Fermat1637's "prachtige bewijs" - een exegese

[Gast]

@WillemB:
Teken een deel van de Collatz-boom.
Pak nu een roze highlighter. Highlight alle oneven getallen.
Pak nu een groene highlighter. Bij elk (roze) oneven getal kijk je naar het getal direct 'daarboven' (die 2x dat oneven getal is). Als dit getal de waarde 4 (mod 6) heeft dan kleur je deze groen. Anders kijk je naar het getal 'daarboven' (dus 4x het oneven getal). Als dit getal de waarde 4 (mod 6) heeft dan kleur je deze groen.
Verbindt de roze getallen via de takken van de boom met de roze highlighter.
Verbindt de groene getallen via de takken van de boom met de groene highlighter.
Merk op dat de (relevante) structuren hetzelfde zijn.
Pas op alle groene getallen de inverse-transformatie toe.
Merk op dat dit de getallen zijn van Fermat1637.

Kortom, het is hetzelfde met slechts een ander labeltje. Zoals al eerder gezegd: Elk bewijs dat motief1 gebruikt is ook te doen zonder dat motief via de 'normale' Collatz-regels. Dit heeft duidelijk de voorkeur aangezien dit al het geneuzel over "wat motief1 nou eigenlijk betekent" volledig omzeilt.

Waar heeft u deze logica onderwezen gekregen?
Als twee dingen niet aan elkaar gelijk zijn bezitten ze verschillende eigenschappen!

[EvilBro]

Als twee dingen niet aan elkaar gelijk zijn bezitten ze verschillende eigenschappen!

Klopt. Het punt was juist dat ze wel aan elkaar gelijk zijn (qua structuur... ofwel isomorph). Dit laat mijn post nou precies zien: motief1 is niet anders dan een transformatie + normale Collatz regels + een terugtransformatie.

[Gast]

@Evilbro

Waar is uw stabiel punt dan in uw Collatz omgeving?

[Professor Puntje]

@EvilBro Hartelijk dank! Helaas ben ik nu even uitgeschakeld met een zware hoofdpijn. Zal je posts later bestuderen.

[vijv]

Ik snap niet helemaal meer wat nou precies het probleem is. Wellicht dat het volgende nog inzicht verschaft...

Wat randzaken om mee te beginnen:

\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Hier staat "f na g". Dit is een notatie om aan te geven dat op een geven waarde x eerst functie g wordt toegepast en op het resultaat de functie f. De notatie kan uitgebreid worden naar meerdere funcies:

\((f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))\)

\((f \circ g \circ h \circ i)(x) = f(g(h(i(x))))\)

enz.
Het voordeel van deze notatie dat je van rechts naar link kunt zien welke acties er worden toegepast op de waarde.

Voor het herhaaldelijk toepassen van deze functie, gebruik ik de notatie \(f^{(n)}\), ofwel:

\(f^{(n)} = f \circ f^{(n-1)}\)

Verder wil ik de volgende hulpfuncties definieren:
Een even-Collatz-stap:

\(C_e(x) = \frac{x}{2}\)

Een oneven-Collatz-stap:

\(C_o(x) = 3 x + 1\)

Een transformatie-stap en zijn inverse:

\(T(x) = 6 x + 4\)

\(T^{-1}(x) = \frac{x - 4}{6}\)

En, voor het gemak (maar dit volgt ook uit wat hierboven staat):

\(C^{(2 n)}_e(x) = \frac{x}{4^n}\)

We beginnen nu met motief1 voor als a een viertallen is:

\(m1_4(a) = \frac{9 \cdot a + 8 - 8 \cdot 4^n}{12 \cdot 4^n} = \frac{\frac{9 \cdot a + 8 - 8 \cdot 4^n}{2 \cdot 4^n}}{6} = \frac{\frac{9 \cdot a + 8}{2 \cdot 4^n} - \frac{8 \cdot 4^n}{2 \cdot 4^n}}{6} = \frac{\frac{9 \cdot a + 8}{2 \cdot 4^n} - 4}{6} = T^{-1}(\frac{9 \cdot a + 8}{2 \cdot 4^n})\)

