Fermat1637's "prachtige bewijs" - een exegese

[Regor]

@Fermat,

Waarom schreef U dat U het verder niets bijkomend uit de doeken zou doen als men eerst bij ST schoonschip zou maken ?
Noem man en paard !

[Professor Puntje]

Ach dat is toch wel duidelijk: Fermat1637 houdt er niet van om te worden tegengesproken. En vooral niet wanneer die kritiek ook nog eens wiskundig onderbouwd is. Schoon schip maken betekent dat iedereen die zijn claims niet voor zoete koek slikt hier de mond gesnoerd moet worden of moet worden verbannen. In dit topic proberen we te achterhalen wat er wiskundig gezien van zijn bedenksels nog te redden valt. Zou Fermat1637 hier alsnog uit de doeken doen wat volgens hem de relatie is tussen een Collatz-rij (zoals door hem gedefinieerd) en motief1 is dan zouden we hier een en al oor zijn. Want zolang die relatie tussen motief1 en de Collatz-rijen nog niet bekend is heb je aan de eigenschappen van motief1 ook niets. Maar de kans dat hij die relatie ooit nog uit de doeken doet lijkt verwaarloosbaar klein. Als het al ooit zijn bedoeling was om een heldere (en dus controleerbare) theorie te presenteren.

[Regor]

Spijtig over gans de lijn !
Maar dat zal Fermat wellicht geen zorg wezen, hij lacht in zijn vuistje !

[Regor]

@Fermat.

Men heeft toch op ST via AI de onvolledigheid van uw bewijs duidelijk aangegeven !
Aanvaard U de beschouwingen van AI wel of niet ?

U hoeft niet te antwoorden hoor, wij zijn allemaal ondergeschikt aan U, en ik al helemaal zeker.

[Gast]

U bent met z’n allen nog geen steek verder gekomen!
Bestudeer motief1 en motief2 dat is het enige dat ik nu hierover zeg.

[WillemB]

U bent met z’n allen nog geen steek verder gekomen!
Bestudeer motief1 en motief2 dat is het enige dat ik nu hierover zeg.

Dat is wel humor, wat denk je dat we nu hier aan het doen zijn, als je een volledige beschrijving had gemaakt
van je bewijs zoals het hoort hadden we dit niet hoeven te doen.

Feit dat je niet eens een volledige beschrijving van je bewijs kan schrijven is al een brevet van onvermogen.

[WillemB]

@WillemB Ik loop weer vast in mijn bewijs. Heb je de rood omcirkelde voorwaarden in je simulatie wel gebruikt?


shot.png

Dat heb ik nu getest en gebruikt zie voorbeeld hieronder, voor veel getallen,
Conclusie is dat bij max van 'm' ook de andere voorwaarden correct zijn, ieder keer gehele getallen.

.

[Professor Puntje]

Dank voor de test! Dan zullen mijn voorwaarden en die van Fermat1637 waarschijnlijk toch equivalent zijn. Ik zal later vandaag nog weer eens proberen mijn afleiding rond te krijgen.

[Professor Puntje]

Onder de Karel-rij met beginterm \( n_o \in \mathbb{N} \) verstaan we de rij: K⁽⁰⁾(n_o), K⁽¹⁾(n_o), K⁽²⁾(n_o), K⁽³⁾(n_o), ...
met:
\( \mbox{K}(n) = \left \{ \begin{array}{rl} \frac{n}{2^m} & \mbox{voor even } n \in \mathbb{N} \mbox{ en } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal waarbij } \frac{n}{2^m} \mbox{ nog een geheel getal is.} \\ 3n+1 & \mbox{voor oneven } n \in \mathbb{N} . \end{array} \right. \)

(Waarbij K⁽⁰⁾(n_o) = n_o, K⁽¹⁾(n_o) = K(n_o), K⁽²⁾(n_o) = K(K(n_o)), K⁽³⁾(n_o) = K(K(K(n_o))), ... Verder schijven we de verzameling der natuurlijke getallen exclusief nul als \( \mathbb{N} \) en de verzameling der natuurlijke getallen inclusief nul als \( \mathbb{N}_o \) .)

