[wiskunde] Eigenwaarden

[Comm]

Ik heb de volgende Lesliematrix

0,25 0,75 0,25

0,8 0 0

0 0,75 0

Ik heb de volgende eigenwaardenvergelijking gevonden:

-L^3 + 0,25L^2 + 0,6L + 0,15 = 0

Ik zie voor L alleen de oplossing L=1, maar weet dat er meer zijn. Hoe vind ik die?

Deze matrix hoort bij een populatieopbouw. Waarom is er maar 1 reele eigenwaarde?

[Safe]

Ik heb de volgende eigenwaardenvergelijking gevonden:

-L^3 + 0,25L^2 + 0,6L + 0,15 = 0

Ik zie voor L alleen de oplossing L=1, maar weet dat er meer zijn. Hoe vind ik die?

Deze matrix hoort bij een populatieopbouw. Waarom is er maar 1 reele eigenwaarde?

Dit is te schrijven als: (L-1)(aL²+bL+c)=0

a, b en c zijn eenvoudig 'met de hand' te berekenen.

Bv: c=-0,15.

[TD]

Als alternatief voor het vinden van die coëfficiënten a,b,c door inspectie (zoals Safe aanhaalt) kan je ook de regel van Horner gebruiken.

Er is inderdaad maar een reële eigenwaarde, maar waarom zouden er meer moeten zijn?

[Comm]

Bedankt Safe.

Ik nam aan dat er meer oplossingen voor L waren dan alleen L=1.

En van die oplossingen is er maar 1 reëel.

Ik weet niet goed wat ze dan bedoelen met reële eigenwaarde?

[TD]

Een reële eigenwaarde is een eigenwaarde die (een) reëel (getal) is!

Ze kunnen namelijk in het algemeen ook complex zijn.

[Comm]

Juist nou dan had ik reeel even verkeerd begrepen. Ik dacht namelijk dat het een beginsituatie/populatie.

[Comm]

Beredeneer m.b.v. eigenwaarden hoeveel procent van de totale bevolking op de lange duur in elk van de drie leeftijdsgroepen zal zitten. Zucht...

[TD]

Zeker dat je dat bij deze matrix moet doen, je hebt hier maar één reële eigenwaarde. Deze is wel gelijk aan 1 en de complexe waarden zullen een modulus < 1 hebben (en ook het reëel deel zal kleiner dan 1 zijn).

[Comm]

Van een klein land is de leeftijdsopbouw van de bevolking in de jaren 1950 en 1980 weergegeven in de onderstaande tabel (de aantallen zijn afgerond op tientallen; in dit land wordt niemand ouder dan 90 jaar)

jaartal 1950 1980

groep 1 0 - 30 jaar 135160 110060

groep 2 30 - 60 jaar 87240 108120

groep 3 60 - 90 jaar 43370 65430

Totaal 265770 283610

We gaan ervan uit dat de bevolkingsgroei in dit land verloopt volgens een Leslie-model.

De matrix die hierbij hoort is volgens mij:

0,25 0,75 0,25

0,8 0 0

0 0,75 0

De vraag is:

Beredeneer m.b.v. eigenwaarden hoeveel procent van de totale bevolking op de lange duur in elk van de drie leeftijdsgroepen zal zitten.

[TD]

Zelf heb ik nooit populatie- of Leslie matrices gezien, dus ik baseer me bijvoorbeeld op Leslie matrix.

De getallen in je matrix, is dat een gegeven model of haal je die percentages uit de gegevens?

De juistheid van de matrix kan ik op dit moment dus niet controleren...

[Comm]

De juistheid haal ik inderdaad uit de gegevens. Hiermee stel ik die Leslie matrix op. Daarna eigenwaarden bepalen en daarna voorspelling doen over hoe de verdeling van de percentages zullen zijn na een lange tijd. En heb vooral moeite met dit laatste deel. De eigenwaarden gebruiken zodat ik een goede voorspelling kan doen.

[EvilBro]

De juistheid haal ik inderdaad uit de gegevens.

Ik vroeg mij af hoe je de eerste rij bepaald had.

De eigenwaarden gebruiken zodat ik een goede voorspelling kan doen.

Stel dat \(P_{1950}\) de populatie in 1950 is. Op dat moment kun je de populatie op een veelvoud van 30 jaar na 1950 berekenen:

\(P_{1950+30t} = L^{t}\cdot P_{1950}\)

Met behulp van de eigenwaarde matrix kun je L schrijven als:

\(L = V \Lambda V^{-1}\)

dus:

\(P_{1950+30t} = L^{t}P_{1950} = V \Lambda^t V^{-1} P_{1950}\)

Kun je hier iets mee?

[Comm]

Evilbro:

Ik begrijp niet wat er staat in de tweede regel.

L = V 'omgekeerde V' V ^-1

Ik ben vergeten te vermelden dat er nog een voorwaarde bestaat. Met deze voorwaarde heb ik de eerste regel bepaald.

De voorwaarde is: Uit alle drie de leeftijdsgroepen brengen mensen kinderen voort. De mensen uit de groep van 30 - 60 jaar krijgen echter gemiddeld drie maal zoveel kinderen als de mensen uit de andere twee groepen. In de andere twee groepen zijn de mensen ongeveer even vruchtbaar, d.w.z. dat ze per individu gemiddeld even veel kinderen krijgen. (Dus ook de oudjes krijgen nog kinderen!)

Hiermee heb ik de vruchtbaarheidscijfers berekend (eerste regel).

[TD]

Ik begrijp niet wat er staat in de tweede regel.

L = V 'omgekeerde V' V ^-1

Die 'omgekeerde V' is een hoofdletter lambda en stelt een diagonaalmatrix voor, noem'em bijvoorbeeld 'D'.

Je diagonaliseert L dus via eigenvectoren/eigenwaarden, dat is althans wat er in die regel gebeurt.

[Comm]

En diagonaliseren doe ik met de Gauss-Jordan eliminatie is het niet? De resultaten op de diagonaal betekenen dan wat?