoord

[TD]

Klopt, kom je er dan aan uit?

Je kan je primitieve altijd eenvoudig controleren door weer af te leiden.

De afgeleide van y² is 2y, terwijl je de primtieve zocht van y. Zie je?

[Prim]

ja

[TD]

Prima, als je wil kan je nog eens oefenen:

\(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} = -\frac{6t}{y^2}\)

Met beginvoorwaarde y(0) = 2. Lukt dat?

[Prim]

Ik geloof het wel:

\(y^2 * dt = -6t * dt\)

Primitieven:

\(\frac{1}{3}y^3 = -3t^2 + a\)

oftewel:

\(y^3 = -9t^2 + a\)

a berekenen:

\(y(0) = 2 = -9 * 0^2 + a\)

dus

\(a = 2\)

dus de oplossing is:

\(y^3 = -9t^2 + 2\)

[TD]

Klopt, prima!

Een heel klein detail over de uitwerking, omdat je docent daar misschien over zou struikelen. Waarschijnlijk niet, maar dan weet je toch hoe het zit (ik vergeet het trouwens zelf vaak, of ik doe het uit luidheid niet!)...

Als je bij y³/3 beide leden met drie vermenigvuldigt, dan wordt a ook 3a. Omdat het toch maar een constante is die nog bepaald moet worden, kan je 3a ook als een constante zien, dat heb je ook gedaan. Maar: dan moet je het eigenlijk ook een nieuwe naam geven (b, of a' ofzo) want het "klopt" niet als je a laat staan na vermenigvuldiging met 3, snap je?

[Prim]

Ja, maar ik denk niet dat mijn docent er mee zou zitten. Misschien de tweede corrector, dus ik zal er op letten. Bedankt voor de hulp

[TD]

Het is ook maar een pietluttig detail hoor, de uitwerking was verder prima

[Mendelevium]

Het is ook maar een pietluttig detail hoor, de uitwerking was verder prima

De kans dat ze erover zouden vallen is inderdaad klein, bij ons wees de prof er zelfs op dat we niet moesten afkomen met c₁, c₂, c₃, ...; constanten zijn constanten volgens hem. In de oefenzittingen wees de assistent er nogmaals op.

Maar zuiver wiskundig gezien is het eigenlijk niet correct, maar ja je mag ook niet vloeken hé

[TD]

Ze zouden dus een probleem hebben met het feit dat je je constanten hernoemt als ze veranderen? Dat is helemaal vreemd...

[Mendelevium]

Ze zouden dus een probleem hebben met het feit dat je je constanten hernoemt als ze veranderen? Dat is helemaal vreemd...

Ze zouden er niet echt een probleem mee hebben, maar tijdens de hoorcolleges was hij bezig met uitwerken en plots deed hij alles x2 maar liet de c staan; dan merkte hij op dat hij dat altijd doet en dat tijdens de hoorcolleges niemand de opmerking moet maken: "Moet dat geen 2c zijn?", want het blijft toch hetzelfde. Ook op het examen, je mag het doen maar als je het niet doet zal hij er niets van zeggen, hij zal het waarschijnlijk toch niet merken.