[Mechanica] Traagheidsmoment

[Cycloon]

Ik zag dit net in een voorbereiding staan voor een labo fysica:

Zo wordt bv. het theoretische traagheidsmoment van een homogene schijf of cilinder met straal R1 en massa M en met een centrale cirkelvormige opening met straal R2, rondom een as door het centrum en loodrecht op het grondvlak, gegeven door volgende formule:

\( I=\frac{1}{2}M(R^{2}_{1}+R^{2}_{2})\)

Moet in die formule geen - staan? Of mis ik iets?

[Jan van de Velde]

nee, die formule mist een minnetje. je hebt het traagheidsmoment van een dikke massieve cilinder met straal R1, en daar trek je het traagheidsmoment van een dunnere massieve cilinder met straal R2 gewoon af, en dan hou je het traagheidsmoment van je holle cilinder over.

[Cycloon]

Ja dat dacht ik ook al. Maar voor de zekerheid toch eens vragen want je weet nooit natuurlijk [rr]

[Bert]

Ik zag dit net in een voorbereiding staan voor een labo fysica:

Zo wordt bv. het theoretische traagheidsmoment van een homogene schijf of cilinder met straal R1 en massa M en met een centrale cirkelvormige opening met straal R2, rondom een as door het centrum en loodrecht op het grondvlak, gegeven door volgende formule:

\( I=\frac{1}{2}M(R^{2}_{1}+R^{2}_{2})\)

Moet in die formule geen - staan? Of mis ik iets?

De formule is goed. De reden is dat in de massa M stiekum nog een factor

\( R^{2}_{1}-R^{2}_{2}\)

is verstopt:

\( M=\rho\cdot\pi\cdot h\cdot(R^{2}_{1}-R^{2}_{2})\)

. Vul dat in in de gegeven formule en je krijgt keurig netjes dat je de traagheid kan berekenen door de traagheden van twee massieve cilinders van elkaar af te trekken.

[Jan van de Velde]

De formule is goed. De reden is dat in de massa M stiekum nog een factor

\( R^{2}_{1}-R^{2}_{2}\)

is verstopt: . Vul dat in in de gegeven formule en je krijgt keurig netjes dat je de traagheid kan berekenen door de traagheden van twee massieve cilinders van elkaar af te trekken.

Ik ben niet mee.

\( I=\frac{1}{2}M(R^{2}_{1}+R^{2}_{2})\)

(1)

\( M=\rho\cdot\pi\cdot h\cdot(R^{2}_{1}-R^{2}_{2}) \)

(2)

vul 2 in in 1:

\( I=\frac{1}{2}\rho\cdot\pi\cdot h\cdot(R^{2}_{1}-R^{2}_{2})(R^{2}_{1}+R^{2}_{2})\)

\( I=\frac{1}{2}\rho\cdot\pi\cdot h\cdot(R^{4}_{1}-R^{4}_{2})\)

en toen?

[rodeo.be]

Ook wikipedia is akkoord met de formule uit je cursus.

Gebruik de definitie van het traagheidsmoment:

\(\int_V r^2\rho dV\)

(in Maple):

Code: Selecteer alles

> i:=int(rho*(r**2)*(2*Pi*r),r=r_i..r_u);

                       1        /   4      4

                  i := - rho Pi r_u  - r_i /

                       2                     

> m:=int(rho*(2*Pi*r),r=r_i..r_u);

                               /   2      2

                   m := rho Pi r_u  - r_i /

> simplify(i/m,symbolic);

                        1    2   1    2

                        - r_i  + - r_u

                        2        2    

voilà (eigen gewoon wat Jan hierboven zegt, maar die maakt een foute conclusie, traagheidsmomenten mag je wel aftrekken).