\(= T^{-1}(\frac{\frac{9 \cdot a + 8}{2}}{4^n}) = T^{-1}(C^{(2 n)}_e(\frac{9 \cdot a + 8}{2})) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(\frac{9 \cdot a + 8}{2}) \)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(\frac{18 \cdot a + 16}{4}) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(\frac{18 \cdot a + 12 + 4}{4}) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(3 \frac{6 \cdot a + 4}{4} + 1)\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(C_o(6 \cdot a + 4)) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o)(\frac{6 \cdot a + 4}{4})\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o)(C^{(2)}_e(6 \cdot a + 4)) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(2)}_e)(6 \cdot a + 4)\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(2)}_e)(T(a)) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(2)}_e \circ T)(a)\)

Wat lezen we hier nou? We zien dat de waarde 'a' getransformeerd wordt en daarna worden er twee even Collatz-stappen op de waarde gedaan. Vervolgens een oneven Collatz-stap en daarna weer (2n) even Collatz-stappen, om dan uiteindelijk weer een inverse-transformatie te ondergaan. We zien hieraan ook meteen dat er afgezien van de transformaties aan het begin en het einde, alleen Collatz-stappen worden gedaan.
Laten we het proces eens volgen voor, bijvoorbeeld, a=4:
Transformeer 4 => 28
Twee even-Collatz-stappen: 28 => 7
Oneven-Collatz-stappen: 7 => 22
2n-even-Collatz-stappen: 22 => 22
Inverse-transformatie: 22 => 3
Ofwel motief1(4) = 3

Nu kijken we naar motief 1 voor oneven a (maar met minder stappen uitgeschreven, want ik ben lui):

\(m1_o(a) = \frac{9 \cdot a + 7 - 4 \cdot 4^n}{6 \cdot 4^n} = (T^{-1})(\frac{9 \cdot a + 7}{4^n}) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(9 \cdot a + 7)\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(\frac{18 \cdot a + 14}{2}) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(3 \frac{6 \cdot a + 4}{2} + 1) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o)(\frac{6 \cdot a + 4}{2})\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C_e)(6 \cdot a + 4) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C_e \circ T)(a)\)

Ook hier zie je dus een transformatie en dan diverse stappen in Collatz om uiteindelijk weer een inverse-transformatie te doen.

Het is handig om je te bedenken dat als je meerdere keren motief1 toepast dat dan bij elke inverse-transformatie er meteen een transformatie volgt (behalve de laatste). Je kunt die 'midden transformaties' net zo goed niet doen.

Hiermee hoop ik dat het voor iedereen duidelijk is dat motief1, of meerdere toepassingen daarvan, niets anders is dan het volgen van de regels van Collatz met een transformatie aan het begin en eind. En dat het daarmee onzinnig is om de transformatie uberhaupt te gebruiken aangezien elk mogelijk bewijs net zo goed kan zonder deze transformatie.

Prachtig,

Klopt het dat motief1 voor de even getallen enkel geldt voor viervouden (getallen van de vorm 4k)
en dat er eigenlijk ook een motief1 voor de even getallen van de vorm 4k+2 bestaat nl:

\( (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(3)}_e \circ T)(a)\)

[Professor Puntje]

Soms heeft het nut een zeker probleem te transformeren vanuit een domein A naar een ander domein B waarin het eenvoudiger is op te lossen, zelfs als de bewijzen binnen de domeinen A en B in principe in elkaar zijn te vertalen. Maar aangezien naar het Collatz-vermoeden al heel veel onderzoek gedaan is zal de kans dat de introductie van motief1 hier gaat helpen waarschijnlijk toch miniem zijn.

Verder hoop ik EvilBro's analyse later vandaag om te zetten in een iets minder abstracte vorm die voor mij beter te volgen is. Ik heb goede hoop dat we er dan wel uit gaan komen. Op een aantal stappen die EvilBro maakt was ik zelf nooit gekomen, maar ik kan nu afkijken.

[Professor Puntje]

@EvilBro Mijn bedoeling was om een direct verband te vinden tussen Fermat1637's versie van de Collatz-rij en zijn motief1 (zie plaatje hieronder), maar gezien je formules vraag ik mij af of dat wel kan? Jouw formules gebruiken de oorspronkelijke definitie van de Collatz-rij.

