[wiskunde] Limieten

[TD]

Omdat:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } e^{ - x} = 0\)

[Brihaspati]

Een positief grondtal verheffen tot een ander getal wordt nooit negatief. Dus het antwoord van mijn docent klopt niet?

Het antwoord moet dus wel zijn:

\(\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{2e^{-n}+2}{e^{-n}-1} = 2\)

(Ik hoop dat ik het wel goed heb. )

[TD]

Nee hoor, je docent had het juist. Vanwege de limiet die ik gaf, gaan die termen met e^x naar 0. Blijft over: (+2)/(-1) = -2.

[Safe]

Een positief grontal verheffen tot een ander getal wordt nooit negatief. Dus het antwoord van mijn docent klopt niet?  

Het antwoord moet dus wel zijn:  

\(\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{2e^{-n}+2}{e^{-n}-1} = 2\)

(Ik hoop dat ik het wel goed heb.   )

Nee!

Bedenk:

\(\lim }\limits_{n \to \infty} e^{-n}}=0\)

dus er komt -2 uit.

[Brihaspati]

Ik zie het.

[Brihaspati]

\(\frac{n^2+1}{n\sqrt{n^2+n}}\)

De limiet hiervan gaat naar oneindig.

[Safe]

\(\frac{n^2+1}{n\sqrt{n^2+n}}\)

De limiet hiervan gaat naar oneindig.

Hoe heb je dit bepaald?

Pak eens je RM en neem voor n=10, 100, 1000, enz.

Dit is geen bewijs maar moet je enig 'gevoel' geven.

[Jekke]

\(\lim }\limits_{n \to + \infty} \frac{n^2+1}{n\sqrt{n^2+n}} = \lim }\limits_{n \to + \infty} \frac{n^2}{n\sqrt{n^2}}\)

als je dit inziet kun je verder

[TD]

Het bovenstaande berust op het feit dat n² de term 1 domineert (teller) en n² de term n domineert (wortel in de noemer).

Zie je die niet, dan kan je ook als volgt herschrijven:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n^2 + 1}}{{n\sqrt {n^2 + n} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n^2 + 1}}{{n\sqrt {n^2 \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n^2 + 1}}{{n^2 \sqrt {1 + \frac{1}{n}} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{n^2 }}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}\)