[Magnetisme] Magnetische energie binnenin een draad.

[Mark-123]

Beste dames en heren,

Tot mijn grote frustratie zit ik vast met een opgave met betrekking tot magnetische inductie. Ik zou bijzonder dankbaar zijn als iemand mij kan vertellen waar ik de fout in ga. De opgave:

Een lange cylindrische draad met radius a = 2cm voert een stroom I van 80A. De stroom is uniform gedistribueerd over het oppervlakte van de draad. Vind de magnetische energie-dichtheid per lengte-eenheid van binnen de draad.

Mijn aanpak: de magnetische energiedichtheid wordt gegeven door:

Um = B^2/(2mu0)

De totale magnetische energie wordt verkregen door te vermenigvuldigen met het volume: Em=Um X V

Als we nu mbv de wet van Ampere de magnitische fluxdichtheid B bepalen die geldt in de draad komen we tot het (algemene) resultaat: B = mu0I/(2pi r)

voor het volume van de draad geldt: V=pi r^2 l (waarbij l de lengte van de draad is)

Als we nu alle gegevens invullen in de formule voor de magnetische energie Em krijgen we een uitdrukking waar l in voorkomt, en hiermee kunnen we (dacht ik...) eenvoudig de magnetische energie per lengte eenheid bepalen. Ik kom na invullen echter op hetvolgende resultaat:

Em/l = mu0I^2/(8pi)

terwijl het antwoord moet zijn:

Em/l = mu0I^2/(16pi)

Ik kan, wat ik ook doe, maar niet op dit antwoord uitkomen. Hulp zou erg welkom zijn. Excuses voor de soms misschien onduidelijke formules. Bij voorbaat dank,

Mark

[Jan van de Velde]

Ik ben geen specialist op dit gebied, maar hier mijn gedachte voor wat ze waard is:

B = mu0I/(2pi r) klopt, maar die moet eigenlijk, voor een beter begrip, worden geschreven als:

\( \frac{\mu_0}{2\pi} \cdot \frac{I}{r}\)

, waarbij

\( \frac{\mu_0}{2\pi}\)

een evenredigheidsconstante is

De formule geeft de sterkte van het magnetisch veld op een afstand r van de draad.

Maar elk punt binnen de draad is NIET te vinden op een afstand r van het hart van die draad. Mijn gedachte is nu dat alle punten binnen de draad zich GEMIDDELD op een kleinere afstand van van de draad bevinden, In het hart van de draad bevinden zich minder punten per cm² dan aan de buitenkant van de draad, maar daar is de veldsterkte ook groter (want r is kleiner), zodat in de sommering van de veldsterktes op alle infinitesimaal kleine stukjes draaddoorsnede misschien die factor ½ gezocht moet worden die je kennelijk zoekt?? Integraaltje??

Voorgaande is mogelijk een misgeslagen plank. Het is al laat.

[Bart]

Ik denk dat het verhaal iets complexer is, tenzij er een slim truukje bestaat die ik over het hoofd heb gezien.

Vanuit symmetrie overwegingen kun je bepalen dat het magnetisch veld binnen de draad in azimuthale richting staat met het veld afnemend tot nul naarmate je dichterbij het middenpunt komt. In andere woorden: Trek een lijn van het middelpunt naar de rand van de draad. Het magneetveld staat loodrecht aan deze lijn, waarbij het veld het grootst is bij de rand en nul in het midden van de draad. Er tussenin neemt het veld geleidelijk af (volgens mij is dit niet-lineair maar eerder een 1/r verband).

Om het magneetveld in deze draad te bepalen heb ik de wet van Biot-Savart gebruikt, maar vanwege de niet-symmetrie die nog steeds aanwezig is, kom ik op een integraal uit die ik niet kan oplossen. Er moet dus een slimmere manier bestaan op deze opgave op te lossen.

[moderator mode]Vanwege de complexiteit van deze opgave heb ik hem naar klassieke natuurkunde verplaatst[/moderator mode]

[Jan van de Velde]

Bedoel je hiermee dat we een fysieke stroomgeleidende draad eigenlijk moeten opsplitsen in een aantal denkbeeldige parallelle draadjes met elk hun eigen relatieve deel van de totale stroomsterkte en dus met hun eigen magneetveld?

[Bart]

Ja, en dat levert een veld op dat er ongeveer zo uitziet:

[Jan van de Velde]

Dan wordt het nog heftiger dan ik dacht, en begin ik door jouw plaatje de weg een beetje kwijt te raken (voorzover ik die al dacht te zien overigens )

Twee parallelle draadjes uit die fysieke draad.



De twee apärte velden zullen samenvloeien tot één veld. Ik mis het voorstellingsvermogen (en de wiskunde) om dat voor, laten we zeggen, een bundeltje van 50 draadjes te doen en dan iets te zien zoals jij tekende.

of stelt die verticale lijn eigenlijk niets voor en zijn je pijltjes alleen maar stukjes van veldlijnen, waarbij je met de lengte een concentratie van veldlijnen (is oplopende veldsterkte) weergeeft?

[Bart]

Die pijltjes zijn B vectoren op die blauwe lijn. Die lijn is er als hulpstuk.

