Projectie van kegelsneden

[wnvl1]

Een affiene projectie behoudt het type van een niet-gedegenereerde kegelsnede.

Dus:

\[
\text{ellips} \rightarrow \text{ellips}
\]

\[
\text{parabool} \rightarrow \text{parabool}
\]

\[
\text{hyperbool} \rightarrow \text{hyperbool}
\]

Een algemene kegelsnede heeft vergelijking:

\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
\]

Het type wordt bepaald door de discriminant:

\[
\Delta = B^2 - 4AC
\]

waarbij:

\[
\Delta < 0 \Rightarrow \text{ellips}
\]

\[
\Delta = 0 \Rightarrow \text{parabool}
\]

\[
\Delta > 0 \Rightarrow \text{hyperbool}
\]

Een affiene transformatie heeft de vorm:

\[
\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{b}
\]

met \(A\) een inverteerbare matrix.

Onder deze transformatie blijft de vergelijking van de kromme tweedegraads en behoudt de discriminant haar teken.

Daarom blijft het type kegelsnede behouden.

Geometrisch betekent dit dat een affiene projectie:

\[
\text{rechte lijnen behoudt}
\]

\[
\text{parallelisme behoudt}
\]

maar afstanden en hoeken in het algemeen niet behoudt.

Een cirkel kan daardoor bijvoorbeeld een ellips worden, maar nooit een hyperbool.

Compact samengevat:

\[
\boxed{
\text{Affiene projecties behouden het type van kegelsneden}
}
\]

[Regor]

@wnvl1,

Dank U.
U bracht de herinnering terug van 60 jaar geleden .
Wat toen niet besproken werd is het begrip van "affiene projectie"

Helaas komen bij mij direct andere vragen opborrelen ...
Wat betreft de kegelsneden:
1. Blijven de vormen gelijksoortig bij projectie uit een punt .. in plaats van een evenwijdige projectie? (niet affien)
2. Blijven de vormen gelijksoortig bij het bekijken door een lens ?
3. Indien "neen" .... houdt dat in dat wij met één oog de juiste vorm niet (kunnen) zien van een kegelsnede ?
(Waarom zien wij twee lijnen dan wel evenwijdig ? ........... correctie door de hersenen ?

Wat betreft affiene projecties van 2D krommen.
4. Geldt dat voor alle 2D krommen ?
5. Of Is het afhankelijk van de graad van de kromme ?

Bewijs hoeft niet.

[wnvl1]

1. Bij een projectie vanuit één punt, dus een centrale of perspectivische projectie, blijven kegelsneden in het algemeen niet gelijksoortig. Een cirkel kan bijvoorbeeld als een ellips verschijnen, en onder bepaalde projectieve transformaties kan zelfs het type van de kegelsnede veranderen. Wat wel behouden blijft, is dat een kegelsnede opnieuw een kegelsnede wordt. Dat behoort tot de projectieve meetkunde.

Bij een affiene projectie, waarbij men evenwijdig projecteert, blijven de hoofdtypes van de kegelsneden wel behouden. Een ellips blijft dan een ellips, een parabool blijft een parabool en een hyperbool blijft een hyperbool. De exacte afmetingen en hoeken veranderen echter meestal wel.

2. Wanneer men een kegelsnede door een lens bekijkt, ontstaat opnieuw een perspectivische afbeelding. Een ideale lens gedraagt zich benaderend als een projectieve afbeelding van de driedimensionale wereld op het netvlies of op een sensorvlak. Daardoor blijft de waargenomen vorm meestal een kegelsnede, maar niet noodzakelijk van hetzelfde type of met dezelfde verhoudingen. Bovendien veroorzaken echte lenzen bijkomende vervormingen, zoals tonvormige of kussenvormige vervorming.

3. Dat betekent inderdaad dat wij met één oog strikt genomen niet de “ware” geometrische vorm zien. Het netvlies ontvangt slechts een perspectivische projectie van de ruimte. Lengtes, hoeken en evenwijdigheid worden daarbij niet exact behouden. Twee evenwijdige spoorrails lijken bijvoorbeeld naar één verdwijnpunt te lopen.

Toch ervaren wij de wereld meestal alsof vormen en evenwijdigheden correct blijven. Dat komt doordat de hersenen voortdurend interpretaties en correcties uitvoeren. Zij gebruiken ervaring, perspectief, schaduwen, beweging en stereozicht om uit de vervormde projectie een stabiel driedimensionaal beeld op te bouwen. Ons visueel systeem reconstrueert dus als het ware de vermoedelijke werkelijkheid.

4. Wat betreft affiene projecties van vlakke krommen geldt dat zeer algemeen. Een affiene transformatie behoudt de algebraïsche structuur van een kromme. Een kromme van tweede graad blijft dus van tweede graad, een kubische kromme blijft kubisch, enzovoort. Rechten blijven rechten en raakpunten blijven behouden. De algebraïsche aard van de kromme blijft dus bestaan.

Dat betekent echter niet dat alle meetkundige eigenschappen behouden blijven. Afstanden, hoeken, krommingen en symmetrieën kunnen sterk veranderen. Een cirkel kan bijvoorbeeld onder een affiene projectie een ellips worden.

5. De algebraïsche graad van de kromme speelt wel een belangrijke rol. Bij kegelsneden van tweede graad is de theorie bijzonder elegant en overzichtelijk. Bij hogere graden ontstaan veel complexere eigenschappen, zoals buigpunten, singulariteiten, asymptoten of zelfdoorsnijdingen. Toch blijft ook daar onder affiene transformaties de fundamentele algebraïsche structuur behouden. Een kromme verandert dus van uitzicht, maar niet van algebraïsche familie.

[wnvl1]

Middelbare school wiskunde hoeft niet belachelijk eenvoudig te zijn. Het enige wat ik zeg is dat je de basis gehad kunt hebben als je dat vak gevolgd hebt. maar met middelbare school wiskunde kun je nog steeds lastige dingen bedenken.

De lessen projectieve meetkunde over kegelsneden waren de moeilijkste stukken wiskunde van het zesde middelbaar. Het is eigenlijk het enige stuk wiskunde dat ik met de tijd niet meer goed beheers. Dit in tegenstelling tot de wiskunde van de opleiding burg ir die ik nog grotendeels beheers. Dat vind ik wel opmerkelijk. Bij burg ir was er in de cursus lineaire algebra ook een hoofdstuk over meetkundige plaatsen en kegelsneden. Daar werd het meer gerelateerd aan matrix ontbindingen. Zoals het daar gegeven werd snapte ik het veel beter.
Een passie voor ellipsen zoals regor heb ik echter nooit ontwikkeld.

[Regor]

@wnvl1,

Dank U, bij herhaling.

Bijna volledig mee eens, op één puntje na.. stel je voor !
Bij punt 5. schrijft U "zelfdoorsnijdingen "........ niet mee eens !
Bij affiene projectie van een een 2D kromme kunnen GEEN zelfdoorsniijdingen ontstaan ... denk ik
Zelfs niet bij projectie vanuit één punt ... denk ik.

Corrigeer mij als ik verkeerd ben, maar schrijf ook als ik juist ben (gebeurt op ST veel te weinig).

[wnvl1]

Bij affiene projectie van een een 2D kromme kunnen GEEN zelfdoorsniijdingen ontstaan ... denk ik
Zelfs niet bij projectie vanuit één punt ... denk ik.

Nee, maar zo is het antwoord ook niet bedoeld. De zelfdoorsnijdingen blijven behouden onder affiene projectie. Dat is wat er bedoeld wordt.