De metriek in ART

[vijv]

Tensoren zijn echt niet zo moeilijk, zeker puur wiskundig niet. Alleen de fysische betekenis van de geometrische tensoren in GR kan lastig zijn.

Dat denk ik ook zo. De theorie die je bouwt op die tensoren kan complex zijn, maar tensoren zijn eenvoudig. Je kan uitleggen wat het is op minder dan een A4.

Veel beginners denken, wel begrijpelijk, dat de metriek “het zwaartekrachtsveld” is, maar dat is niet juist.
De metrische tensor is een wiskundig object, geen natuurkundig bestaand iets. Wat fysisch is, is de ruimtetijd (de manifold + geometrische structuur).

Als de metriek een zwaartekrachtveld voorstelt, kan hetzelfde zwaartekrachtsveld via verschillende zwaartekrachtsvelden worden beschreven, dat slaat nergens op.

Ik ben sterk geneigd om de metriek wel als iets fysiek te beschouwen. Ik denk dat er een sterke parallel is tussen de metriek en de elektromagnetische veldtensor. Die laatste beschouw je vermoedelijk ook wel als fysiek. Maar je kan erover discussiëren.

Naar aanleiding van deze discussie wil ik een nieuw topic starten.
De metriek in ART heeft meerdere functies:

1) Beschrijft de lokale geometrie van de vierdimensionale ruimtetijdvariëteit. Het bepaalt hoe afstanden, hoeken, oppervlakten en volumes in gebogen ruimte worden gemeten, en fungeert effectief als ede schaal om coördinatenbeschrijvingen om te zetten in daadwerkelijke fysieke metingen. Hierdoor bepaald het ook de kromming en bevat alle informatie van het "zwaartekrachtsveld"


2)Bepalen van de causale structuur: De metriek definieert de scheiding van gebeurtenissen in toekomstige, verleden en "elders" De metrische handtekening (meestal één tijdachtige en drie ruimteachtige dimensies, bijvoorbeeld (-,+,+,+) of (+, -, -, -)) is hiervoor cruciaal.

3)is tevens het dot product van vectoren en een essentieel hulpmiddel om indexen van andere tensoren te "verhogen en verlagen", wat noodzakelijk is om te waarborgen dat natuurwetten in een over het algemeen covariante (coördinatenonafhankelijke) vorm worden uitgedrukt.

4) Het definieert ook de covariante afgeleide doormiddel van te eisen dat de connectie metrisch compatibel is.


Naar mijn aanvoelen is de metriek van 1) een ander object dan de metriek 3) maar vallen omwille van de theorie samen.

[wnvl1]

Ik zou denken dat 1. 2. 3. automatisch met elkaar gekoppeld zijn. Van 4 wist ik dat het geen noodzakelijkheid , maar ik heb nooit die alternatieve theorieën bestudeerd die van 4 afwijken. Ik zou moeten uitzoeken wat juist de implicaties zijn. 4 voelt intuïtief heel natuurlijk aan. Het voelt mij heel natuurlijk aan in het bestuderen van ART dat de vier puntjes samengaan. Ik heb er mij nooit vragen bij gesteld.

Ik heb er ook wat over gepraat met AI. We kwamen tot deze conclusie, maar mogelijk heeft ze mij naar de mond gepraat. De formules die ze erbij geeft, maken het in elk geval wat concreter.

-----------------------------------------
1. Geometrische rol.
De metriek beschrijft de lokale geometrie van de ruimtetijdvariëteit.
Zij bepaalt lengtes, hoeken en volumes via
\[
ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu, \qquad
dV = \sqrt{-g}\, d^4x,
\]
en bepaalt de Riemann-kromming. Alle informatie over het
zwaartekrachtsveld ligt in \(g_{\mu\nu}\).

2. Causale structuur.
De metriek bepaalt welke intervallen tijdachtig, lichtachtig of ruimtelijk zijn:
\[
ds^2 < 0,\qquad ds^2=0,\qquad ds^2>0.
\]
De Lorentz-signatuur \((-,+,+,+)\) is hierbij essentieel.
Voor hypothetische snelheden \(v>c\) kan de Lorentztransformatie
\[
\Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^2}\right)
\]
een omkering van tijdsvolgorde opleveren, wat causaliteit schendt.

3. Algebraïsche rol (indexverheffing/-verlaging).
De metriek definieert het binnenproduct en het isomorfisme tussen
tangent- en cotangentruimte:
\[
v_\mu = g_{\mu\nu} v^\nu, \qquad
\omega^\mu = g^{\mu\nu} \omega_\nu,
\]
en is noodzakelijk voor covariante tensorvergelijkingen.

