Impulsoverdracht en het tweespletenexperiment

[Professor Puntje]

Wat gebeurt er met impulsbehoud als een elektron bij een tweespletenexperiment door de spleten gaat? Als het daarbij wordt afgebogen (te controleren door het elektron verderop op te vangen) dan zou er door het materiaal rond de spleten een impulsstoot moeten worden geabsorbeerd. Maar daarmee wordt informatie afgegeven over de afbuiging. Kan er dan nog wel interferentie optreden?

[wnvl1]

Impulsbehoud geldt onvoorwaardelijk, ook in het tweespletenexperiment. Wanneer een elektron door een spleet gaat en daarbij van richting verandert, verandert zijn impuls. Volgens behoud van impuls moet het materiaal waarin de spleten zijn aangebracht daarom een tegengestelde impuls opnemen. Dit is een direct gevolg van translatie-invariantie van de natuurwetten.

De impulsuitwisseling vormt op zichzelf echter nog geen meting. In QM is de relevante vraag niet of er impuls is overgedragen, maar of die impulsopname leidt tot informatie die het doorgane pad van het elektron onderscheidbaar maakt. Alleen wanneer de toestand van de omgeving na de interactie verschillend is voor “links” en “rechts”, en die toestanden in principe te onderscheiden zijn, verdwijnt interferentie.

De gezamenlijke toestand van elektron en spletenmateriaal kan na passage door de spleten worden geschreven als
\[
|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|L\rangle|E_L\rangle + |R\rangle|E_R\rangle\right).
\]
Interferentie blijft bestaan zolang de overlap van de omgevingstoestanden groot is, dat wil zeggen zolang \( \langle E_L|E_R\rangle \approx 1 \). In dat geval blijft de gereduceerde dichtheidsmatrix van het elektron coherente off-diagonale termen bevatten, en kan een interferentiepatroon ontstaan.

Dat deze overlap in de praktijk vrijwel gelijk aan één is, heeft meerdere redenen. Ten eerste is het spletenmateriaal macroscopisch zwaar. De impulsverandering van het elektron in transversale richting is van orde
\[
\Delta p \sim \hbar/d
\]
waarbij \( d \) de afstand tussen de spleten is. De bijbehorende snelheidsverandering van een zware plaat is extreem klein, zodat de toestanden \( |E_L\rangle \) en \( |E_R\rangle \) fysisch vrijwel identiek zijn.

Ten tweede wordt de opgenomen impuls niet lokaal en niet op een unieke manier vastgelegd. De impuls wordt verdeeld over zeer veel vrijheidsgraden van het materiaal, zoals fononmodi, en is niet gelabeld met informatie die ondubbelzinnig zegt door welke spleet het elektron is gegaan. Zelfs in principe is deze informatie dan niet terug te halen.

Ten derde speelt het onzekerheidsprincipe een essentiële rol. Om interferentie met spleetafstand \( d \) mogelijk te maken, moet de spletenplaat al een intrinsieke impuls-onzekerheid hebben die voldoet aan
\[
\Delta p_{\text{plaat}} \gg \hbar/d.
\]
De extra impuls die door één elektron wordt overgedragen valt dan binnen die bestaande onzekerheid en maakt de eindtoestand van het materiaal niet onderscheidbaar.

Interferentie zou wél verdwijnen als de impulsopname zó wordt gemeten dat de omgevingstoestanden voor links en rechts orthogonaal worden, dus als \( \langle E_L|E_R\rangle \approx 0 \). Dit kan bijvoorbeeld door elke spleet te koppelen aan een gevoelige impulsdetector. In dat geval ontstaat welke-weg-informatie en verdwijnen de off-diagonale termen in de dichtheidsmatrix van het elektron, ongeacht of iemand de detector uitleest.

[Professor Puntje]

Helaas gaat dat mij boven de pet. Ik zie het zo dat het materiaal rond de spleten een impulsstoot krijgt zodra een elektron passeert en wordt afgeboden. Door die impulsstoot zal het scherm met de spleten een zijwaartse beweging verkrijgen. Die zijwaartse beweging bevat op zich al informatie. Of het elektron links of rechts passeert is niet interessant. En of je die beweging van het scherm wel of niet een meting noemt zou geen verschil moeten maken.

[wnvl1]

Je spreekt van een meting wanneer er informatie over een kwantumtoestand in de omgeving wordt vastgelegd op een manier die in principe kan worden uitgelezen. Het gaat dus niet om het daadwerkelijk observeren door een mens, maar om het feit dat de informatie beschikbaar is in het kwantumsysteem of zijn omgeving. In het context van het tweespletenexperiment komt het er op neer dat de mate van interferentie wordt bepaald door de hoeveelheid informatie die in de omgeving over het pad van het elektron “lekt”.