[Professor Puntje]

Om in de buurt te komen van Fermat1637's motief1 moeten we onze formules een wat indrukwekkender voorkomen geven. Laten we eerst maar eens dit doen:

\( \frac{9a + 7}{2^m} = \frac{9a + 7}{2^m} - \frac{ 4 \cdot 2^m }{ 2^m } + 4 \)

\( \frac{9a + 7}{2^m} = \frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{2^m} + 4 \)

\( \frac{9a + 7}{2^m} = 6 \cdot \frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{6 \cdot 2^m} + 4 \)

\( \frac{9a + 7}{2^m} = (\frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m})^* \)


\( \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} = \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} - \frac{ 4 \cdot 2 \cdot 2^m }{ 2 \cdot 2^m } + 4 \)

\( \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} = \frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{2 \cdot 2^m} + 4 \)

\( \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} = 6 \cdot \frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m} + 4 \)

\( \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} = (\frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m})^* \)


Zodat we motief kunnen omschrijven tot:

\( \mbox{motief}(a) = \left \{ \begin{array}{rl} (\frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m})^* & \mbox{voor oneven a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } (\frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m})^* \mbox{ nog een geheel getal is.} \\ (\frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m})^* & \mbox{voor viervouden a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } (\frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m})^* \mbox{ nog een geheel getal is.} \end{array} \right. \)

Ziet er naar uit dat m niet altijd een tweevoud is :

[WillemB]

Is toch correct, nul is ook even, 0-2-4 etc..
En nul komt zeer dominant voor in de formules, probeer 27 of 80 maar eens,

Zie bijgaande foto voor 44, let op, uiteindelijk zijn de eind getallen rechts.. vanaf 22 - 34 -52 -10 en 4 getallen die in
de originele Collatz reeks van 44 ook voorkomen....!
.

.

[WillemB]

Hier het getal 27, daar is m (helemaal links) bijna overal 0, en soms 2 of 4,

Ook hier alle getallen helemaal aan de rechter kant,
39 van deze iteratie uitklomsten komen ook voor in de originele Collatz rij van 27 voor.

( het getal 27 heeft in totaal origineel 111 stappen).

.

.

[Professor Puntje]

Wat vind je bij a=44 als maximale m waarvoor (9*a+8)/(2*2^m) nog geheel is?

[vijv]

Klopt het dat motief1 voor de even getallen enkel geldt voor viervouden (getallen van de vorm 4k)
en dat er eigenlijk ook een motief1 voor de even getallen van de vorm 4k+2 bestaat nl:

\( (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(3)}_e \circ T)(a)\)

\( (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(3)}_e \circ T)(a)\) als k oneven is
\( (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(4)}_e \circ T)(a)\) als k even is

[WillemB]

Wat vind je bij a=44 als maximale m waarvoor (9*a+8)/(2*2^m) nog geheel is?

ook 0, wat jij ook hebt gevonden, voor het motief, voor het laatste deel ((9a+8)/2.2^m )
zou m=1 ook nog kunnen, maar dat past niet bij de formule voor het motief(), daar kan 1 niet.

Dan zou je moeten definiëren wat voorrang krijgt ?
Nu stel je dat beide waar moeten zijn, anders moet je stellen of het een of het ander is waar.

[Professor Puntje]

Ik zie nu wel dat ik iets verkeerd heb gedaan, de maximale m zou in ( (9*a-8*2^m+8)/(12*2^m) )* ingevuld moeten worden. En dat is weer hetzelfde als (9a+8)/(2.2^m). Blijft staan dat ik op even m gehoopt had zodat we de 2's door 4's hadden kunnen vervangen...

[WillemB]

Ik zie nu wel dat ik iets verkeerd heb gedaan, de maximale m zou in ( (9*a-8*2^m+8)/(12*2^m) )* ingevuld moeten worden. En dat is weer hetzelfde als (9a+8)/(2.2^m). Blijft staan dat ik op even m gehoopt had zodat we de 2's door 4's hadden kunnen vervangen...

Even getest, welke reeks ik ook test, op een oneven m vind het nooit een geheel getal.

Zelfs als ik test op voorschrift oneven en even ( dus eventjes geen 4 vouden),
dan loop het af en toe wel vast op de 2 vouden, omdat er dan geen geheel getal is te vinden,
maar ook dan is m altijd een even getal als er wel een geheel getal te vinden is.

Dus er moet ergens wel een wiskunde verklaring voor zijn.