4. Relatie tot de verbinding.
In standaard-ART geldt metrische compatibiliteit en torsievrijheid:
\[
\nabla_\lambda g_{\mu\nu} = 0, \qquad
\Gamma^\rho_{\mu\nu} = \Gamma^\rho_{\nu\mu},
\]
wat leidt tot de Levi-Civita-verbinding:
\[
\Gamma^\rho_{\mu\nu}
= \frac12 g^{\rho\sigma}
\left(\partial_\mu g_{\sigma\nu}
+ \partial_\nu g_{\sigma\mu}
- \partial_\sigma g_{\mu\nu}\right).
\]
Er bestaan alternatieve zwaartekrachtstheorieën (Palatini,
metric-affine, teleparallelisme) waarin deze voorwaarden niet worden opgelegd.



In de standaardformulering van de algemene relativiteitstheorie zijn de functies
(1), (2) en (3) onlosmakelijk met elkaar verbonden. Dit komt doordat een
(pseudo-)Riemann-metriek \(g_{\mu\nu}\) wiskundig gedefinieerd is als een niet-singuliere,
symmetrische bilineaire vorm op de tangentruimte:
\[
g: T_p M \times T_p M \to \mathbb{R}.
\]
Zodra men zo'n bilineaire vorm specificeert, liggen automatisch de geometrische
hoeveelheden vast:
\[
ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu, \qquad
dV = \sqrt{-g}\, d^4x,
\]
en volgt de kromming uit de metriek via de Riemann-tensor. Het binnenproduct en
het indexverheffen/-verlaging zijn geen onafhankelijke structuren maar direct
door \(g_{\mu\nu}\) bepaald:
\[
v_\mu = g_{\mu\nu} v^\nu, \qquad
\omega^\mu = g^{\mu\nu} \omega_\nu.
\]
Daarom zijn functie (1) en functie (3) niet van elkaar los te denken: ze zijn
wiskundig precies hetzelfde object.

Ook de causale structuur (functie (2)) volgt noodzakelijk uit dezelfde metriek.
De lichtkegelstructuur wordt volledig bepaald door het lichtachtige interval
\[
g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu = 0.
\]
Voor een Lorentz-signatuur \((-,+,+,+)\) is de onderverdeling
\[
ds^2 < 0 \ \text{(tijdachtig)}, \qquad
ds^2 = 0 \ \text{(lichtachtig)}, \qquad
ds^2 > 0 \ \text{(ruimtelijk)}
\]
automatisch vastgelegd. Indien men hypothetisch toelaat dat fysische trajecten
ruimtelijk worden (effectief \(v>c\)), dan levert de Lorentztransformatie
\[
\Delta t' =
\gamma\left(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^2}\right)
\]
situaties op waarin \(\Delta t'<0\), zodat oorzaak en gevolg van plaats kunnen
wisselen. Dit is geen extern principe maar een direct gevolg van de metriek.

De enige functie die in andere zwaartekrachtstheorieën anders ingevuld kan
worden, is (4). De eis van metrische compatibiliteit
\[
\nabla_\lambda g_{\mu\nu} = 0
\]
is niet wiskundig noodzakelijk, maar een fysische keuze. In alternatieve
formuleringen – zoals Palatini-graviteit, metric-affine theorieën,
Weyl-geometrie en teleparallelisme – worden metriek en verbinding als
onafhankelijke velden beschouwd, of wordt torsie in plaats van kromming gebruikt.
In al deze voorbeelden blijven echter functies (1), (2) en (3) door één en
dezelfde metriek bepaald.

[vijv]

In de standaardformulering van de algemene relativiteitstheorie zijn de functies
(1), (2) en (3) onlosmakelijk met elkaar verbonden. Dit komt doordat een
(pseudo-)Riemann-metriek \(g_{\mu\nu}\) wiskundig gedefinieerd is als een niet-singuliere,
symmetrische bilineaire vorm op de tangentruimte:
\[
g: T_p M \times T_p M \to \mathbb{R}.
\]
Zodra men zo'n bilineaire vorm specificeert, liggen automatisch de geometrische
hoeveelheden vast:
\[
ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu, \qquad
dV = \sqrt{-g}\, d^4x,
\]

Hier heb ik het dus lastig met. De geometrische vorm van een manifold wordt volgens mij vastgelegd door de coördinatenafbeeldingen naar R en dus leggen deze afbeeldingen ook de metriek vast. In dit stadium van opbouw van structuren is er nog geen sprake van tangenruimtes en dus ook geen bilineaire vorm. Het is pas later dat we de metriek inpassen in de tangentruimte structuur. En de vraag is dan waarom doen we dat?

