tippetop

[jkien]

Mijn hoop was dat het zoiets is als E_k=k⋅E_p, .. dus ω = √(2k⋅mgΔh/I).

Het antwoord van chatgpt betekent dat \(k = \frac{1}{2 \cdot (\frac{I_1}{I3}-1)}\)

Het vermoeden van chatgpt dat \(\frac{I_1}{I3}\) van een tippetop meestal rond 1.2–1.5 is, betekent dat k ongeveer 1,0-2,5 is. Dat is lager dan ik had verwacht.

[wnvl1]

\( \tau_{\text{gyro}} \;\approx\; (I_1 - I_3)\,\omega_3^2\,\theta. \)

Waar komt die formule vandaan?

Ik heb wat antwoorden van AI hieronder samengevoegd om dieper inzicht te krijgen in de werking. Ik denk dat dit de nodige achtergrond geeft om vanuit de basis verder te denken.

------------------------------------------


## 1. Algemeen uitgangspunt

Voor een stijve rotatie geldt:

$$
\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{N},
$$

waar

* \(\mathbf{L}\) het impulsmoment is,
* \(\mathbf{N}\) het externe moment (koppel),
* de afgeleide is ten opzichte van een **inertiaalstelsel**.

---

## 2. Afgeleide in een roterend assenstelsel

Als we hoofdassen kiezen die met het lichaam meedraaien, dan geldt voor een willekeurige vector \(\mathbf{A}\):

$$
\left(\frac{d\mathbf{A}}{dt}\right)_{\text{inertiaal}} \;=\;
\left(\frac{d\mathbf{A}}{dt}\right)_{\text{lichaam}} + \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{A},
$$

waar \(\boldsymbol{\omega}\) de hoeksnelheid van het lichaam is.

Toegepast op \(\mathbf{L}\):

$$
\frac{d\mathbf{L}}{dt}\Big|_{\text{inertiaal}}
= \frac{d\mathbf{L}}{dt}\Big|_{\text{lichaam}} + \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{L}.
$$

---

## 3. Keuze van coördinaten

We kiezen de **hoofdtraagheidsassen** als basis: \(x_1, x_2, x_3\).
Daar geldt dat de traagheidstensor diagonaal is:

$$
L_1 = I_1 \omega_1, \quad
L_2 = I_2 \omega_2, \quad
L_3 = I_3 \omega_3.
$$

---

## 4. Schrijf componentvergelijkingen

De bewegingsvergelijking is dus:

$$
\mathbf{N} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}\Big|_{\text{inertiaal}}
= \frac{d\mathbf{L}}{dt}\Big|_{\text{lichaam}} + \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{L}.
$$

Maar in het lichaamstelsel zijn \(I_1,I_2,I_3\) constant, dus:

$$
\frac{d\mathbf{L}}{dt}\Big|_{\text{lichaam}}
= \left( I_1 \dot\omega_1, \; I_2 \dot\omega_2, \; I_3 \dot\omega_3 \right).
$$

Het kruisproduct:

$$
\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{L} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\
\omega_1 & \omega_2 & \omega_3 \\
I_1\omega_1 & I_2\omega_2 & I_3\omega_3
\end{vmatrix}.
$$

Dit geeft componenten:

$$
\begin{aligned}
(\omega\times L)_1 &= (I_3 - I_2)\omega_2 \omega_3, \\
(\omega\times L)_2 &= (I_1 - I_3)\omega_3 \omega_1, \\
(\omega\times L)_3 &= (I_2 - I_1)\omega_1 \omega_2.
\end{aligned}
$$

---

## 5. Combineer alles

Dus per component:

$$
\begin{aligned}
N_1 &= I_1 \dot\omega_1 + (I_3 - I_2)\,\omega_2\omega_3, \\
N_2 &= I_2 \dot\omega_2 + (I_1 - I_3)\,\omega_3\omega_1, \\
N_3 &= I_3 \dot\omega_3 + (I_2 - I_1)\,\omega_1\omega_2.
\end{aligned}
$$

---

## 6. Conventionele vorm

Gewoonlijk schrijft men ze als:

$$
\begin{aligned}
I_1 \dot\omega_1 &= (I_2 - I_3)\,\omega_2\omega_3 + N_1, \\
I_2 \dot\omega_2 &= (I_3 - I_1)\,\omega_3\omega_1 + N_2, \\
I_3 \dot\omega_3 &= (I_1 - I_2)\,\omega_1\omega_2 + N_3.
\end{aligned}
$$

Dit zijn de **Eulervergelijkingen** voor een stijve rotatie.


### 7. Eulervergelijkingen

Voor een stijve rotatie met hoofdtraagheidsmomenten \(I_1, I_2, I_3\) en hoeksnelheden \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\) in het hoofdassenstelsel gelden de Eulervergelijkingen:

$$
\begin{aligned}
I_1 \dot\omega_1 &= (I_2 - I_3)\,\omega_2\omega_3 + N_1,\\
I_2 \dot\omega_2 &= (I_3 - I_1)\,\omega_3\omega_1 + N_2,\\
I_3 \dot\omega_3 &= (I_1 - I_2)\,\omega_1\omega_2 + N_3.
\end{aligned}
$$

Zonder externe momenten (\(N_i=0\)) beschrijven ze puur de vrije precessie.

---

### 8. Assumpties voor de formule

* We nemen een **bijna-symmetrische rotor**: \(I_1 \approx I_2 \neq I_3\).
* De spin is vooral langs de 3-as: \(\omega_3 \gg \omega_1,\omega_2\).
* De inclinatiehoek \(\theta\) (tussen de symmetrie-as en de impulsmomentvector) is klein, zodat \(\omega_1,\omega_2\) klein zijn.

Dan kan men lineariseren in \(\omega_1,\omega_2\).

---

### 9. Lineaire analyse

Met \(I_1 = I_2\) vereenvoudigen de eerste twee Eulervergelijkingen tot:

$$
\begin{aligned}
I_1 \dot\omega_1 &= (I_1 - I_3)\,\omega_2\omega_3, \\
I_1 \dot\omega_2 &= (I_3 - I_1)\,\omega_3\omega_1.
\end{aligned}
$$

Combineer:

$$
\ddot\omega_1 + \left(\frac{(I_3 - I_1)(I_1 - I_3)}{I_1^2}\right)\omega_3^2 \,\omega_1 = 0.
$$

Dat reduceert tot harmonische trilling met frequentie

$$
\Omega = \frac{|I_1 - I_3|}{I_1}\,\omega_3.
$$

---

### 10. Relatie met inclinatiehoek

De inclinatiehoek \(\theta\) bepaalt hoe groot \(\omega_1, \omega_2\) zijn t.o.v. \(\omega_3\): bij kleine hoek geldt ruwweg

$$
\omega_\perp \;\approx\; \omega_3\,\theta,
$$

waar \(\omega_\perp = \sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2}\).

De koppel (of “restaurerende torque”) die met die kleine helling samenhangt is dan van orde

$$
\tau_{\text{gyro}} \;\sim\; (I_1 - I_3)\,\omega_3^2\,\theta.
$$

---

### 11. Interpretatie

* De factor \((I_1 - I_3)\omega_3^2\) komt uit de **anisotropie in traagheidsmomenten** en de snelle spin langs 3.
* De factor \(\theta\) komt uit de kleine scheefstand van de as.
* Het is dus geen "exacte" formule, maar een lineaire benadering van het herstellende moment dat de as terug probeert te zetten bij kleine inclinatie.