Voor even \( n \in \mathbb{N} \) en \( m \in \mathbb{N}_o \) is 2^m voor m=0 altijd een deler van n. Dus is er voor even \( n \in \mathbb{N} \) altijd minstens één \( m \in \mathbb{N}_o\) (namelijk m=0) waarvoor \( 2^m \) een deler is van n. En omdat voor toenemende \( m \in \mathbb{N}_o \) de breuk \( \frac{n}{2^m} \) vanaf n monotoon en uiteindelijk willekeurig dicht naar 0 afdaalt (maar nooit daadwerkelijk nul wordt) moet er dan ook een maximum aan de \( m \in \mathbb{N}_o \) zitten waarvoor \( \frac{n}{2^m} \) nog een geheel getal. Zo zien we dat \( \mbox{K} \) een eenduidig gedefinieerde functie van \( \mathbb{N} \) naar \( \mathbb{N} \) is.

Iedere Karel-rij met een oneven beginterm heeft direct volgend op die beginterm al een even term. Dus als alle Karel-rijen met een even beginterm naar een lus met 1 gaan, dan doen alle Karel-rijen met een oneven beginterm dat ook. Daarom hoeven we voor een bewijs van het Collatz-vermoeden enkel maar Karel-rijen met een even beginterm te bekijken. Bij een Karel-rij wisselen de even en de oneven termen elkaar bovendien af, op iedere even term volgt een oneven term en op iedere oneven term volgt een even term.

Laat nu:

\( \mbox{W} = \{ x \in \mathbb{N} \, | \, \mbox{x is oneven of een viervoud} \} \)

\( a^* = 6a + 4 \)


Voor oneven \( a \in \mbox{W} \) krijgen we:

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}^{(3)}( 6a+4 )\)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}^{(2)}( \frac{6a+4}{2} )\)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}^{(2)}( 3a+2 )\)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}(3 \cdot (3a + 2) + 1) \)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}(9a + 7) \)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \frac{9a + 7}{2^m} \)

Waarbij \( m \in \mathbb{N}_o \) maximaal en \( \frac{9a + 7}{2^m} \) nog een geheel getal is.


Voor viervouden \( a \in \mbox{W} \) komt er:

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}^{(3)}( 6a+4 )\)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}^{(2)}( \frac{6a+4}{4} )\)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}^{(2)}( \frac{3a+2}{2} )\)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}(3 \cdot \frac{3a+2}{2} + 1) \)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}(\frac{9a+6}{2} + \frac{2}{2}) \)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{K}(\frac{9a + 8}{2}) \)

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} \)

Waarbij \( m \in \mathbb{N}_o \) maximaal en \( \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} \) nog een geheel getal is.


Definieer nu:

\( \mbox{motief}(a) = \left \{ \begin{array}{rl} \frac{9a + 7}{ 2^m} & \mbox{voor oneven a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } \frac{9a + 7}{ 2^m} \mbox{ nog een geheel getal is.} \\ \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} & \mbox{voor viervouden a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} \mbox{ nog een geheel getal is.} \end{array} \right. \)


Dan geldt voor alle \( a \in \mbox{W} \) dat:

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{motief}(a) \)

(De vermaarde Hoofdstelling van de Karel-rekening.)

[Professor Puntje]

Om in de buurt te komen van Fermat1637's motief1 moeten we onze formules een wat indrukwekkender voorkomen geven. Laten we eerst maar eens dit doen:

\( \frac{9a + 7}{2^m} = \frac{9a + 7}{2^m} - \frac{ 4 \cdot 2^m }{ 2^m } + 4 \)

\( \frac{9a + 7}{2^m} = \frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{2^m} + 4 \)

\( \frac{9a + 7}{2^m} = 6 \cdot \frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{6 \cdot 2^m} + 4 \)

\( \frac{9a + 7}{2^m} = (\frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m})^* \)


\( \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} = \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} - \frac{ 4 \cdot 2 \cdot 2^m }{ 2 \cdot 2^m } + 4 \)

\( \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} = \frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{2 \cdot 2^m} + 4 \)

\( \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} = 6 \cdot \frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m} + 4 \)

\( \frac{9a + 8}{2 \cdot 2^m} = (\frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m})^* \)


Zodat we motief kunnen omschrijven tot:

\( \mbox{motief}(a) = \left \{ \begin{array}{rl} (\frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m})^* & \mbox{voor oneven a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } (\frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m})^* \mbox{ nog een geheel getal is.} \\ (\frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m})^* & \mbox{voor viervouden a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } (\frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m})^* \mbox{ nog een geheel getal is.} \end{array} \right. \)

[Professor Puntje]

We hadden al voor alle \( a \in \mbox{W} \) dat:

\( \mbox{K}^{(3)}( a^* ) = \mbox{motief}(a) \)


Met \( \mbox{V}(x) = \frac{x - 4}{6} \) wordt dat:

\( \mbox{V}(\mbox{K}^{(3)}( a^* )) = \mbox{V}(\mbox{motief}(a)) \)


