Speciale wiskundige combinaties uit 4 elementen.

[RedCat]

Als symmetrie wel aanvaard wordt ..... dan worden de mogelijke aantallen verdubbeld .. klopt dat ?

Als voorwaarde 2 vervalt en ALLEEN voorwaarde 3 geldt (= elke letter in het rijtje is ongelijk aan zijn voorganger),
dan hebben we met n=4 letters (A, B, C, D):
- voor de eerste letter keuze uit alle n = 4 letters
- mag de tweede letter niet gelijk zijn aan het eerste, dus houden we nog keuze uit (n-1) = 3 mogelijkheden over
- mag de derde letter niet gelijk zijn aan het tweede, dus houden we nog keuze uit (n-1) = 3 mogelijkheden over
- enzovoorts voor alle overige letters in het rijtje met lengte = p letters.

Het aantal verschillende rijtjes is nu dus = \(n\cdot (n-1)^{(p-1)}\)

Dit is voor EVEN rijlengte precies het dubbele van het aantal onder voorwaarde 2 EN voorwaarde 3,
maar NIET voor ONEVEN rijlengtes:
- als rijlengte p = EVEN, dan zijn er geen palindromen in de lijst en wordt het aantal mogelijke rijtjes WEL verdubbeld
- als rijlengte p = ONEVEN, dan zijn er palindromen, het aantal daarvan blijft gelijk (dit aantal wordt NIET verdubbeld), uitsluitend het aantal niet-palindromen wordt nu verdubbeld.


Ter illustratie:

Als voorwaarden 2 EN 3 gelden, hebben we hierboven als aantal verschillende rijtjes voor n=4 letters (A, B, C, D) gevonden:
- p=1 -> 4 rijtjes (4 palindromen)
- p=2 -> 6 rijtjes (geen palindromen)
- p=3 -> 24 rijtjes (12 palindromen en 12 niet-palindromen)
- p=4 -> 54 rijtjes (geen palindromen)
- p=5 -> 180 rijtjes (36 palindromen en 144 niet-palindromen)

Als ALLEEN voorwaarde 3 geldt, dan krijgen we met bovenstaande formule:
- rijlengte p = 1 symbool: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^0 = 4\) (= 1*4 + 2*0)
- rijlengte p = 2 symbolen: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^1 = 12\) (= 2*6)
- rijlengte p = 3 symbolen: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^2 = 36\) (= 1*12 + 2*12)
- rijlengte p = 4 symbolen: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^3 = 108\) (= 2*54)
- rijlengte p = 5 symbolen: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^4 = 324\) (= 1*36 + 2*144)

[Regor]

@RedCQat,

Dank U,
Is heel duidelijk.

[Regor]

@RedCat,

Ok, was even niet leuk op ST door verwijten / vernederingen door het beheer.
.....................................................................
U schreef:

Als voorwaarden 2 EN 3 gelden, hebben we hierboven als aantal verschillende rijtjes voor n=4 letters (A, B, C, D) gevonden:
- p=1 -> 4 rijtjes (4 palindromen)
- p=2 -> 6 rijtjes (geen palindromen)
- p=3 -> 24 rijtjes (12 palindromen en 12 niet-palindromen)
- p=4 -> 54 rijtjes (geen palindromen)
- p=5 -> 180 rijtjes (36 palindromen en 144 niet-palindromen)

Als ALLEEN voorwaarde 3 geldt, dan krijgen we met bovenstaande formule:
- rijlengte p = 1 symbool: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^0 = 4\) (= 1*4 + 2*0)
- rijlengte p = 2 symbolen: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^1 = 12\) (= 2*6)
- rijlengte p = 3 symbolen: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^2 = 36\) (= 1*12 + 2*12)
- rijlengte p = 4 symbolen: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^3 = 108\) (= 2*54)
- rijlengte p = 5 symbolen: aantal verschillende rijtjes = \(4\cdot 3^4 = 324\) (= 1*36 + 2*144)
[/quote]
.............................................................................................

Onderstel een bijkomend 4de voorwaarde (die er eigenlijk geen is, maar gericht op een toepassing.)
Waarschijnlijk belachelijk eenvoudig, maar voor mij niet.
4.1. Er moet een rij van een even aantal elementen "X" gevuld worden met een situatie p = 2 ( 6 rijtjes mogelijk, ofwel 12 rijtjes mogelijk.)
Hoeveel rijtjes oplossingen zijn er mogelijk om de rij "X" vol te schrijven met p = 2 ..... op voorwaarde dat het eerste element en het laatste element niet hetzelfde zijn......... uitgedrukt als functie van "X" ?
(Ik plaats de rij "X" in een cirkel)
4.2. Er moet een rij van een oneven aantal elementen "Y" gevuld worden ..... idem.
Hoeveel oplossingen zijn er als functie van "Y" ?

Lijkt mij niet zo eenvoudig .... want als de rij "Y " de lengte 3 heeft .. kan die niet gevuld worden met p = 2
Wel een aantal keer p = 2 ...... maar een noodzakelijke derde element . te kiezen uit de twee resterende elementen.
Oei, ik hoop dat het duidelijk is / was.

[Regor]

@RedCat,

Blij dat U nog niet reageerde.
Het antwoord is gemakkelijker dan de vraag stellen.

