Onafhankelijkheid stelsel aantonen

[AAP33]

Ik mis even het inzicht voor onderdeel (i) van het volgende vraagstuk, iemand die me even de goede weg op kan helpen?

Mochten er overigens fouten in mijn (ii) en (iii) staan dan hoor ik dat ook graag.

[AAP33]

Niemand? 't Lijkt nochtans een vrij eenvoudige opgave... Al zie ik het zelf ook niet..

[physicalattraction]

Dit zou mijn aanpak zijn, al klopt mijn uitwerking niet.

Je stelt eerst

\(c_3 = \alpha c_1 + \beta c_2\)

en je beschouwt

\(f(c_3)\)

. Deze kun je op twee manieren uitrekenen, namelijk door

\(c_3\)

in te vullen in

\(f\)

of door

\(c_1\)

en

\(c_2\)

in te vullen in

\(f\)

en

\(\alpha f(c_1) + \beta f(c_2)\)

te berekenen. In beide gevallen krijg je dan als antwoord

\(x(\alpha,\beta) c_1 + y(\alpha,\beta) c_2\)

, waarna je zowel de

\(x\)

als de

\(y\)

van beide methoden aan elkaar gelijk stelt. Dit levert twee vergelijkingen op, met twee onbekenden

\(\alpha\)

en

\(\beta\)

. Wanneer de oplossing(en) van dit systeem niet in

\(Q\)

liggen, heb je bewezen dat er geen

\(\alpha\)

en

\(\beta\)

zijn, zodanig dat

\(c_3 = \alpha c_1 + \beta c_2\)

.

Maar nu de uitvoering. Hier ga ik zelf dus ook de mist in.

Enerzijds:

\(f(c_3) = f(2c_1 + c_3) - f(2c_1) = 3c_3 - 2f(c_1) = 3c_3 + 6c_1 - 2c_2 = (3\alpha+6)c_1 + (3\beta-2)c_2\)

Anderzijds:

\(f(c_3) = \alpha f(c_1) + \beta f(c_2) = -3 \alpha c_1 + \alpha c_2 + 4 \beta c_1 - 2 \beta c_2 + 4 \beta c_3 = (-3 \alpha + 4 \beta + 4 \alpha \beta) c_1 + (\alpha -2 \beta + 4 {\beta}^2) c_2\)

Oftewel:

\(3 \alpha + 6 = -3 \alpha + 4 \beta + 4 \alpha \beta\)

\(3 \beta - 2 = \alpha - 2 \beta + 4 {\beta}^2\)

Met als oplossingen:

\((\alpha,\beta) = (-\frac{7}{2},\frac{3}{2})\)

,

\((-1,\frac{1}{4})\)

of

\((-1,1)\)

. Ik zie dus nog geen reden om aan te nemen dat

\(c_1, c_2, c_3\)

onafhankelijk zijn, maar misschien heb ik een rekenfout gemaakt (of misschien klopt mijn aanpak wel gewoon niet).

[EvilBro]

Beetje laat, maar...

Je stelt eerst

\(c_3 = \alpha c_1 + \beta c_2\)

Ik twijfel aan of dit correct is. Een systeem is l.o.s. als geldt:

\(\alpha c_1 + \beta c_2 + \gamma c_3 = 0 \rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 0\)

Door je aanname sluit je volgens mij uit dat \(\gamma\) nul kan zijn...

[physicalattraction]

Hierin heb je gelijk; zoals ik het geformuleerd heb test je inderdaad alleen of

\(c_3\)

onafhankelijk is van

\(c_1\)

en

\(c_2\)

, maar niet of

\(c_1\)

en

\(c_2\)

zelf onafhankelijk zijn van elkaar. Maar feit blijft dat ik een

\(\alpha\)

en

\(\beta\)

gevonden heb zodanig dat ik

\(c_3\)

geschreven heb als een lineaire combinatie van

\(c_1\)

en

\(c_2\)

en de drie dus niet lineair onafhankelijk zijn.

[TD]

Een poging. Vermits f lineair is, geldt f(0) = 0:

\(xc_1 + yc_2 + zc_3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {xc_1 + yc_2 + zc_3 } \right) = f\left( 0 \right) = 0\)

Door de lineariteit:

\(f\left( {xc_1 + yc_2 + zc_3 } \right) = xf\left( {c_1 } \right) + yf\left( {c_2 } \right) + zf\left( {c_3 } \right)\)

Waarbij:

\(2f\left( {c_2 } \right) + f\left( {c_3 } \right) = 3c_3 \Leftrightarrow f\left( {c_3 } \right) = 3c_3 - 2f\left( {c_2 } \right) \Leftrightarrow f\left( {c_3 } \right) = 3c_3 - 8c_1 + 4c_2 \)

Dus:

\(f\left( {xc_1 + yc_2 + zc_3 } \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( { - 3c_1 + c_2 } \right) + y\left( {4c_1 - 2c_2 } \right) + z\left( {3c_3 - 8c_1 + 4c_2 } \right) = 0\)

Nu hergroeperen met de c's buitengebracht:

\(c_1 \left( { - 3x + 7y - 8z} \right) + c_2 \left( {x - 2y + 4z} \right) + c_3 \left( {3z} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 7y - 8z = 0 \\ x - 2y + 4z = 0 \\ 3z = 0 \\ \end{array} \right\)

Levert x = y = z = 0.