[wiskunde] Magische vierkanten

[Comm]

Voor M3 (Dimensie voor alle magische vierkanten) nemen we als basis {m1 ,m2 ,m3}, waarbij m1 ,m2 ,m3 de volgende magische vierkanten zijn:



1 -1 0 0 2 1 2 3 1

-1 0 1 2 1 0 1 2 3

0 1 -1 1 0 2 3 1 2

Bewijs dat dit inderdaad een basis is voor M3?

Bij vectoren vind ik het eenvoudig, maar weet niet hoe ik het nu aan moet pakken. Waarschijnlijk moet ik eerst laten zien dat stelsel lineair onafhankelijk is.

Daarna laten zien dat elk willekeurig element te schrijven is als lineaire combinatie van het stelsel. Alle factoren moeten dan dus gelijk zijn aan 0.

Hoe begin ik?

[TD]

Ik ben niet zo bekend met magische vierkanten, maar we hebben dus deze basis:

\(\left{ {\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 1} & 0 { - 1} & 0 & 1 0 & 1 & { - 1} \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}c} 0 & 2 & 1 2 & 1 & 0 1 & 0 & 2 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}c} 2 & 3 & 1 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 \end{array}} \right]} \right}\)

Onafhankelijkheid nagaan valt wel mee. Om m1 te schrijven als lin. comb. van m2 en m3 moet je al een factor 1/2 van m3 hebben (om de 1 op positie (1,1) te hebben). Hierdoor krijg je op positie (2,3) niet 1, maar 3/2 en dat onafhankelijk van de bijdrage van m2. Dus m1 is niet te schrijven als lin. comb. van m2 en m3.

Neem eens een kijkje op deze pagina, daar hebben ze een basis voor de 4x4 vierkanten, misschien levert dat wat inspiratie.

[Comm]

Er wordt een afbeelding A M3 --> M3 gedefinieerd volgens het volgende voorschrift:

Het beeld van een magisch vierkant m is een magisch vierkant dat je uit m krijgt door deze te spiegelen in de hoofddiagonaal.

Bewijs dat A een lineaire afbeelding is?

[TD]

Is het gegeven dat je door spiegeling tov de hoofddiagonaal opnieuw een magisch vierkant krijgt, of is dat deel van de vraag? Als je dat weet komt het in elk geval neer op het nagaan van de lineariteit van de transformatie: "spiegel een matrix tov de hoofddiagonaal".

Aan de lineariteit van A is voldaan als:

1)

\(A\left( {X + Y} \right) = A\left( X \right) + A\left( Y \right)\)

2)

\(A\left( {k \cdot Z} \right) = k \cdot A\left( Z \right)\)

Hierin zijn X,Y,Z matrices en k een scalair.

Of in het algemeen: het beeld van een lineaire combinatie moet de lineaire combinatie van de beelden zijn.

[Comm]

Dank je wel!