Mijn antwoord is:

Bij "X" is Even .......... aantal rijtjes van p= 2 ...... blijft 6
Bij "Y" is ONEVEN ....... aantal rijtjers van p = 2 ...... wordt 8, (6 tot ("y" -1) en nog 2 mogelijkheden met de twee andere elementen
vb: 6 mogelijkheden met A/B voor ("y" -1) plus 2 mogelijkheden, 1 voor C en 1 voor D

Klopt dat ?

[Regor]

@RedCat,

Klopt dat ?

[Regor]

@RedCat,

Neen, klopt niet.. shame on me !
Voor een oneven rij "Y" is het aantal mogelijke rijtjes niet plus 2 .. maar maal 2
Ik doe rustig verder met mijn 4 kleuren zoektocht.

[RedCat]

Onderstel een bijkomend 4de voorwaarde...
... dat het eerste element en het laatste element niet hetzelfde zijn ...

We hadden al eerder afgeleid dat met k symbolen en even rijlengte n het aantal mogelijke rijtjes onder voorwaarde 3 gelijk is aan
\(r_k(n) = k\cdot (k-1)^{n-1}\)
Voor k=4 symbolen (A, B, C of D) leverde dit voor rijlengte n=4 op:
\(r_4(4) = 4\cdot 3^3 = 108\)

Als ook voorwaarde 2 moest gelden, dan halveert dit aantal voor n=even, en vonden we 54 verschillende mogelijkheden
(zie post/re-speciale-wiskundige-combinaties ... 2#p1277500)

Als nu ook het laatste symbool van een rijtje niet gelijk mag zijn aan het eerste symbool van dat rijtje, dan geldt voor rijtjes van even lengte (onder voorwaarde 3 EN 4):
Voor het aantal rijtjes dat wegvalt = v(n) kom ik uit op:
\(v_k(n)=(k-1)^{n-1}-(k-1)\)
voor n=k=4 is dit:
\(v_4(4)=3^3-3 = 24\)
Onder voorwaarde 2 EN 3 EN 4 moeten we dit aantal weer halveren: er vervallen er dan dus 12
Dan blijven er nu dus 54-12=42 rijtjes over die wel voldoen aan deze 3 voorwaarden.

Ter illustratie:
Hieronder de 54 oplossingen die we eerder gevonden hadden, nu tevens met kleurcodeing:
A=blauw, B=rood, C=groen, D=zwart als rijtje en als gesloten ketting.
De rijtjes die vervallen zijn omgeven door een donkerrode rechthoek.
De bijbehorende gesloten kettingen zijn precies die kettingen waarin er symbolen (=kralen) met dezelfde kleur naast elkaar zitten.

Voordat ik verder ga met oneven rijtjes: is dit ongeveer wat u bedoelt?

[Regor]

@RedCat,

Dank U,

Ik zal er de nodige tijd aan besteden hoor.
Nu en dan, als ik een heldere geest heb ben ik bezig om alle tot nu toe gekende puzzelstukjes (dank zij U) in één geheel te gieten.
Wat voorwaarde 4 betrof, kwam die eigenlijk omdat de rijtjes niet lineair ......... maar in een cirkel thuishoren.
De eis van wel of niet symmetrie komt van de cirkel CW of CCW te doorlopen.

Steek er verder geen tijd en energie in aub ...... ik moet eerst een nog beter globaal zicht hebben op het geheel, en de overblijvende problemen....... en zal U dan posten.

[RedCat]

Wat voorwaarde 4 betrof, kwam die eigenlijk omdat de rijtjes niet lineair ......... maar in een cirkel thuishoren.
De eis van wel of niet symmetrie komt van de cirkel CW of CCW te doorlopen.
... ik moet eerst een nog beter globaal zicht hebben op het geheel, en de overblijvende problemen...

Ter overweging:
Voordat u verder gaat met de cyclische rijtjes wil ik u er nog even op attenderen dat er ook nog equivalenties overblijven onder rotatie.

Hier een plaatje met de 42 oplossingen onder voorwaarde 2, 3 en 4:
voorwaarde 2: geen spiegelbeelden
voorwaarde 3: niet dezelfde elementen naast elkaar
voorwaarde 4: eerste element niet gelijk aan het laatste element

Er zijn oplossingen die twee-aan-twee equivalent zijn onder rotatie (vb: oplossingen 2 en 8, rood gemarkeerd)
en ook viertallen die allemaal onderling equivalent zijn (vb: oplossingen 5, 20, 25 en 38, blauw gemarkeerd).

Wellicht wilt u daarom nog een extra voorwaarde invoeren:

voorwaarde 5: geen equivalenties onder rotatie.

In dat geval (dus onder voorwaarde 2, 3, 4 en 5) blijven er nog 21 unieke oplossingen over:

[Regor]

@RedCat,

Ok, U was mij voor !
Ik heb er helaas nog geen verdere energie in kunnen steken.
Ik werk alvast liever mer A/B/C/D dan met kleuren ..... zeker als ik een globale synthese -teks wil maken.

Losse vraag: heeft U zich wat willen / kunnen verdiepen in het 4 kleuren probleem ?
Mijn begin aanpak was te weten komen hoeveel oplossingen er waren voor rijtjes met 1 of 2 of 3 of 4 elementen.

Verder baseer ik mij op het feit dat elke landkaart kant gereduceerd worden tot een netwerk van lijnen (recht of krom) en hoekpunten. .... morgen verder , sorry !