[wnvl1]

Ik snapte eerst de vraag niet goed. Voor mijzelf is het niet zo nodig om alles in laagjes op te delen. Na wat discussiëren met AI werd mij het probleem duidelijk. Ik kom tot onderstaand antwoord op basis van ons gesprek.

---------------------------------------

De verwarring die hier optreedt is fundamenteel en raakt aan het onderscheid tussen
coördinaten, differentieerbare structuur en metrische structuur op een manifold.
Een gladde manifold \( M \) wordt eerst gedefinieerd als een topologische ruimte voorzien
van een atlas van kaarten
\[
\varphi_\alpha : U_\alpha \subset M \to \mathbb{R}^n,
\]
waarbij de overgangsafbeeldingen
\[
\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}
\]
glad zijn. Deze atlas bepaalt uitsluitend wat het betekent dat functies en afbeeldingen
op \( M \) differentieerbaar zijn. Zij legt echter geen metrische of meetkundige structuur vast.

Hoewel elke kaart afbeeldt in \( \mathbb{R}^n \), is er geen canonieke manier om de standaard
inproductstructuur op \( \mathbb{R}^n \) terug te trekken naar \( M \), omdat een andere keuze
van kaarten tot een andere metriek zou leiden. De geometrie van \( M \) mag niet afhangen
van een willekeurige keuze van coördinaten, en daarom kan een metriek niet op het niveau
van kaarten worden gedefinieerd.

Om meetkundige grootheden zoals lengte en hoek te kunnen definiëren, moet men kijken
naar de lokale lineaire benadering van de manifold. Voor elk punt \( p \in M \) is de
tangentruimte \( T_p M \) het natuurlijke lineaire object dat de eerste-orde structuur
van \( M \) nabij \( p \) beschrijft. Elementen van \( T_p M \) representeren snelheden van krommen
door \( p \) en zijn daarom geschikt om infinitesimale lengtes en hoeken te meten.

Een Riemann-metriek op \( M \) is dan gedefinieerd als een toewijzing die aan elk punt
\( p \in M \) een symmetrische positief-definiete bilineaire vorm
\[
g_p : T_p M \times T_p M \to \mathbb{R}
\]
toekent, zodanig dat voor gladde vectorvelden \( X \) en \( Y \) de functie
\[
p \mapsto g_p(X_p, Y_p)
\]
een gladde functie op \( M \) is.

Deze definitie maakt het mogelijk om op een coördinatenvrije wijze geometrische
begrippen te formuleren. Zo wordt de lengte van een gladde kromme
\[
\gamma : [a,b] \to M
\]
gedefinieerd door
\[
L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{ g_{\gamma(t)}\!\left(\dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}(t)\right) } \, dt.
\]
Deze definitie is onafhankelijk van de gekozen kaarten en gebruikt uitsluitend de
metriek op de tangentruimtes.

[vijv]

Op het eerste gezicht heb jij en je partner AI gelijk. Geef me nog wat tijd (die ik eigenlijk niet heb) om dit te laten bezinken. Vooral het zinnetje over het inproduct.

[wnvl1]

Laat \( M \) een gladde \( n \)-dimensionale manifold zijn met een atlas \( \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\} \), waarbij \( \varphi_\alpha : U_\alpha \subset M \to \mathbb{R}^n \) gladde kaarten zijn. Deze atlas bepaalt uitsluitend de differentieerbare structuur van \( M \), dat wil zeggen: zij legt vast wat het betekent dat functies en afbeeldingennop \( M \) glad zijn.

Omdat elke kaart afbeeldt in \( \mathbb{R}^n \), zou men kunnen denken dat men het standaard inproduct op \( \mathbb{R}^n \), gegeven door \( \langle v,w\rangle_{\mathbb{R}^n} = \sum_{i=1}^n v^i w^i \), kan gebruiken om een inproduct op \( M \) te definiëren. Dit idee berust echter op een misverstand.

