Fermat1637's "prachtige bewijs" - een exegese

[Professor Puntje]

Eerst maar eens een lemma:

LEMMA Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) is er een \( k \in \mathbb{Z} \) zodat: \( 2^n = 3 k + (-1)^n \) .

BEWIJS We gebruiken een bewijs op basis van volledige inductie.

We zien direct dat het voor n=0 klopt.

Veronderstel vervolgens dat het voor zekere n geldt, dan vinden we:

\( 2^n = 3 k + (-1)^n \)

\( 2^{n+1} = 6 k + 2 \cdot (-1)^n \)

\( 2^{n+1} = 3 k' - (-1)^n \)

\( 2^{n+1} = 3 k' + (-1)^{n+1} \)

\( \Box \)

[WillemB]

Als m altijd even moet zijn dan zijn we er. Maar in de getallentheorie ben ik niet goed thuis, dus heb ik het maar even aan AI gevraagd. AI antwoordt dit:

screenshot.png

Klopt dat? En is dat ook zonder modulo's op te schrijven?

klopt wel met mijn waarneming van testen met allerlei getallen, waar ik ook m liet zien, samen met het getal.
was mij inderdaad al opgevallen dat de factor m altijd een even getal was, altijd keer twee als in de rij van motief(1).

Zie ook mijn foto in de vorige post, daar zie je ook dat m altijd even is, en twee maal motief(1).

Die modulo's zijn een vertaling van je voorschrift, alleen oneven en vier vouden, dat kan niet anders volgens mij.

.

[Professor Puntje]

Wil \( \frac{9 a - 4 \cdot 2^m + 7}{6 \cdot 2^m} \) voor oneven a een geheel getal zijn dan moet de teller in elk geval de priemfactor 3 bevatten. Dus:

\( \frac{9 a - 4 \cdot 2^m + 7}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( 3 a + \frac{- 2^{m+2} + 7}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{2^{m+2} - 7}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{2^{m+2} - 1 - 6}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{2^{m+2} - 1}{3} - 2 \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{2^{m+2} - 1}{3} \in \mathbb{Z} \)

Wegens het eerder bewezen lemma moet er dan voor alle \( m+2 \in \mathbb{N}_o \) een \( k \in \mathbb{Z} \) zijn waarbij:

\( \frac{3 k + (-1)^{m+2} - 1}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( k + \frac{(-1)^{m+2} - 1}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{(-1)^{m+2} - 1}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( (-1)^{m+2} - 1 = 0 \)

\( (-1)^{m+2} = 1 \)

Zodat m even moet zijn.

[Professor Puntje]

Wil \( \frac{9 a - 8 \cdot 2^m + 8}{12 \cdot 2^m} \) voor viervouden a een geheel getal zijn dan moet de teller in elk geval de priemfactor 3 bevatten. Dus:

\( \frac{9 a - 8 \cdot 2^m + 8}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( 3 a + \frac{- 2^{m+3} + 8}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{2^{m+3} - 8}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{2^{m+3} + 1 - 9}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{2^{m+3} + 1}{3} - 3 \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{2^{m+3} + 1}{3} \in \mathbb{Z} \)

Wegens het eerder bewezen lemma moet er dan voor alle \( m+3 \in \mathbb{N}_o \) een \( k \in \mathbb{Z} \) zijn waarbij:

\( \frac{3 k + (-1)^{m+3} + 1}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( k + \frac{(-1)^{m+3} + 1}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( \frac{(-1)^{m+3} + 1}{3} \in \mathbb{Z} \)

\( (-1)^{m+3} + 1 = 0 \)

\( (-1)^{m+3} = -1 \)

Zodat m even moet zijn.

[Professor Puntje]

@WillemB Ik loop weer vast in mijn bewijs. Heb je de rood omcirkelde voorwaarden in je simulatie wel gebruikt?

[WillemB]

Ik heb M maximaal voor de hele breuk, maar inderdaad niet specifiek met het omcirkelde,
Ik kan het wel eens proberen, zou kunnen dat je daardoor afwijkende getallen, krijg terwijl m dan niet maximaal is..?

Heb je een specifieke reden waarom je dat erbij wil, immers het is met alleen m max, helemaal identiek, en
anders afwijkend tov motief(1)..?

[Professor Puntje]

Ik krijg mijn afleiding niet rond omdat de omcirkelde vereiste niet equivalent lijkt te zijn aan de eis dat de complete breuk een geheel getal moet zijn. Motief1 moet een verband hebben met de Karel-rij want anders schiet je er niets mee op. Dan zou je motief1 gewoon kunnen definiëren zoals Fermat1637 dat doet, maar dat bewijs dan helemaal niets. Ik probeer motief1 juist te gebruiken om stappen van de Karel-rij te beschrijven en daar rollen bij mij dan die omcirkelde vereisten voor m uit.

[WillemB]

Oke, zal morgen proberen het erin te schrijven. Op zich niet moeilijk.

[Professor Puntje]

Ah mooi!

Het is ook niet gezegd dat Fermat1637's definitie van motief1 helemaal klopt. Hij is daar vermoedelijk door proberen op gekomen, zonder te bewijzen dat die functie doet wat hij denkt dat die doet. Het best haalbare voor ons is dan dat we met iets op de proppen komen dat althans enigszins op Fermat1637's motief 1 lijkt maar dan wel aantoonbaar het verloop van de Karel-rij beschrijft.

[Gast]

@PP en WillemB,

Ik begin langzamerhand een beetje medelijden met u te krijgen. Wat een hopeloos gerommel is dit.
Alle aanwijzingen die ik geef slaat u compleet in de wind.
U blijft maar in Collatz rondhangen. Stap daar nu eens uit.
Maar ja dat heb ik al een jaar geleden gezegd, maar u weigert dat, waarom?

[Gast]

Alles wat nodig is om de functie te onderzoeken is volledig en helder gedefinieerd.
Als men weigert uit te gaan van de gegeven functie en inverse afbeelding, dan is
verdere inhoudelijke discussie helaas niet mogelijk. In dat geval houdt het voor mij op.

[Regor]

@Fermat,

Maar U schreef wel heel onlangs in uw topic dat U de moeite niet wilde doen om de dingen verder uit de doeken te doen.
Te laken houding ...... wat houdt U achter ? .... komt ermee op de proppen !

[Gast]

@Regor,

U heeft toch al mijn redenatie fout gevonden?
Vertel dat gewoon dan, dan is alles toch klaar.

Of zijn al uw redenaties de basis van uw verbanning een jaar geleden? U nam (feb. 2025) privé contact met mij op en zei met klem “vertel mijn juiste naam niet”.
Uw redenaties kloppen niet.

[Regor]

@Fermat,

Oei, U blijft maar zakken in mijn achting..... oude koeien uit de gracht halen !
1. Ik nam toen contact omdat uw naam en mail adres op uw reacties (document ) stonden en Collatz mij dan uitermate boeide.
2. Ik heb al een paar keer U op ST verdedigd om U niet weer voor een tijd te laten verbannen ..... vergeten of niet opgemerkt zeker ?
Stank voor dank !
Het is stilaan genoeg geweest met uw spelletjes, voor mij kan U de boom in.

[Gast]

@Regor,

U wijst bewijzen af op grond van zaken die u niet begrijpt.
Dat moet u niet doen!