vraag over Pi

[Jean Demarteau]

als ik een cirkel teken met daarbuiten een veelhoek en daarbinnen een veelhoek krijg ik de volgende vergelijkingen :
omtrek = 2*overstaande*(aantal hoeken veelhoek) , aantal hoeken veelhoek = 180/hoek dus omtrek = 360/hoek*overstaande = 2*Pi*r
Pi = (180/hoek*overstaande)/r , sin(hoek)=overstaande/schuine dus overstaande = sin(hoek)*s en s=r dus
Pi = 180/hoek*sin(hoek) , dit kun je voor de binnenste en buitenste doen en dan krijg je de andere vergelijking:
Pi = 180/hoek*tan(hoek)

Nu is de vraag als ik in 2 overstaande punten van deze vergelijkingen naar Pi toe de rc (afgeleide) bereken kruisen deze elkaar dan niet in Pi?
ik ben geen wiskundige en krijg dit zelf niet berekend en weet niet of dit klopt, groetjes

[wnvl1]

Ik denk dat je best een tekening toevoegt.

[Jean Demarteau]

als ik een cirkel teken met daarbuiten een veelhoek en daarbinnen een veelhoek (en deze veelhoek verdeel ik in 3-hoeken) krijg ik de volgende vergelijkingen :
omtrek = 2*overstaande*(aantal hoeken veelhoek) , aantal hoeken veelhoek = 180/hoek dus omtrek = 360/hoek*overstaande = 2*Pi*r
Pi = (180/hoek*overstaande)/r , sin(hoek)=overstaande/schuine dus overstaande = sin(hoek)*s en s=r dus
Pi = 180/hoek*sin(hoek) , dit kun je voor de binnenste en buitenste doen en dan krijg je de andere vergelijking:
Pi = 180/hoek*tan(hoek)

Nu is de vraag als ik in 2 overstaande punten van deze vergelijkingen naar Pi toe de rc (afgeleide) bereken kruisen deze elkaar dan niet in Pi?
ik ben geen wiskundige en krijg dit zelf niet berekend en weet niet of dit klopt, groetjes

[Professor Puntje]

Een tekening doet wonderen. Nu is het onduidelijk wat je vraag is.

[RedCat]

Het lijkt me dat je dit hebt berekend:

Voor een regelmatige n-hoek is de centrale hoek \(\theta = \frac{2\pi}{n}\)

(1) Voor de maximale inwendige n-hoek (rood) binnen een cirkel geldt:

\(\frac{l}{2} = r\sin(\frac{\theta}{2}) = r\sin(\frac{\pi}{n})\)

ofwel

\(l = 2r\sin(\frac{\pi}{n})\)

waardoor de omtrek van de rode n-hoek \(Omtrek_{rood} = n\cdot 2r\sin(\frac{\pi}{n})\)

(2) Voor de minimale uitwendige n-hoek (blauw) buiten een cirkel geldt evenzo:

\(\frac{L}{2} = R\sin(\frac{\theta}{2}) = R\sin(\frac{\pi}{n})\)

ofwel

\(L = 2R\sin(\frac{\pi}{n})\)

waardoor de omtrek van de blauwe n-hoek \(Omtrek_{blauw} = n\cdot 2R\sin(\frac{\pi}{n})\)

Omdat \(r=R\cos(\frac{\theta}{2}) = R\cos(\frac{\pi}{n})\)

is

\(Omtrek_{blauw} = n\cdot 2\frac{r}{cos(\frac{\pi}{n})}\sin(\frac{\pi}{n}) = 2nr\tan(\frac{\pi}{n})\)


(3) De omtrek van de cirkel ligt tussen de omtrekken van bovenstaande n-hoeken in:

\(2nr\sin(\frac{\pi}{n}) \le 2\pi r \le 2nr\tan(\frac{\pi}{n}) \)

ofwel

\(n\sin(\frac{\pi}{n}) \le \pi \le n\tan(\frac{\pi}{n}) \)

Voor de limiet van n naar oneindig worden deze drie aan elkaar gelijk.


(4) Afgeleiden:

Als we n uitbreiden naar reele getallen (n ≥ 3) krijgen we bovenstaande curves:
\(f(n) = n\sin(\frac{\pi}{n})\) (rood)
en
\(g(n) = n\tan(\frac{\pi}{n})\) (blauw)

Voor n=4 kruisen de raaklijnen vanuit A en B elkaar in punt P = (5.621458, 3.07447760)
Voor n=6 kruisen de raaklijnen vanuit C en D elkaar in punt Q = (8.773545, 3.12910894)
Voor n=8 kruisen de raaklijnen vanuit E en F elkaar in punt R = (11.837018, 3.13773506)

De y-waarden liggen net iets onder pi, maar zullen voor n naar oneindig ook richting pi gaan (= de lichtgroene lijn: y = pi).