Schrijf nu \( \mbox{V}(\mbox{motief}(a)) \) voor het gemak als \( \mbox{vmotief}(a) \) dan wordt het:

\( \mbox{V}(\mbox{K}^{(3)}( a^* )) = \mbox{vmotief}(a) \)

Met:

\( \mbox{vmotief}(a) = \left \{ \begin{array}{rl} \mbox{V}((\frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m})^*) & \mbox{voor oneven a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } (\frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m})^* \mbox{ nog een geheel getal is.} \\ \mbox{V}((\frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m})^*) & \mbox{voor viervouden a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } (\frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m})^* \mbox{ nog een geheel getal is.} \end{array} \right. \)

En dus:

\( \mbox{vmotief}(a) = \left \{ \begin{array}{rl} \frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m} & \mbox{voor oneven a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } (\frac{9a - 4 \cdot 2^m + 7}{ 6 \cdot 2^m})^* \mbox{ nog een geheel getal is.} \\ \frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m} & \mbox{voor viervouden a waarbij } m \in \mathbb{N}_o \mbox{ maximaal en } (\frac{9a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m})^* \mbox{ nog een geheel getal is.} \end{array} \right. \)

[EvilBro]

Ik snap niet helemaal meer wat nou precies het probleem is. Wellicht dat het volgende nog inzicht verschaft...

Wat randzaken om mee te beginnen:

\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Hier staat "f na g". Dit is een notatie om aan te geven dat op een geven waarde x eerst functie g wordt toegepast en op het resultaat de functie f. De notatie kan uitgebreid worden naar meerdere funcies:

\((f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))\)

\((f \circ g \circ h \circ i)(x) = f(g(h(i(x))))\)

enz.
Het voordeel van deze notatie dat je van rechts naar link kunt zien welke acties er worden toegepast op de waarde.

Voor het herhaaldelijk toepassen van deze functie, gebruik ik de notatie \(f^{(n)}\), ofwel:

\(f^{(n)} = f \circ f^{(n-1)}\)

Verder wil ik de volgende hulpfuncties definieren:
Een even-Collatz-stap:

\(C_e(x) = \frac{x}{2}\)

Een oneven-Collatz-stap:

\(C_o(x) = 3 x + 1\)

Een transformatie-stap en zijn inverse:

\(T(x) = 6 x + 4\)

\(T^{-1}(x) = \frac{x - 4}{6}\)

En, voor het gemak (maar dit volgt ook uit wat hierboven staat):

\(C^{(2 n)}_e(x) = \frac{x}{4^n}\)

We beginnen nu met motief1 voor als a een viertallen is:

\(m1_4(a) = \frac{9 \cdot a + 8 - 8 \cdot 4^n}{12 \cdot 4^n} = \frac{\frac{9 \cdot a + 8 - 8 \cdot 4^n}{2 \cdot 4^n}}{6} = \frac{\frac{9 \cdot a + 8}{2 \cdot 4^n} - \frac{8 \cdot 4^n}{2 \cdot 4^n}}{6} = \frac{\frac{9 \cdot a + 8}{2 \cdot 4^n} - 4}{6} = T^{-1}(\frac{9 \cdot a + 8}{2 \cdot 4^n})\)

\(= T^{-1}(\frac{\frac{9 \cdot a + 8}{2}}{4^n}) = T^{-1}(C^{(2 n)}_e(\frac{9 \cdot a + 8}{2})) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(\frac{9 \cdot a + 8}{2}) \)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(\frac{18 \cdot a + 16}{4}) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(\frac{18 \cdot a + 12 + 4}{4}) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(3 \frac{6 \cdot a + 4}{4} + 1)\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(C_o(6 \cdot a + 4)) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o)(\frac{6 \cdot a + 4}{4})\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o)(C^{(2)}_e(6 \cdot a + 4)) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(2)}_e)(6 \cdot a + 4)\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(2)}_e)(T(a)) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C^{(2)}_e \circ T)(a)\)

Wat lezen we hier nou? We zien dat de waarde 'a' getransformeerd wordt en daarna worden er twee even Collatz-stappen op de waarde gedaan. Vervolgens een oneven Collatz-stap en daarna weer (2n) even Collatz-stappen, om dan uiteindelijk weer een inverse-transformatie te ondergaan. We zien hieraan ook meteen dat er afgezien van de transformaties aan het begin en het einde, alleen Collatz-stappen worden gedaan.
Laten we het proces eens volgen voor, bijvoorbeeld, a=4:
Transformeer 4 => 28
Twee even-Collatz-stappen: 28 => 7
Oneven-Collatz-stappen: 7 => 22
2n-even-Collatz-stappen: 22 => 22
Inverse-transformatie: 22 => 3
Ofwel motief1(4) = 3

