Partiële differentiaalvergelijkingen

[eendavid]

Ik zou graag volgende PDE analytisch oplossen:

\(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial f(r,z)}{\partial r})+\frac{\partial^2f(r,z)}{\partial z^2}=0\)

het blijkt dat via

\(f(r,z)=R(r )Z(z)\)

geen oplossingen bestaan die begrensd zijn voor

\(r \in [0,\infty[; z \in ]-\infty,+\infty[\)

(je kan Z begrensd houden, dan is R een aangepaste besselfunctie; je kan R begrens houden, dan is Z een exponentiele functie).

Toen viel mijn euro, dat ik eigenlijk helemaal geen andere manier ken om een PDE op te lossen. Bestaan eigenlijk andere methoden? of ken ik ze gewoon niet doordat ze hopeloos ingewikkeld zijn?

[eendavid]

opmerking: triviale oplossingen te buiten gelaten. f(0,z) moet een vastgelegde functie kunnen zijn; en voor r naar oneindig gaande moet f naar 0 gaan.

[PeterPan]

In de praktijk komt het nauwelijks voor dat dit soort vergelijkingen exact opgelost kunnen worden.

Je kunt eens kijken of een machtreeks in 2 variabelen een oplossing genereren.

Er zijn geloof ik toch wel boeken over, maar waarschijnlijk zitten die onder het stof, want wie raakt er nou een boek over zo'n naar onderwerp aan.

[Bert F]

Hoe heet deze differentiaal vergelijking? type?

[PeterPan]

Ik heb geen idee.

De uitdrukking zegt dat de divergentie 0 is in een 2-dimensionaal vlak.

Waar heb je dat ding vandaan?

[PeterPan]

Het is niet zinvol naar oplossingen van dit soort vergelijkingen te vragen, omdat het er zo veel zijn.

Bijvoorbeeld, de oplossing van de PDV

\(\frac{\partial^2 f(R,z)}{\partial R^2} + \frac{\partial^2 f(R,z)}{\partial z^2} = 0\)

is de verzameling van harmonische functies (ofwel, het reële deel van elke complex differentieerbare functie voldoet eraan).

[Bert F]

ik vroeg dit omdat ik hier toevallig een boekje heb over zo'n oplossingen van partieele dif vergelijkingen.

Ik dacht om te beginnen dat het iets is in de vorm van de golf vergelijking maar dan mmoet daar een min tussen staan en geen plus wat denk ik een groot verschil maakt voor die gaan op te lossen.

Anders wil ik wel eens zoeken naar een of ander recept en je dat bezorgen.

Groeten.

[eendavid]

Komt van laplacevergelijking, met cilindrische symmetrie. Peterpan bedoelt dus waarschijnlijk niet de divergentie maar de laplaciaan van een functie . het is spijtig genoeg plus.

In principe is het probleem goedgedefinieerd, mits de nodige randvoorwaarden worden opgelegd. Deze zijn: f eindig voor

\(r\rightarrow\infty \)

of

\(z\rightarrow\infty\)

. Voor z=0 is f=0. bovendien is

\(f(0,z) = g(z)\)

, met g een voorgeschreven functie (die begrensd blijft). In feite een Neumann-probleem dus. Ik vermoed dat ik aan het programmeren sla, maar als jouw boek mij hierover iets kan bijleren zou ik absoluut niet klagen.

overigens klinkt complex differentieerbaar heel wat minder restrictief dan het is.

[Bert F]

Ik denk niet dat ik u ga kunnen helpen, er staat wel iets van in maar begrijp er zelf niets van om nog maar het juiste te selecteren en dan hier te posten.

Boek: partial differential equations lecture in applied mathematics volume3a geschreven door lipman bers fritz john en martin schechter

[Lensos]

Je zoekt een harmonische functie op heel R^3. De stelling van Liouville zal je dan vertellen dat elke boven en onderbegrensde harmonische functie een constante functie is: http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function

[eendavid]

dit is inderdaad een goed punt. in werkelijkheid is f voorgeschreven op r=R met R 'klein'. ik had er moeten bij stilstaan dat dit relevant is.