[Jan van de Velde]

Nou begint het me te dagen. Ik wilde dus de kleine cilinder van de grote aftrekken

\( I=\frac{1}{2}MR^{2}_{1} - \frac{1}{2}MR^{2}_{2}\)

en dat dus schrijven als:

\( I=\frac{1}{2}M(R^{2}_{1} -R^{2}_{2})\)

waarbij zowel Cycloon als ik dus over het hoofd zien dat we het hier niet over dezelfde M's hebben........

dit zou wél mogen:

\( I=\frac{1}{2}M}_{1}R^{2}_{1} - \frac{1}{2}M_{2}R^{2}_{2}\)

Ik begin helemaal mee te komen....... [rr]

[Cycloon]

Maar de M die jij daar gebruikt staat toch ook voor massa? De formule van een traagheidsmoment is toch

\(\frac{M \cdot R^{2}}{2}\)

waarbij M toch de massa is?

[aadkr]

\(I=\int r^2.dm\)

Stel: Lengte buis=L De binnendiameter =R1 Buitendiameter=R2 en de dichtheid =

\(\rho\)

\(dV=2.\pi.r.L.dr\)

\(dm=\rho.dV=\rho.2.\pi.r.L.dr\)

\(I=\int r^2.dm=\int \rho.2.\pi.L.r^3.dr\)

\(I=\rho.2.\pi.L.\int r^3.dr\)

\(I=\frac{1}{2}.\pi.L.\rho.(R_{2}^4 - R_{1}^4)\)

\(I=\frac{1}{2}.\pi.L.\rho.(R_{2}^2-R_{1}^2).(R_{2}^2+R_{1}^2)\)

\(V=\pi.L.(R_{2}^2-R_{1}^2)\)

\(m=\rho.V=\rho.\pi.L.(R_{2}^2-R_{1}^2)\)

Dit invullen in de formule voor I

\(I=\frac{1}{2}.m.(R_{2}^2+R_{1}^2)\)

[DePurpereWolf]

Maar de M die jij daar gebruikt staat toch ook voor massa? De formule van een traagheidsmoment is toch

\(\frac{M \cdot R^{2}}{2}\)

waarbij M toch de massa is?

Nee, M is de particuliere massa, of de effectieve massa. Zie de eerste post van Bert.

[Jan van de Velde]

Maar de M die jij daar gebruikt staat toch ook voor massa? De formule van een traagheidsmoment is toch

\(\frac{M \cdot R^{2}}{2}\)

waarbij M toch de massa is?

Jawel, maar Cycloon, we hebben in dit sommetje met notabene drie massa's te maken: de massa van de grote massieve cilinder, de massa van de kleine massieve cilinder, en de massa van de holle cilinder die resteert als de de kleine massieve cilinder uit de grote massieve cilinder "uitboort".

[oktagon]

Voor mij is het nieuw dat je massa's gebruikt voor traagheidsmomenten-berekening.

Een traagh.moment of I is een eenheid onafhankelijk van massa en afhankelijk van de doorsnede,waarover je die berekent en uitgedrukt in de lineaire maten (cm,mm) van die doorsnede.

Het traagh.moment van een ronde buis met buiten diameter van D en binnendiameter van d moet naar mijn mening dus zijn :

\(\pi\)

(

\(D^4-d^4\)

)/64

[Jan van de Velde]

als je pijp geen massa heeft, heeft die ook geen traagheid. Dus inderdaad, traagheid is afhankelijk van massa. Vraag is of jij hier voor traagheid niet een of andere definitie gebruikt uit de constructiewereld, die iets heel anders betekent dan de natuurkundige traagheid.

Ik kom wel vaker van die (voor mij als "natuurkundige") vreemde definities tegen uit de werktuigbouwkundige wereld.

[oktagon]

Een traagheidsmoment,waar het hier in de topic over gaat is een wiskundige grootheid zonder natuurkundige betekenis,kun je gebruiken voor allerhande materie.

Waar jullie mee bezig zijn is traagheid en dat is een ander verhaal en heb je te maken met zwaartekrachten en traagheid en dus met massa's (met kilogrammen).

[DePurpereWolf]

Inderdaad, wat oktagon bedoelt is krachts moment (moment of force) en niet traagheidsmoment (moment of inertia)

Het eerste gaat over het doorbuigen van een buis waarbij in de afleiding de buis op kan worden gedeelt in oneindig veel schijfjes. (daarom komt er geen massa en lengte van buis in voor.

Het tweede is traagheidsmoment en heeft te maken met snelheden van massas.

Ik heb die dingen ook al vaak door elkaar gehaald.

Linkie