Zij \( p \in M \) een punt en \( X_p,Y_p \in T_pM \) twee raakvectoren. Een kaart \( \varphi : U \to \mathbb{R}^n \) induceert een lineaire afbeelding op raakruimtes, \( d\varphi_p : T_pM \to \mathbb{R}^n \).
Men kan hiermee lokaal een inproduct definiëren door
\[
\langle X_p,Y_p\rangle^{(\varphi)}_p
=
\langle d\varphi_p(X_p), d\varphi_p(Y_p)\rangle_{\mathbb{R}^n}.
\]

Deze definitie hangt echter essentieel af van de gekozen kaart. Indien \( \psi : V \to \mathbb{R}^n \) een andere kaart is met \( p \in U \cap V \), dan verkrijgt men een ander inproduct
\[
\langle X_p,Y_p\rangle^{(\psi)}_p
=
\langle d\psi_p(X_p), d\psi_p(Y_p)\rangle_{\mathbb{R}^n}.
\]

Het verband tussen beide definities wordt gegeven door de overgangsafbeelding \( \psi \circ \varphi^{-1} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \). Voor de differentiëlen geldt
\[
d\psi_p = d(\psi\circ\varphi^{-1})_{\varphi(p)} \circ d\varphi_p.
\]
De Jacobimatrix van \( \psi\circ\varphi^{-1} \) is in het algemeen geen orthogonale matrix, zodat
\[
\langle d\psi_p(X_p), d\psi_p(Y_p)\rangle_{\mathbb{R}^n}
\neq
\langle d\varphi_p(X_p), d\varphi_p(Y_p)\rangle_{\mathbb{R}^n}.
\]

Hieruit volgt dat het terugtrekken van het standaard inproduct op \( \mathbb{R}^n \) niet invariant is onder kaartwissels. Daarom bepaalt een atlas geen canoniek inproduct op de raakruimtes van \( M \).

Een gladde manifold bezit dus wel een differentieerbare structuur, maar geen metrische structuur. Een Riemanniaanse metriek is extra structuur, bestaande uit een gladde toekenning van een inproduct \( g_p : T_pM \times T_pM \to \mathbb{R} \) voor elk punt \( p \in M \), die onafhankelijk is van de keuze van lokale coördinaten.

[HansH]

Laat..................

Ik weet niet voor wie je dit allemaal opschrijft, maar je bent mij al 3 straten terug kwijtgeraakt. Voor mij is de conclusie dat het forum niet werkt om dingen gestructureerd uit te leggen omdat je geen rekening kunt houden met waar iedereen zit in het proces.

[wnvl1]

Deze reactie was specifiek voor vijv bedoeld: het gaat dieper in op het inproduct wanneer er geen metriek is gedefinieerd. Dit is een ander topic dan het topic over de elasticiteitstensor en de inleidende tensorbegrippen.

[HansH]

Deze reactie was specifiek voor vijv bedoeld:

Het zijn eigenlijk al jouw reacties. Dus wat is het doel van het topic en voor wie is het bedoeld? Voor mensen die het al begrijpen is het dan misschien niet zo zinvol en voor mensen die het nog niet begrijpen onmogelijk om aan te sluiten.

[vijv]

Zoals Wnvl1 al schreef is dit een topic dat ik opgestart heb met vragen over de metriek. De antwoorden van wvnl1 zijn voor mij wel relevant. Ik ben ook van mening dat een er niet altijd meteen reactie moet komen en dat wat nadenken over iemand zijn antwoord ook zinvol kan zijn. Wat mij betreft doet het forum in dit topic wel degelijk zijn werk.

[vijv]

Wnvl1,

Ik heb tijd gehad om jou repliek te kunnen lezen. Je hebt helemaal gelijk wat de metriek betreft. Zo zie je maar dat je concepten kunt fout studeren en toch foutloos kunt rekenen en oefeningen maken met die concepten

[Gast]

Ik ben ook van mening dat een er niet altijd meteen reactie moet komen en dat wat nadenken over iemand zijn antwoord ook zinvol kan zijn.

Inderdaad!

Wat mij betreft doet het forum in dit topic wel degelijk zijn werk.

Ja, in tegenstelling tot meestal 5 a 6 deelnemers in een vrij groot topic, niet zomaar een vraag, hier 2 deelnemers (bijna).

Geen tig zijpaden en off-topic discussies of eigenwijze mensen, zoals mij erdoor heen te paraderen. Dat werkt veel beter.

Zeker voor de grotere topics (en op dit forum vooral, eerlijk gezegd).

[HansH]

Ik ben ook van mening dat een er niet altijd meteen reactie moet komen en dat wat nadenken over iemand zijn antwoord ook zinvol kan zijn.

Nou, voor mij was die input ook na 'wat nadenken' totaal niet te volgen geweest. daarom zei ik ook niet voor niets 'bedoeld voor mensen die het al weten'