[Jan van de Velde]

Dan zat ik er toch niet ver naast. Eigenlijk logisch dus, (gelukkig) en nu is het dus de kunst om de zaak wiskundig op te lossen. Dat valt blijkbaar niet mee. Maar als we de sigarendoos erbij pakken, zou deze benadering van ons kunnen leiden tot het verschil tussen die té versimpelde benadering van TS die door invullen in elkaar van wat algemene formules leidde tot:

Em/l = mu0I^2/(8pi)  

terwijl het antwoord moet zijn:  

Em/l = mu0I^2/(16pi)

ofwel een factor 2 verschil ??

[Bart]

De formule die je daarvoor gebruikt komt uit de Biot-Savart wet, maar geld voor een punt op afstand r van een oneindige draad met straal a, waarbij ook nog eens moet gelden dat de straal relatief klein is ten opzichte van de afstand r, dwz a<<r

Dat gaat in dit geval absoluut niet op.

[Jan van de Velde]

dus voorlopig samengevat:

Beste dames en heren,

Tot mijn grote frustratie zit ik vast met een opgave met betrekking tot magnetische inductie. Ik zou bijzonder dankbaar zijn als iemand mij kan vertellen waar ik de fout in ga.

Bij deze dus:

De formule die je daarvoor gebruikt komt uit de Biot-Savart wet, maar geld voor een punt op afstand r van een oneindige draad met straal a, waarbij ook nog eens moet gelden dat de straal relatief klein is ten opzichte van de afstand r, dwz a<<r

[Mark-123]

Om te beginnen: dank voor alle reacties.

Ik wil even inhaken op het punt van Bart. Ik denk dat deze formule toch wel degelijk op zou moeten gaan. Het wordt namelijk niet afgeleid uit de Biot-Savart wet, maar als volgt:

Um=int(dUm) = 0.5LI^2 = 0.5*(mu0)*(n^2)*(A)*(l)*(B/(mu0*n))^2 = (B^2*A*l)/2mu0

(Wederom excuses voor de onoverzichtelijke formules mijnerzijds)

Bij deze afleiding (Uit "Physics for scientists and engineers, Paul Tipler) staat als onderschrift:

"Although we derived this by considering the special case of the magnetic field in a long solenoid, it is a general result. Whenever there is a magnetic field in space, the magnetic energy per unit volume is given by: B^2/2mu0.

Vanuit minder wetenschappelijk oogpunt bekeken: Deze vraag hoort bij deze paragraaf, en deze formule is de enige die voorkomt in deze paragraaf. Natuurlijk sta ik open voor iedere correcte oplosmethode, dat terzijde.

In een ander boek, dat van Cheng, "field and wave electromagnetics" wordt deze zelfde vraag opgelost met een lijnintegraal. Zo komen ze op hetzelfde antwoord als Tipler, maar het zou eenvoudiger moeten kunnen, gezien het feit dat in het boek van Tipler deze integraal helemaal niet voorkomt. Ik zal deze uitwerking later nog even plaatsen.

Dank voor de bijdragen, en nog steeds hopend op een duidelijke uitwerking, groeten,

Mark

[Jan van de Velde]

(Wederom excuses voor de onoverzichtelijke formules mijnerzijds)

probeer het eens in LaTeX. Een link voor een overzicht van de codes staat rechtsbovenaan je conceptberichtblok, en het is eenvoudiger dan het lijkt.

en ik kwam met jouw formules ook niet verder dan jouw resultaat.

[Bart]

Tipler gaat er kort door de bocht. Verder geeft hij de magnetische energy per volume eenheid, maar dit geld alleen in homogene velden!

De correcte formule voor de magnetische energie is:

\(U_m = \int_{\tau} \frac{B^2}{2 \mu_0} d\tau\)

Heb je de vraagstelling trouwens letterlijk overgenomen. Zo niet, zou je de letterlijke vraagstelling (eventueel in het Engels) hier kunnen plaatsen. Ik heb namelijk het idee dat we iets verkeerds proberen uit te rekenen. Nu staat er trouwens ook een fout in de vraagstelling (stroom kan niet uniform worden verdeeld).

[Mark-123]

De vraag is letterlijk:

"A long cylindrical wire of radius a = 2cm carries a current I = 80A uniformly distributed over its cross-sectional area. Find the magnetic energy per unith length within the wire"

In het andere boek waarnaar ik verwees zie ik dezelfde integraal terug die jij laat zien. Ik kan me echter niet voorstellen dat Tipler z'n vraagstukken uitwerkt met behulp van formules die niet in de hoofdstukken voorkomen. Tipler gaat op het gebied van EM trouwens inderdaad kort door de bocht, dat is waarom we (op de TU-Delft, elektrotechniek) nog aanvullingen gebruiken op het boek van Tipler. Ik ben zeer benieuwd naar de oplossing. Dank bij voorbaat.

Mark

PS; ik begrijp niet waarom de stroom niet uniform verdeeld zou kunnen zijn over een oppervlakte, maw, de oppervlaktestroomdichtheid J is over het gehele oppervlakte gelijk.?

[Bart]

Ho! Dit is niet de vraag zoals jij hem stelde in je eerste bericht. Hier wordt gezegd dat de strom uniform verdeeld is over het doorsneevlak ('cross-sectional area') en dat is heel wat anders dan simpel oppervlak (de buitenkant van de draad)

PS; ik begrijp niet waarom de stroom niet uniform verdeeld zou kunnen zijn over een oppervlakte, maw, de oppervlaktestroomdichtheid J is over het gehele oppervlakte gelijk.?

Formeel gezien is de stroomdichtheid J uniform verdeeld (vectorveld). De stroom I kan dat niet, maar dat terzijde.

Voor de oplossing moet ik nog even puzzelen.