Nu kijken we naar motief 1 voor oneven a (maar met minder stappen uitgeschreven, want ik ben lui):

\(m1_o(a) = \frac{9 \cdot a + 7 - 4 \cdot 4^n}{6 \cdot 4^n} = (T^{-1})(\frac{9 \cdot a + 7}{4^n}) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(9 \cdot a + 7)\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(\frac{18 \cdot a + 14}{2}) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e)(3 \frac{6 \cdot a + 4}{2} + 1) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o)(\frac{6 \cdot a + 4}{2})\)

\(= (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C_e)(6 \cdot a + 4) = (T^{-1} \circ C^{(2 n)}_e \circ C_o \circ C_e \circ T)(a)\)

Ook hier zie je dus een transformatie en dan diverse stappen in Collatz om uiteindelijk weer een inverse-transformatie te doen.

Het is handig om je te bedenken dat als je meerdere keren motief1 toepast dat dan bij elke inverse-transformatie er meteen een transformatie volgt (behalve de laatste). Je kunt die 'midden transformaties' net zo goed niet doen.

Hiermee hoop ik dat het voor iedereen duidelijk is dat motief1, of meerdere toepassingen daarvan, niets anders is dan het volgen van de regels van Collatz met een transformatie aan het begin en eind. En dat het daarmee onzinnig is om de transformatie uberhaupt te gebruiken aangezien elk mogelijk bewijs net zo goed kan zonder deze transformatie.

[WillemB]

Ik begrijp het nog niet helemaal, de tussen liggende getallen zijn zeer afwijkend tov Collatz idem reeks:
(zegt hij ook in diverse posts)

Met deze formules gaan inderdaad veel reeksen naar nul, maar de reeksen zijn afwijkend kwa inhoud tov Collatz,
uiteraard kan je met deze getallen een boom op tuigen, alleen zitten de getallen dan op een andere plek in de boom
als in een Collatz boom, dus zijn ze niet gelijk lijkt mij.

We hebben het nog niet gehad over het nut, daar heb je wel een punt,
maar we proberen alleen te ontrafelen wat nu de redenering is.

[WillemB]

Hiermee hoop ik dat het voor iedereen duidelijk is dat motief1, of meerdere toepassingen daarvan, niets anders is dan het volgen van de regels van Collatz met een transformatie aan het begin en eind. En dat het daarmee onzinnig is om de transformatie uberhaupt te gebruiken aangezien elk mogelijk bewijs net zo goed kan zonder deze transformatie.

dat zou kunnen, maar er kunnen redenen zijn waarvoor het motief nodig is, dat proberen we uit te vinden:

blijkbaar: Fermatxx heeft het motief nodig om een eigen boom te kunnen construeren die naar nul gaat.
Dat moet wel via een transformatie, anders lukt dat niet, het is na transformatie dus geen Collatz meer.

Daarna wil hij met behulp van allerlei wiskunde stellingen aan tonen dat zijn model werkt en voor alle reeksen geld.
En hij is blijkbaar overtuigd, dat het zo via dit model wel kan bewijzen, vanwege het nul punt.

[EvilBro]

@WillemB:
Teken een deel van de Collatz-boom.
Pak nu een roze highlighter. Highlight alle oneven getallen.
Pak nu een groene highlighter. Bij elk (roze) oneven getal kijk je naar het getal direct 'daarboven' (die 2x dat oneven getal is). Als dit getal de waarde 4 (mod 6) heeft dan kleur je deze groen. Anders kijk je naar het getal 'daarboven' (dus 4x het oneven getal). Als dit getal de waarde 4 (mod 6) heeft dan kleur je deze groen.
Verbindt de roze getallen via de takken van de boom met de roze highlighter.
Verbindt de groene getallen via de takken van de boom met de groene highlighter.
Merk op dat de (relevante) structuren hetzelfde zijn.
Pas op alle groene getallen de inverse-transformatie toe.
Merk op dat dit de getallen zijn van Fermat1637.

Kortom, het is hetzelfde met slechts een ander labeltje. Zoals al eerder gezegd: Elk bewijs dat motief1 gebruikt is ook te doen zonder dat motief via de 'normale' Collatz-regels. Dit heeft duidelijk de voorkeur aangezien dit al het geneuzel over "wat motief1 nou eigenlijk betekent" volledig omzeilt.