Grondtal e

[mo]

6) bij complexe getallen,vooral hier.

[PeterPan]

Je kunt met bovenstaande definitie van e aantonen dat,

als je de grafiek van y=1/x spiegelt in de lijn y=x dan ontstaat de grafiek met vergelijking

\(y =^e\log(x)\)

Dit is onzin. Bedoeld is

Je kunt met bovenstaande definitie van e aantonen dat,

de oppervlakte van het blauwe gebied tussen de vertikale lijnen x=1 en x=a is

\(,^e\log(a)\)

[PeterPan]

Het binomium van Newton

\((a+b)^n=a^n+\left(n boven 1\right) a^{(n-1)}b + \left( n boven 2\right) a^{(n-2)} b^2+ ...... +b^n\)

\((a+b)^n=a^n+\frac{n}{1!}a^{(n-1)}b+\frac{n(n-1)}{2!} a^{(n-2)} b^2+.....+ 1 b^n\)

Voor n nadert naar oneindig geldt dan:

\((1+b)^n=1+\frac{n}{1!}b+\frac{n(n-1)}{2!} b^2 + . ....\)

\((1+\frac{1}{n})^n=1+\frac{n}{1!}\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+.....\)

\((1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n} +\frac{1}{3!}\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n}\frac{(n-2)}{n} + .......\)

Als n nadert tot oneindig , dan worden de termen:

\(\frac{n-1}{n} \frac{n-2}{n}\)

enzovoort gelijk aan 1

Dus:

\(Lim_{\nrightarrow  one\indig}(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+.....\)

Dit is aardig om de limiet aannemelijk te maken, echter je kunt niet zomaar term voor term de limiet nemen.

[Bert]

Dat moet gelden dat

\(e=\lim_{\nrightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)

is ook als volgt in te zien:

Neem de functie

\(h_n(x)= \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \)

De afgeleide van deze functie is:

\(h'_n(x)= \frac{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{x}{n}\right)} =\frac{h_n(x)}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}\)

en dat betekent dus dat:

\(h'(x)= \lim_{\nrightarrow \infty}\frac{h_n(x)}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}=h(x)\)

Verder geldt:

\(h(x)=\lim_{\nrightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\lim_{\nrightarrow \infty}\left(\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}\right)^x =\lim_{k\rightarrow \infty}\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)^x=\left(\lim_{k\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)^x \)

Met andere woorden als

\(a=\lim_{\nrightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)

dan geldt dat

\(h(x)=a^x\)

h(x) is dus een exponentiele functie waarvan de afgeleide gelijk is aan zichzelf en dat betekent dat e=a moet zijn.

[aadkr]

Peterpan heeft wel gelijk.

Er zitten wel wat zwakke plekken inde afleiding.

[Bert]

Peterpan heeft wel gelijk.

Er zitten wel wat zwakke plekken inde afleiding.

Dat was in de tijd van Euler heel normaal en zou dat, bij het zoeken naar een bewijs van een vermoeden, eigenlijk nog steeds moeten zijn. Eerst schets je hoe het bewijs ongeveer in elkaar zou moeten zitten en daarna ga je de gaten opvullen. Veel van het formalisme dat we nu heel vanzelfsprekend vinden bijvoorbeeld bewijzen van het bestaan van limieten met de

\(\epsilon-\delta\)

definitie van limieten bestond toen helemaal nog niet.

[PeterPan]

Door schade en schande wijs geworden is men aan het eind van de 19-de eeuw zich gaan bezinnen op de de fundamenten van de wiskunde en het juist formuleren van bewijzen. Intuitieve vanzelfsprekendheden zijn nogal eens in strijd met de werkelijkheid. Zo is de relativiteitstheorie volkomen in strijd met de intuitie. Euler gebruikte zijn intuitie op een correcte wijze. Daartoe zijn slechts heel weinig mensen in staat. Hij gebruikte dingen als 1+2+3+... = -1 en bereikte ermee correcte conclusies. Veel later, toen men de fundamenten voor correct bewijzen had gelegd kon men zijn bewijzen rechtvaardigen, dus ook dat 1+2+3+ ... = -1.

Wat aadkr deed is niet een schets geven hoe een bewijs ongeveer in elkaar moet zitten, en de gaten opvullen is niet mogelijk. Het is geen bewijs.

Hij verwisselt limieten. De ene keer komt er een correct antwoord uit, de andere keer niet. Je kunt dan niet zeggen dat de oplossing correct is als het antwoord correct is. Daarvoor zul je moeten bewijzen dat de uitkomst correct is.

[Brennus]

Tja..

Wie het getal e bedacht heeft, dat zal een zorg zijn..

In het boek "Ketters" van Theun de Vries verwijst hij naar de verklaring van het "rente op rente" verhaal.

Een jaarrente van 100% levert in 1 jaar tijd een factor 2 op.

Een maandrente hakt dat in 12 stukjes die dan weer een factor 2.6 of zo opleveren, als je daar mee doorgaat kom je bij het getal e uit.

Interessant voor bankiers natuurlijk!

De wetenschappelijke beschrijving is dan van later datum. *

Men kende het idee al langer.

*

The compound-interest problem

Jacob Bernoulli discovered this constant by studying a question about compound interest.

Think about an account that starts with $1.00 and pays 100% interest per year. If the interest is credited once, at the end of the year, the value is $2.00; but if the interest is computed and added twice in the year, the $1 is multiplied by 1.5 twice, yielding $1.00×1.52 = $2.25. Compounding quarterly yields $1.00×1.254 = $2.4414…, and compounding monthly yields $1.00×(1.0833…)12 = $2.613035….

Bernoulli noticed that this sequence approaches a limit for more and smaller compounding intervals. Compounding weekly yields $2.692597…, while compounding daily yields $2.714567…, just two cents more. Using n as the number of compounding intervals, with interest of 1/n in each interval, the limit for large n is the number that came to be known as e; with continuous compounding, the account value will reach $2.7182818…. More generally, an account that starts at $1, and yields $(1+R) at simple interest, will yield $ eR with continuous compounding.