Er treedt interferentie op wanneer de paden van het elektron kwantumcoherent zijn. Dit betekent dat de omgeving geen informatie bevat over door welke spleet het elektron is gegaan. Zodra er wel welke-weg-informatie beschikbaar komt in de omgeving, zelfs als niemand deze informatie daadwerkelijk uitleest, gaat de coherentie van het elektron verloren en nemen de off-diagonale termen in zijn gereduceerde dichtheidsmatrix af. Hoe meer welke-weg-informatie in principe beschikbaar is, des te meer neemt het interferentiepatroon af. In het extreme geval waarin het pad volledig meetbaar is, verdwijnt het interferentiepatroon volledig.

[Professor Puntje]

Welke spleet het elektron neemt doet er niet toe. De impuls die het scherm met de spleten ontvangt hangt enkel af van de richting waarin het elektron wordt afgebogen niet van de spleet waar het door gaat.

[wnvl1]

De correlatie tussen de impuls die het spletenmateriaal opneemt en de spleet waardoor het elektron gaat, zal afhangen van de specifieke fysische opstelling lijjkt mij.

[Professor Puntje]

Uit de impuls die het scherm met de spleten bij het passeren van het elektron opneemt volgt toch niets over de spleet waardoor het elektron gaat?

[wnvl1]

Je hebt gelijk, denk ik.

[Professor Puntje]

Om de situatie duidelijker te maken zou je het hypothetische geval van een superlicht scherm met spleten kunnen beschouwen dat door de geabsorbeerde impuls bij het passeren van een afbuigend elektron zichtbaar in beweging komt.

[wnvl1]

2spleten 246 keer bekeken

Je hebt dus een deeltje dat wordt afgeschoten en uiteindelijk het scherm raakt. Bestaat er een verband tussen het gevolgde traject van het deeltje — via spleet A, spleet B of via beide — en de impuls die door het scherm wordt opgenomen?

[Professor Puntje]

Dat voorbeeld negeert het tijdsverschil tussen het passeren van het scherm met de spleten en de aankomst op de plaat daarachter. De vraag is of de opgenomen impuls door het scherm met de spleten het later optredende interferentiepatroon op de plaat beïnvloedt. Die eventuele invloed gaat - neem ik aan - dan voorwaarts in de tijd. Het zal niet zo zijn dat de plaats waar het elektron de plaat treft teruggaande in de tijd bepaalt of en in welke mate het scherm al eerder bij het passeren van het elektron in beweging is gekomen. Anders gezegd: waar het elektron de plaat treft is bij het passeren van het scherm nog niet bekend, en kan dus ook geen rol spelen bij de eventuele afbuiging tijdens het passeren van het scherm.

Overigens zou je ook uit het tijdstip en de snelheid waarop het elektron wordt afgevuurd en het tijdstip en de plaats waarop het de plaat treft uit kunnen rekenen welke spleet het heeft genomen. Maar dat verstoort het interferentiepatroon kennelijk ook niet. Of verbiedt Heisenberg dat?

[wnvl1]

Het was zeker niet de bedoeling van mijn vorige post om de tijd om te keren. De invloed is van de 'meting' bij de spleten op de inslag op het detectiescherm. Niet andersom in de tijd.

[wnvl1]

Overigens zou je ook uit het tijdstip en de snelheid waarop het elektron wordt afgevuurd en het tijdstip en de plaats waarop het de plaat treft uit kunnen rekenen welke spleet het heeft genomen. Maar dat verstoort het interferentiepatroon kennelijk ook niet. Of verbiedt Heisenberg dat?

Dat gaat volgens mij de interferentie wel verstoren. Op mijn plaatje is de weg via A naar het inslagpunt korter dan via B. Als je al gaat meten op een tijdstip dat de golf via B er nog niet geraakt kan zijn, dan beïnvloedt je de interferentie denk ik.

[Professor Puntje]

Wellicht is het handiger om met fotonen te werken, want daarvan is de snelheid al bekend. Stel je meet het tijdstip waarop een foton wordt afgevuurd en de plaats en tijd waarop het op de plaat achter het scherm aan komt. Daaruit valt dan te berekenen welke spleet is gekozen. Dus zou je zo het interferentiepatroon kunnen verstoren...?

Dat is dan wel vreemd want die metingen spelen zich buiten het gebied af waarin de fotonen bewegen.

[vijv]

Voor mij is het wat lang geleden, maar ik dacht dat de kern van het twee spletenexperiment juist was dat je niet kon bepalen welke weg het deeltje aflegt. Bij elke poging ( en dus meeting) om te bepalen welke spleet het deeltje neemt verstoor je het golfpatroon.